譚　波，鐘金標

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院， 安徽 安慶 246133)

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帶小邊值條件的半線性橢圓方程的可解性

譚波，鐘金標

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院， 安徽 安慶 246133)

摘要：利用上、下解方法及不動點等理論研究了帶小邊值條件的半線性Laplace方程正解的存在性及不存在性，獲得該類方程解的存在性條件和不存性條件，并給出實例驗證了所得結果。

關鍵詞：上、下解；全連續(xù)算子；不動點定理

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.003

考察邊值問題

(1)

正解的存在性與不存在性，其中Ω?Rn(n>1)是一個有界光滑區(qū)域，參數(shù)λ>0，f(t)滿足條件：

(H1) f∶R+→R+連續(xù)；

(H2) f(t)在[0,+∞)上單增；

設Φ(x)與h(x)分別是(2) 式與(3)式的解：

(2)

(3)

關于非線性橢圓形方程邊值問題的可解性研究始于R.Dalmasso[1]，其后，國內(nèi)外學者就此課題展開了廣泛的研究[2-5]，其中鐘金標等[5]深入研究了以下邊值問題：

下面介紹一些相關定義與引理。

引理2[7]設D是Banach空間B中的一個閉凸子集，又設T是D到自身中的一個連續(xù)映射，使得像TD是列緊的，則T有一個不動點。

1存在性定理

定理1若條件(H1),(H2),(H3)成立，則在(1)式中，當λ足夠小時，對充分小的初值ε至少存在一個正解。

-Δh-λh-f(h)=-λh-f(h)≤0。

由條件(H3)可得，

-Δε(Φ+1)-λε(Φ+1)-f[ε(Φ+1)]=

ε-λε(Φ+1)-o[ε(Φ+1)]=

其中，λ，ε充分小。

現(xiàn)證T是從D到D的算子。事實上，若u=Tω，則

(4)

(5)綜合(4)式與(5)式可得

(6)

綜合(4)式與(6)式得

-Δ(h-u)≤λ(h-ω)+[f(h)-f(ω)]，

因為ω∈D，所以ω≥h。由條件(H2)知

f(h)≤f(ω)，

從而

利用Schauder不動點定理知T在D中有一個不動點u，即(1)式存在一個正解。

2解的不存在性

證明記H(x)是問題

的解。記v=u-εh，則有

-Δv=-Δu-εΔh=λu+f(u)=

λ(v+εh)+f(v+εh)，

即

設u是(1)式的正解，因為

(7)

由上調和函數(shù)的極小值原理知v≥0且v≠0，在(7)式中方程兩邊同時乘上φ(x)，并在Ω上積分，利用Green第2恒等式可得

∫Ωf(v+εh)φdx>λ∫Ωvφdx，

3應用舉例

本節(jié)將給出兩個實例說明本文所得結果。

例1考察問題

(8)

正解的存在性。

-Δε(Φ+1)-λε(Φ+1)+f[ε(Φ+1)]=

ε-λε(Φ+1)-ε2(Φ+1)2=

ε[1-λ(Φ+1)-ε(Φ+1)2]≥

-Δh-λh-f(h)=-λh-f(h)≤0，

例2考察問題

(9)

正解的不存在性。

參考文獻:

[1] Dalmasso R.Existence and uniqueness of positive solutions of semilinear elliptic systems[J]. Nonlinear Analysis, 2000, 39: 559-568.

[2] Hai D D. Positive solutions for semilinear elliptic equations in annula domains[J]. Nonlinear Analysis, 1999, 37: 1051-1058.

[3] Medeiros E,Perera K,Tintarev K.Multiplicity results for problems involving the Hardly-sobolev operator Via Morse theory[J].Nonlinear Analysis，2010，72：2170-2177.

[4] Li Fuyi,Li Yuhua. Multiple sign-changing solutions to semilinear elliptic resonant problems[J].Nonlinear Analysis, 2010，72: 3820-3827.

[5] 鐘金標，余桂東. 橢圓型方程可解性研究[M]. 合肥: 合肥工業(yè)大學出版社, 2007.

[6] 陳祖墀. 偏微分方程 [M]. 2版. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2004.

[7] Gilbarg D,Trudinger N S.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M]. 2nd ed.Berlin: Springer, 1983.

[8] 陸文端. 微分方程中的變分方法[M]. 成都: 四川大學出版社, 1995:143-151.

Solvability for Semilinear Elliptic Equation with Small Boundary Value Conditions

TAN Bo, ZHONG Jin-biao

(School of Mathematics and Computational Science, Anqing Normal University, Anqing, Anhui 246133, China)

Abstract:In this paper, we prove the existence and non-existence of positive solutions of Semilinear equation with small Boundary value Conditions. By using of the Sub-super solution method and Schauder fixed point theorem, we prove the existence of the solutions. The existence and non-existence conditions of the solutions of the equation are obtained, and two examples to verify the results are given.

Key words:sub-super solution; completely continuous operator; fixed point theorem

* 收稿日期：2015-09-21

作者簡介：譚波，男，江蘇邳州人，安慶師范大學數(shù)學與計算科學學院碩士研究生，研究方向為偏微分方程。 E-mail: 1481339647@qq.com E-mail:602243212@qq.com

中圖分類號：O175.25

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2016)02-0006-03

鐘金標，男，安徽安慶人，博士，安慶師范大學教授，碩士生導師，研究方向為偏微分方程。

網(wǎng)絡出版時間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.003.html