范江，杜坤，周明，徐冰峰，龍?zhí)煊?/p>

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500；2. 重慶大學 城市建設與環(huán)境工程學院，重慶 400045)

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基于加權最小二乘法的供水管網(wǎng)節(jié)點流量校核

范江1，杜坤1，周明1，徐冰峰1，龍?zhí)煊?

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500；2. 重慶大學 城市建設與環(huán)境工程學院，重慶 400045)

摘要：管網(wǎng)水力模型是實現(xiàn)供水系統(tǒng)現(xiàn)代化管理的重要工具，要使水力模型能比較準確地反映管網(wǎng)真實運行狀態(tài)，達到預期使用目的，其中的參數(shù)需要校核。將管網(wǎng)節(jié)點流量校核作為優(yōu)化問題，采用加權最小二乘法逐步迭代求解，與已有研究相比，采用矩陣分析法推導供水管網(wǎng)雅克比矩陣解析式，引入水量分配矩陣聚合節(jié)點流量，將欠定問題轉(zhuǎn)化為超定，提高了校核的計算效率和結果的可靠性。采用簡單管網(wǎng)闡明了雅克比矩陣的計算、節(jié)點流量的聚合及梯度向量的構造，利用實際管網(wǎng)驗證了方法的實用性。

關鍵詞：供水管網(wǎng)；節(jié)點流量校核；加權最小二乘法；雅克比矩陣；解析式

管網(wǎng)水力模型不僅能用于指導供水調(diào)度、優(yōu)化運營管理，還是開展其他相關研究的基礎，如管網(wǎng)水質(zhì)模擬、突發(fā)性水質(zhì)污染事件預警與定位等。隨著社會經(jīng)濟發(fā)展，各地自來水廠開始投入大量人力與財力構建或完善管網(wǎng)水力模型。管網(wǎng)水力模型校核，或稱管網(wǎng)參數(shù)校正，是指通過調(diào)整模型中預先設置的水力參數(shù)，使模型計算值與監(jiān)測值匹配的過程，其目的在于使構建的水力模型能比較準確地反映管網(wǎng)的真實運行狀態(tài)，達到預期使用目的。在構建的管網(wǎng)水力模型中，由于節(jié)點流量隨時間不斷發(fā)生變化，為時間“常變量”，需要進行實時校核[1]。

針對管網(wǎng)節(jié)點流量校核，吳學偉等[2]嘗試以節(jié)點水壓為已知量計算節(jié)點流量，并采用實驗室管網(wǎng)進行驗證，結果表明，對實驗室小型管網(wǎng)狀態(tài)估計精度較高，但對于實際大型管網(wǎng)的工況分析有待進一步研究。叢海兵等[3]從管網(wǎng)實時模擬角度出發(fā)，提出狀態(tài)估計的數(shù)學模型并采用簡約梯度法求解。Shang等[4]利用卡爾曼濾波法校核管網(wǎng)節(jié)點流量，該法利用上一步的節(jié)點流量作為校核初值以提高計算效率。鑒于管網(wǎng)中監(jiān)測點數(shù)少于節(jié)點數(shù)，Cheng等[5-6]采用截斷奇異矩陣分解法求解欠定優(yōu)化問題實現(xiàn)了節(jié)點流量校核。Preis等[7]嘗試采用遺傳算法實時校核節(jié)點流量，為提高收斂速度，利用M5算法對節(jié)點流量進行預先估計。此外，目前最廣泛使用的WaterGEMS、InfoWorks WS等商業(yè)軟件也采用遺傳算法校核管網(wǎng)水力模型[8]。然而，遺傳算法的參數(shù)設置對算法性能影響較大，其本身就是個優(yōu)化問題，要求校核人員具有相關的數(shù)學知識，且需要依據(jù)多次運算收斂情況判斷參數(shù)設置是否合理，會導致使用困難與計算量大等缺點。例如，中國很多水廠都花費巨資購買上述軟件，但實際使用效果并不理想。再者，Vassiljev等[9-11]的最新研究表明，當大型管網(wǎng)變量個數(shù)大于10時，遺傳算法計算時間長達數(shù)小時，無法實現(xiàn)節(jié)點流量的實時校核?？傊绾翁岣吖?jié)點流量校核的計算效率及校核結果可靠性仍是管網(wǎng)研究領域的熱點與難點問題。

加權最小二乘法是高斯-牛頓算法的變形，不僅計算效率高，還能通過調(diào)整權重系數(shù)提高校核結果的可靠性，被廣泛用于解決各類實際工程問題。鑒于節(jié)點流量實時校核要求較高的計算效率，筆者深入研究了基于加權最小二乘法的管網(wǎng)節(jié)點流量校核，相較于以往研究，采用矩陣分析法推導供水管網(wǎng)雅克比矩陣解析式，引入水量分配矩陣將節(jié)點流量聚合減少未知量個數(shù)，提高了校核的計算效率與結果的可靠性。

1基于加權最小二乘法的節(jié)點流量校核框架

將節(jié)點流量校核作為優(yōu)化問題，構建目標函數(shù)

(1)

(2)

式中：Ho、qo為水壓與管道流量監(jiān)測值向量;H(Q)、q(Q)為相應的模型計算值向量;W為權重矩陣。由于管網(wǎng)的能量方程為非線性，采用迭代方法進行求解，若第k次迭代的解為

(3)

式(3)的線性展開式為

(4)

式中：ΔHk=HoH(Qk);Δqk=qo-q(Qk);JH(Qk)、Jq(Qk)為節(jié)點水壓與管道流量對節(jié)點流量的雅克比矩陣。根據(jù)多元函數(shù)極值理論，當目標函數(shù)取得極小值時，應有

(5)

可得

(6)

由于實際管網(wǎng)中監(jiān)測點個數(shù)小于節(jié)點數(shù)時，式(6)中的聯(lián)合雅克比矩陣[JH(Qk);Jq(Qk)]的行數(shù)小于列數(shù)，即約束個數(shù)少于未知量個數(shù)，解不唯一。針對該欠定問題，最常用方法是將具有相似用水特征的節(jié)點流量賦予相同的用水乘子或聚合(二者不存在本質(zhì)區(qū)別)，進而將欠定問題轉(zhuǎn)化為超定進行求解。筆者也采用最通用的節(jié)點流量聚合法，不同之處在于，通過引入水量分配矩陣進行節(jié)點流量聚合，有助于簡化運算并易于編程。圖1為節(jié)點流量校核流程圖，其中包括校核模塊與正計算模塊，二者將對方的輸出作為輸入反復運算直至ΔQ達到規(guī)定精度ε，文中ε=0.01。

圖1　供水管網(wǎng)節(jié)點流量校核流程圖Fig.1　Calibration Chart about the Node Flow of

2供水管網(wǎng)雅克比矩陣計算

由圖1可知，校核過程中需要多次計算管網(wǎng)雅克比矩陣，根據(jù)已有文獻[12-15]，目前多采用擾動法進行管網(wǎng)雅克比矩陣計算，其通過逐個引入擾動至各參數(shù)，需要反復進行管網(wǎng)平差，會導致巨大計算量，故不利用節(jié)點流量實時校核。鑒于此，采用矩陣分析法推導了供水管網(wǎng)雅克比矩陣解析式，對穩(wěn)態(tài)下供水管網(wǎng)，質(zhì)量與能量方程為

(7)

式中：A為n×m管網(wǎng)銜接矩陣，n與m為管網(wǎng)中的節(jié)點數(shù)與管道數(shù)。A矩陣中元素采用如下方法確定

式(7)中，q和Q分別為管道流量與節(jié)點流量向量;H是節(jié)點水頭向量;h是管道水頭損失向量。根據(jù)式(7)，管網(wǎng)質(zhì)量與能量方程的微分式寫為

(8)

(9)

(10)

將式(10)寫成矩陣形式

(11)

式中:Δh與Δq均為m×1向量，且有

此外，對于水泵項，矩陣B中的元素為

(12)

水泵曲線方程為

(13)

式中:a、b及c為水泵性能曲線參數(shù)。根據(jù)式(8)可得

(14)

將式(11)帶入(14)，有

(15)

將式(15)變形可得

(16)

將式(16)兩邊同乘銜接矩陣A，可得

ABATΔH=-AΔq

(17)

根據(jù)式(8)可知

(18)

將式(18)帶入式(17)，可得

(19)

同樣地，對管道流量向量，有

(20)

由于Δh=-ATΔH，則有

(21)

將式(19)帶入式(21)，可得

(22)

根據(jù)式(19)、(22)，供水管網(wǎng)節(jié)點水壓及管道流量對節(jié)點流量的雅克比矩陣解析式為

(23)

3節(jié)點流量聚合及梯度向量計算

由于實際管網(wǎng)中監(jiān)測點數(shù)遠少于節(jié)點數(shù)，節(jié)點流量校核為欠定問題，不存在唯一解。Waslki[16]最早提出采用節(jié)點流量聚合法將欠定問題轉(zhuǎn)化為超定進行求解，隨后該方法被絕大多數(shù)學者認可，如WaterGEMS、InfoWorksWS等商業(yè)軟件都采用了該方法。為簡化運算、便于編程，引入水量分配矩陣Gd進行節(jié)點流量聚合。對管網(wǎng)中的n個節(jié)點，若分為l組，則水量分配Gd為n×l矩陣，其中，元素取值為各節(jié)點的基礎需水量與對應聚合流量的比值?；诠芫W(wǎng)雅克比矩陣及水量分配矩陣，梯度向量能計算為

(24)

式中：[JH(Qg);Jq(Qg)]為聚合流量的梯度向量；下標ob代表與觀測值對應的雅克比矩陣行向量。但值得說明的是，供水管網(wǎng)的節(jié)點流量聚合并非易事，從工程經(jīng)驗來看，節(jié)點流量聚合是基于管網(wǎng)中某些節(jié)點流量具有相似用水特征；而從數(shù)學角度來看，節(jié)點流量聚合的實質(zhì)是一種提高參數(shù)敏感度的參數(shù)化方法，其目的是通過犧牲解的分辨率來控制解的方差。通常節(jié)點用水類型劃分越細，解的分辨率越高，但解的方差會很大，很小的觀測誤差都可能導致極大的解誤差，甚至不切實際的解，尤其在利用有限水壓監(jiān)測值進行節(jié)點流量校核時，水壓監(jiān)測誤差甚至會被放大2～3個數(shù)量級，因此，節(jié)點流量聚合的關鍵是如何在在分辨率與誤差間取得折衷。

一些建模者認為，應先明確管網(wǎng)中各節(jié)點的用水類型，然后進行“精細”分類，最后再聚合。但實際中上述做法很難實現(xiàn)，一方面，管網(wǎng)水力模型中節(jié)點流量代表的是某個區(qū)域的用水量，其本身就包含了不同特征用水；另一方面，統(tǒng)計管網(wǎng)中各節(jié)點用水特征工作量巨大，尤其對未構建地理信息系統(tǒng)的管網(wǎng)。此外，若將漏損等不確定因素納入考慮，準確劃分節(jié)點用水類型甚至不可能。

Sanz等[17]的最新研究表明，相較于根據(jù)節(jié)點實際用水特征進行參數(shù)化，根據(jù)節(jié)點地理位置進行流量聚合得到的校核結果精度高、方差小，這是由于相同地理位置的聚合流量對監(jiān)測值敏感度更高，能形成單因子濾波，使校核結果可靠性更高。Du等[18]認為可將變異系數(shù)(σ/μ)作為校核結果的可靠性評價指標，同時，結合管網(wǎng)的主要用水特征進行流量聚合，一方面保證校核結果的可靠性，另一方面使校核結果盡量與管網(wǎng)實際用水特征相符。鑒于本文的重點在于闡明整體校核框架，對節(jié)點流量的參數(shù)化方法及誤差分析不做進一步探討，相關內(nèi)容可參見文獻[18]。

4案例分析

4.1案例1

則存在關系式

圖2　案例1管網(wǎng)Fig.2　Network of

(25)

式中：Qg為2×1的聚合流量向量；Qb為4×1的節(jié)點流量向量；Gd為4×2水量分配矩陣。通過聚合節(jié)點流量，未知參數(shù)個數(shù)由4變?yōu)?，優(yōu)化問題變?yōu)檎?兩個未知量對應兩個監(jiān)測值)。根據(jù)式(23)，該管網(wǎng)的雅克比矩陣計算見表1。

表1　節(jié)點水壓對節(jié)點流量的雅克比矩陣 -(ABAT)-1

雅克比矩陣中的元素代表了節(jié)點水壓或管道流量對節(jié)點流量的敏感度，例如-(ABAT)-1的第1行、第1列元素表明如果節(jié)點1的流量增大1L/s，節(jié)點1的水壓會下降0.202 3m。根據(jù)式(24)，第1次迭代時的梯度向量矩陣見表2。

表2　管道流量對節(jié)點流量的雅克比矩陣BAT(ABAT)-1

(26)

(27)

將式(26)、(27)帶入式(6)，可得聚合節(jié)點流量的第1次修正值為

(28)

表3給出了迭代過程中所有ΔQ值，表明通過3次迭代就得到了最終解。

表3　迭代過程中ΔQ值

4.2案例2

圖3　案例2管網(wǎng)Fig.3　Network of Case

利用圖3的實際管網(wǎng)進一步驗證算法可行性。該管網(wǎng)水力模型中僅保留了DN200及以上管道，包括103根管道與85個節(jié)點。根據(jù)管道的管材與管齡，管道的海曾威廉系數(shù)估計為115。根據(jù)水廠提供的用水信息，供水區(qū)域大致分為工業(yè)區(qū)與居民區(qū)，其中，工業(yè)區(qū)內(nèi)主要包括4個集中水點，其用水量占總用水總量的約50%。

在校核管網(wǎng)水力模型前，將平均時用水量作為節(jié)點基本用水量，除了4個集中用水點外，假設居民與未計量用水沿管線長度平均分配，并具有相同的用水模式。根據(jù)監(jiān)測的水泵供水量變化曲線確定用水模式，對管網(wǎng)進行延時狀態(tài)下水力模擬。限于篇幅，僅給出了某天24h水泵水壓與流量的監(jiān)測值與模型計算值，詳見圖4。其中，節(jié)點水壓平均誤差為1.1m、監(jiān)測流量平均誤差33m3/h，模型計算值與監(jiān)測值相差不大，故該管網(wǎng)水力模型能基本反映管網(wǎng)的真實運行狀態(tài)。

圖4　某天24 h水泵水壓流量監(jiān)測值與模型計算值Fig.4　Comparing the Monitoring Date with ModelCalculation Value about the Pressure

值得說明的是，在利用優(yōu)化算法校核節(jié)點流量前，必須先對管網(wǎng)進行初步的宏觀校核，控制模型計算值與監(jiān)測值的差在一定范圍內(nèi)。如果發(fā)現(xiàn)模型計算值與監(jiān)測值誤差異過大，一般當水壓差>3m、流量差>15%時，應復核水泵曲線、檢查管網(wǎng)拓撲結構或節(jié)點標高是否出錯，必要時應進行實地勘察。

在利用所提出算法校核管網(wǎng)節(jié)點流量時，為保證校核結果可靠性，控制其變異系數(shù)σ/μ≤0.1。通過分析7個監(jiān)測值對應雅克比矩陣向量，并結合該管網(wǎng)主要用水特征，將區(qū)域內(nèi)節(jié)點分為2組。限于篇幅原因，表4僅給出了第10時監(jiān)測值與校核前后模型計算值，整個校核過程花費時間小于5s。

表4　第10時段各節(jié)點監(jiān)測值與模型計算值

根據(jù)表4可知，在校核節(jié)點流量后，并非所有模型計算值與監(jiān)測值的差都減小，相反有些節(jié)點的差會略微增大，一部分原因是由于影響模型計算值的參數(shù)除了節(jié)點流量外，還包括管道阻力系數(shù)、節(jié)點標高等。總體而言，模型計算誤差的絕對平均值有明顯下降，這表明校核后的模型能更準確地反映真實管網(wǎng)運行狀態(tài)，由此可見，所提出方法能用于實際管網(wǎng)節(jié)點流量校核。

5結論

探討了基于加權最小二乘法的供水管網(wǎng)節(jié)點流量校核，應用矩陣分析法推導供水管網(wǎng)雅克比矩陣的解析式，采用節(jié)點流量聚合法將欠定問題轉(zhuǎn)化為超定進行求解；將所有計算過程轉(zhuǎn)化為簡潔的矩陣運算，提高了校核的計算效率與結果可靠性。案例分析結果表明，所提出方法計算效率高，能用于實際管網(wǎng)節(jié)點流量校核。

對實際管網(wǎng)節(jié)點流量校核，如何合理聚合節(jié)點流量是關鍵，通常當管網(wǎng)中節(jié)點流量呈現(xiàn)明顯同步變化特征時，節(jié)點流量聚合法更適用。此外，吉洪若夫正規(guī)化與截斷奇異矩陣分解法也能求解該類欠定問題，由于3種方法數(shù)學機理不同，對不同規(guī)模、不同類型管網(wǎng)的適用性問題有待進一步研究。

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(編輯胡英奎)

Nodal demand calibration of water distribution system using the weighted least squares method

Fan Jiang1, Du kun1, Zhou Ming1, Xu Bingfeng1, Long Tianyu2

(1.Faculty of Civil Engineering and Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, P. R. China;2. College of Urban Construction and Environmental Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, P. R. China)

Abstract:Hydraulic model of water distribution systems (WDSs) is an essential tool to realize modernization management of WDSs. To make the model capable of reflecting the system’s behavior with reasonable accuracy and achieving intended purposes, the parameters in it should be calibrated. The nodal demand calibration of WDS models is formulated as a nonlinear optimization problem, which is then solved iteratively using weighted least squares method. Comparing to previous studies, the proposed method deduces the analytical solution of Jacobian matrix of WDSs based on matrix analysis method, and translates the under-determined problem to over-determined by aggregating the nodal demand using demand allocation matrix, such that the computational efficiency and the reliability of calibration results were improved. A simple network is used to illustrate the computation of Jacobian matrix, the construction of gradient vectors and the aggregation of nodal demand. The practicability of the method is further validated by a real network.

Keywords:water distribution system; nodal demand calibration; weighted least squares algorithm; jacobian matrix; analytical solution

doi:10.11835/j.issn.1674-4764.2016.03.011

收稿日期：2015-08-02

基金項目：“十二五”國家科技支撐計劃(2012BAJ25B06)；昆明理工大學人才科研啟動基金(14008943)

作者簡介：范江(1988-)，男，主要從事市政工程研究，(E-mail)775011092@qq. com；

Foundation item：Kunming University of Science and Technology Talent Scientific Research Foundation (No. 14008943); National Science and Technolgy Pillar Program during the 12th Five-Year Plan Period(No. 2012BAJ25B06)

中圖分類號：TU 991.32

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764(2016)03-0073-07

杜坤(通信作者)，男，博士，(E-mail) 250977426@qq.com。

Received:2015-08-02

Author brief：Fan Jiang (1988-), main research interest:municipal engineering, (E-mail) 775011092@qq.com.

Du Kun(corresponding author), PhD, (E-mail) 250977426@qq.com.