郭黎利　劉湘蒲　付江志　李清偉

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于壓縮循環(huán)譜的mW復(fù)合序列參數(shù)估計(jì)*

郭黎利劉湘蒲付江志李清偉

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要:針對(duì)mW(m-Walsh)復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問題,根據(jù)循環(huán)譜理論推導(dǎo)了mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜表達(dá)式,并結(jié)合Walsh序列的頻譜特征分析了mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜特征,提出了基于循環(huán)譜的參數(shù)估計(jì)算法.針對(duì)mW復(fù)合序列循環(huán)譜的獲取所需采樣率較高的問題,引入壓縮循環(huán)譜技術(shù),通過信號(hào)的壓縮采樣值來(lái)重構(gòu)循環(huán)譜.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,利用壓縮采樣理論能有效地重構(gòu)出信號(hào)循環(huán)譜,并實(shí)現(xiàn)對(duì)Walsh序列序號(hào)、m序列碼片速率和載頻等參數(shù)的有效估計(jì).

關(guān)鍵詞：mW復(fù)合序列;循環(huán)譜;壓縮采樣;參數(shù)估計(jì)

作為直接序列擴(kuò)頻通信中的一種復(fù)合擴(kuò)頻序列,mW(m-Walsh)復(fù)合序列同時(shí)具有直擴(kuò)和跳頻(DS-FH)的特性.在該序列的復(fù)合過程中,通過改變m、Walsh序列的長(zhǎng)度和所選Walsh序列的序號(hào)可以控制復(fù)合序列能量主瓣在頻域的位置和寬度.利用該特性，mW復(fù)合序列在通信對(duì)抗中可用于規(guī)避窄帶干擾和部分頻帶干擾，在移動(dòng)通信中可用于解決遠(yuǎn)近效應(yīng)問題[1].利用擴(kuò)頻信號(hào)所具有的低功率譜密度及mW復(fù)合序列的頻域特征可控特性,還可以將mW復(fù)合序列作為認(rèn)知無(wú)線電(CR)通信中直擴(kuò)認(rèn)知用戶的備選序列,使其發(fā)射信號(hào)頻譜在授權(quán)用戶工作頻段內(nèi)凹陷,從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)知用戶的頻譜接入[2].

目前,對(duì)mW復(fù)合序列的研究主要集中在序列生成原理、序列特性分析及序列干擾抑制能力等方面,而對(duì)其參數(shù)估計(jì)方法的研究鮮見報(bào)道.mW復(fù)合序列屬于擴(kuò)頻序列,目前對(duì)擴(kuò)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法主要有能量檢測(cè)法[3]、平方倍頻法[4]、自相關(guān)法[5]、二次功率譜法[6]和循環(huán)譜法[7]等.其中能量檢測(cè)法在低信噪比下的性能較差,平方倍頻法僅能估計(jì)載頻,自相關(guān)法和二次功率譜法可有效估計(jì)偽碼周期,但不能同時(shí)估計(jì)載頻和碼片速率.循環(huán)譜法利用擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)特性[8],能在低信噪比下估計(jì)載頻、碼片速率等參數(shù)信息,但mW復(fù)合序列長(zhǎng)度一般較長(zhǎng),經(jīng)其擴(kuò)頻后的發(fā)送信號(hào)帶寬較寬,因此在獲取循環(huán)譜時(shí),對(duì)系統(tǒng)的采樣率要求較高.

文中采用循環(huán)譜法對(duì)mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),推導(dǎo)了其循環(huán)譜表達(dá)式,分析了循環(huán)譜切面特征,并給出了參數(shù)估計(jì)算法.針對(duì)其循環(huán)譜獲取所需采樣率較高的問題,通過挖掘其循環(huán)譜所具有的稀疏性,將壓縮循環(huán)譜技術(shù)引入到循環(huán)譜的獲取中,以降低采樣開銷.在仿真實(shí)驗(yàn)中通過壓縮采樣值來(lái)恢復(fù)信號(hào)循環(huán)譜,并對(duì)其峰值進(jìn)行檢測(cè),以實(shí)現(xiàn)對(duì)mW復(fù)合序列中Walsh序列序號(hào)、m序列碼片速率和載頻等參數(shù)的估計(jì).

1mW復(fù)合序列及其特征

mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)x(t)可表示為

(1)

式中:f0為載頻;s(t)為mW復(fù)合序列,

(2)

g(t)為門函數(shù);m序列的長(zhǎng)度為lm、碼片mi的寬度為Tm,Walsh序列的長(zhǎng)度為lW、碼片Wj的寬度為TW,則對(duì)應(yīng)的碼片速率分別為fm=1/Tm和fW=1/TW.1.1Walsh序列的頻譜特征

Walsh序列目前還沒有統(tǒng)一的頻譜表達(dá)式,且不同長(zhǎng)度的Walsh序列具有不同的頻譜特征.文中以4階Hadamard矩陣形成的長(zhǎng)度為4的Walsh序列為例,計(jì)算其頻譜,該頻譜計(jì)算方法同樣適用于其他長(zhǎng)度的Walsh序列.

4階Hadamard矩陣與其生成的Walsh序列的對(duì)應(yīng)關(guān)系可表示為

(3)

式中,W(k)表示序號(hào)為k的Walsh序列,W(0)為直流信號(hào),不對(duì)其進(jìn)行分析.

定義Π(t)是幅度為1且持續(xù)時(shí)間為1 s的矩形脈沖信號(hào),則W(1)可寫為

(4)

對(duì)其求傅里葉變換可得W(1)的頻譜為

(5)

類似地,可得到W(2)和W(3)的頻譜分別為

(6)

(7)

Walsh序列的序號(hào)k與其頻譜峰值頻率fc具有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系[9],如表1所示.

從W(2)到W(lW-1)的Walsh序列對(duì)應(yīng)了(lW-2)/2種不同的fc,其中序號(hào)

(8)

的兩個(gè)序列具有相同的fc.

序號(hào)從2p到2p-1-1的Walsh序列的fc與系數(shù)γ有關(guān),文獻(xiàn)[9]給出了γ的具體求解方法,在此不再贅述.以式(3)所示的Walsh序列為例,W(1)的fc=fW/2,W(2)和W(3)具有相同的fc=fW/4,此時(shí),p=1,q=0,γ=1.

表1　Walsh序列的k與fc的關(guān)系

1.2mW復(fù)合序列循環(huán)譜特征

mW復(fù)合序列s(t)的表達(dá)式與脈沖幅度調(diào)制(PAM)信號(hào)及二進(jìn)制偏移載波(BOC)信號(hào)類似,根據(jù)PAM信號(hào)[7]和BOC信號(hào)[10]循環(huán)譜的推導(dǎo)過程,可得到s(t)的循環(huán)譜表達(dá)式:

(9)

式中,α為循環(huán)頻率,f為頻率,P(f)為Walsh序列頻譜,P*(f)為P(f)的共軛,

(10)

(11)

其中l(wèi)取整數(shù).

x(t)的循環(huán)譜與基帶信號(hào)s(t)循環(huán)譜的關(guān)系可表示為[11]

(12)

將s(t)的循環(huán)譜表達(dá)式(11)代入式(12),并取頻率f=0,可得mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)x(t)的循環(huán)譜切面(f=0)表達(dá)式為

(13)

將Walsh序列頻譜表達(dá)式代入式(13),可得各mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜切面表達(dá)式.

當(dāng)α=l/Tm時(shí),

(14)

當(dāng)α=±2f0+l/Tm時(shí),

(15)

式中，sinc(·)表示辛格函數(shù)

由以上表達(dá)式可得到mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜切面峰值位置,如表2所示.

表2mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜切面峰值位置

Table 2Peak position of cyclic spectrum section of mW composite sequence spread spectrum signal

復(fù)合序列主峰位置次峰位置mW(1)-2f0±fW,2f0±fW-2f0±fW?fm,2f0±fW?fmmW(2)-2f0±fW2,2f0±fW2-2f0±fW2?fm,2f0±fW2?fmmW(3)-2f0±fW2,2f0±fW2-2f0±fW2±fm,2f0±fW2±fm

可以看出,mW復(fù)合序列經(jīng)調(diào)制后,在f=0的循環(huán)譜切面上出現(xiàn)4個(gè)主峰和4個(gè)次峰,且主峰和次峰均關(guān)于α=0對(duì)稱分布,這些峰值位置包含了載頻、m序列和Walsh序列的碼片速率等信息.

通過頻域平滑循環(huán)周期圖法得到的x(t)的循環(huán)譜切面如圖1所示(圖中僅給出了正循環(huán)頻率軸,負(fù)循環(huán)頻率軸與其對(duì)稱),所選取的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8 192,對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行了歸一化處理.可以看出,圖1中所示的峰值位置與表2結(jié)果一致.

圖1　mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的循環(huán)譜切面圖

Fig.1Cyclic spectrum section of mW composite sequence spread spectrum signal

2基于循環(huán)譜的參數(shù)估計(jì)算法

根據(jù)表1、表2和圖1所示的結(jié)果,在正循環(huán)頻率軸上對(duì)循環(huán)譜切面進(jìn)行分析可知,mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)循環(huán)譜切面具有如下特征:

(1)對(duì)于不同的復(fù)合序列,兩主峰的中間位置為兩倍載頻2f0;

(2)mW(1)的主峰間距為2fW,mW(2)和mW(3)的主峰間距為fW,且所有復(fù)合序列的主峰間距均為4fc,根據(jù)該特征可估計(jì)出頻譜峰值頻率fc,并由此區(qū)分出mW(1);

(3)所有的次峰值均出現(xiàn)在距主峰fm的位置,由此可估計(jì)出m序列的碼片速率;

(4)mW(1)和mW(2)的兩次峰位于兩主峰內(nèi)側(cè),而mW(3)的兩次峰位于兩主峰外側(cè),利用該特征并結(jié)合特征(2),可區(qū)分mW(2)和mW(3).

根據(jù)以上分析,文中提出的參數(shù)估計(jì)算法的具體步驟如下:

(4)比較p1和p2位置處兩主峰峰值的大小,將峰值較大的主峰位置記為p5,并將其鄰域內(nèi)的次峰記為p6.

3壓縮循環(huán)譜

由mW復(fù)合序列的循環(huán)譜結(jié)構(gòu)可知,在(α,f)平面上,其循環(huán)譜具有極強(qiáng)的稀疏性.因此,可將壓縮采樣(CS)[12]理論引入到mW復(fù)合序列循環(huán)譜的獲取中,從而降低系統(tǒng)采樣率[13- 14].

設(shè)定x(t)的奈奎斯特采樣數(shù)為NT,采樣值用向量xT表示.為了獲得更好的循環(huán)譜估計(jì)效果,將NT個(gè)采樣值均分為L(zhǎng)段,每段的采樣值數(shù)為N,用xl∈RN表示,NT=NL.

對(duì)信號(hào)xl進(jìn)行壓縮采樣

zl=Axl

(16)

式中,zl∈Rm為壓縮采樣值,A∈Rm×N為壓縮采樣矩陣.則壓縮率κ=m/N<1.

定義信號(hào)xl的協(xié)方差矩陣為Rx,Rx∈RN×N，

(17)

rx=[rx(0,0),rx(1,0),…，rx(N-1,0)，rx(0,1),

rx(1,1),…,rx(N-2,1),…，rx(0,N-1)]T

(18)

(19)

vec(Rx)=PNrx

(20)

(21)

同理,對(duì)于壓縮采樣值z(mì)l,可以類似地定義Rz和rz,并得到rz與Rz的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

rz=Qmvec(Rz)

(22)

(23)

定義sx=vec(Sx),結(jié)合式(21)和(23),并由vec(ABC)=(CT?A)vec(B)[15]可得

(24)

式中,?為矩陣的克羅內(nèi)克積,I為單位矩陣.

由于zl=Axl,故Rz與Rx具有如下關(guān)系:

Rz=ARxAT

(25)

故由式(20)、(22)、(25)可得

rz=Qm(A?A)PNrx

(26)

rz=Ψrx

(27)

(28)

(29)

由于sx具有稀疏性,故由壓縮感知理論可知,sx可通過l1范數(shù)最小化來(lái)重構(gòu):

(30)

(31)

4仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

在所有的仿真實(shí)驗(yàn)中,選取長(zhǎng)度為127的m序列與長(zhǎng)度為4的Walsh序列復(fù)合形成mW復(fù)合序列,設(shè)定m序列碼片速率fm=25 MHz,Walsh序列碼片速率fW=100 MHz,載頻f0=187.5 MHz,奈奎斯特采樣率fs=800 MHz.

在通過壓縮采樣值重構(gòu)循環(huán)譜的過程中,將奈奎斯特采樣值均分為L(zhǎng)=400段,每段數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=128.壓縮率κ=m/N,壓縮采樣矩陣A為高斯隨機(jī)矩陣.為了降低噪聲的影響,用于參數(shù)估計(jì)的循環(huán)譜是10次重構(gòu)得到的循環(huán)譜的平均值.

4.1通過壓縮采樣值重構(gòu)循環(huán)譜

在無(wú)噪環(huán)境下通過壓縮采樣值重構(gòu)的循環(huán)譜切面圖如圖2所示,壓縮率κ=0.75.根據(jù)表1可知:mW(1)的主峰位置分別為275和475 MHz,次峰位置分別為300和450 MHz;mW(2)的主峰位置分別為325和425 MHz,次峰位置分別為350和400 MHz;mW(3)的主峰位置分別為325和425 MHz,次峰位置分別為300和450 MHz.可以看出,圖2中所有的峰值位置均與上述結(jié)果一致,由此驗(yàn)證了通過壓縮采樣值重構(gòu)mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)循環(huán)譜的可行性.

圖2　通過壓縮采樣值重構(gòu)的循環(huán)譜切面圖

4.2參數(shù)估計(jì)性能

在高斯白噪聲環(huán)境下仿真分析mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)各參數(shù)的估計(jì)性能.所有的仿真實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行500次,每次隨機(jī)選取mW(1)-mW(3)中的一條復(fù)合序列進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并得到估計(jì)性能的衡量標(biāo)準(zhǔn).其中,載頻和m序列碼片速率估計(jì)的衡量標(biāo)準(zhǔn)為歸一化均方誤差βNMSE,Walsh序列序號(hào)估計(jì)的衡量標(biāo)準(zhǔn)為序號(hào)估計(jì)正確率η,仿真結(jié)果如圖3、4所示.壓縮率κ分別選取0.65、0.75和0.85,則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)采樣率fs從800 MHz分別降低為520、600和680 MHz.為便于比較,文中還給出了κ=1時(shí)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,當(dāng)κ=1時(shí),A為單位矩陣，即A=I∈RN×N，表示沒有降低系統(tǒng)采樣率.

從圖3(a)可知:隨著信噪比的增加,估計(jì)的βNMSE逐漸減小;當(dāng)κ取0.75和0.85時(shí),βNMSE分別在信噪比為-9和-12 dB時(shí)開始收斂,且βNMSE值與κ=1.00時(shí)的βNMSE值相當(dāng);當(dāng)κ=0.65時(shí),βNMSE在信噪比為-5 dB時(shí)開始收斂,但其βNMSE值明顯大于κ=1.00時(shí)的βNMSE值;對(duì)于不同的壓縮率κ,即使βNMSE開始收斂,載頻估計(jì)的結(jié)果仍然具有很小的估計(jì)誤差,這是由于載頻的估計(jì)值由兩主峰的位置獲得,而在噪聲環(huán)境中,通過壓縮采樣值重構(gòu)的循環(huán)譜可能會(huì)出現(xiàn)某一次峰峰值大于相鄰主峰峰值的情況,從而造成載頻的估計(jì)誤差.

圖3　載頻估計(jì)和m序列碼片速率估計(jì)的歸一化均方誤差

Fig.3Normalized mean square errors of carrier frequency and m sequence chip rate estimation

圖4　Walsh序列序號(hào)估計(jì)的正確率

從圖3(b)可知:當(dāng)κ取0.75和0.85時(shí),βNMSE分別在信噪比為-5 和-9 dB時(shí)開始收斂,且βNMSE值與κ=1.00時(shí)的βNMSE值相當(dāng);當(dāng)κ=0.65時(shí),即使信噪比增加,也不能很好地進(jìn)行m序列碼片速率的估計(jì),這是由于壓縮率較低時(shí),不能很好地重構(gòu)循環(huán)譜切面的次峰值,從而造成較大的碼片速率估計(jì)誤差.比較圖3可以看出,載頻估計(jì)的性能優(yōu)于m序列碼片速率估計(jì)的性能,這是由于載頻由兩主峰位置獲得,而m序列碼片速率由主峰及其相鄰次峰之間的間距獲得,在峰值位置的檢測(cè)過程中,次峰比主峰更易受噪聲的影響.

從圖4可以看出:當(dāng)κ取0.75和0.85時(shí),在信噪比大于-12 dB后η>0.9,且在信噪比大于-9 dB后序號(hào)估計(jì)的正確率與κ=1.00時(shí)相當(dāng);當(dāng)κ=0.65時(shí),在信噪比大于-3 dB后序號(hào)估計(jì)的正確率與κ=1.00時(shí)相當(dāng).

5結(jié)論

利用擴(kuò)頻信號(hào)所具有的循環(huán)平穩(wěn)特征,以及基于循環(huán)譜法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)所具備的優(yōu)越性,文中采用循環(huán)譜來(lái)實(shí)現(xiàn)mW復(fù)合序列擴(kuò)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì),推導(dǎo)和分析了mW復(fù)合序列的循環(huán)譜特征,給出了可用于估計(jì)Walsh序列序號(hào)、m序列碼片速率和載頻的參數(shù)估計(jì)算法,并分析比較了其參數(shù)估計(jì)性能.針對(duì)其循環(huán)譜獲取所需采樣率較高的問題,文中通過壓縮采樣值來(lái)重構(gòu)信號(hào)循環(huán)譜,有效降低了系統(tǒng)采樣開銷.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該參數(shù)估計(jì)算法的可行性和有效性.

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收稿日期:2015- 04- 30

*基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271263)

Foundation item:Supported by the National Natural Science Foundation of China(61271263)

作者簡(jiǎn)介:郭黎利(1955-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事擴(kuò)頻通信技術(shù)研究.E-mail:guolili@hrbeu.edu.cn

文章編號(hào):1000- 565X(2016)05- 0029- 07

中圖分類號(hào)：TN 914.42

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.05.005

Parameter Estimaton of mW Composite Sequence Based on Compressive Cyclic Spectrum

GUOLi-liLIUXiang-puFUJiang-zhiLIQing-wei

(College of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,Heilongjiang,China)

Abstract:In order to implement the parameter estimation of mW (m-Walsh) composite-sequence spread spectrum signals,the corresponding cyclic spectrum is derived according to the theory of cyclic spectrum,and the feature of cyclic spectrum is analyzed on the basis of spectrum characteristics of Walsh sequence,with a parameter estimation algorithm on the basis of cyclic spectrum being also presented.Moreover,a compressive cyclic spectrum is introduced to meet the high-rate sampling for the calculation of cyclic spectrum.Thus,the cyclic spectrum can be reconstructed from compressive samples.Simulated results indicate that the introduction of compressive sampling helps effectively reconstruct the cyclic spectrum and estimate the sequence number of Walsh sequence,the chip rate of m sequence as well as the carrier frequency.

Key words:mW composite sequence;cyclic spectrum;compressive sampling;parameter estimation