鄒雨情

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線性方程組的解法在會計統(tǒng)計中的應用

鄒雨情

摘要：線性方程組求解計算涉及到航空航天、計算機計算程序、環(huán)境科學、會計統(tǒng)計計算、隱身器件設計等國民經(jīng)濟與國防建設等方面,其中往往需要求解一個或一系列大型線性系統(tǒng)。反問題就是所謂的已知有一組復數(shù),之后要求構(gòu)造一個矩陣A，使其具有某種性質(zhì)，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復數(shù)。而且,隨著問題規(guī)模所需的計算量增加,相應線性系統(tǒng)的未知數(shù)個數(shù)也在增加,有的上百萬或千萬,更有甚者竟達到上億。在本文中,我們通過與線性方程組的反問題相關(guān)的兩組例題，了解了每到例題的解題方法，以及該問題涉及到的對于線性方程組反問題在經(jīng)濟中的應用，還有一些相關(guān)的推論定理證明以及應用。

關(guān)鍵詞：線性方程組；求解反問題；r-循環(huán)矩陣式

會計在統(tǒng)計大型數(shù)據(jù)時,求解整個問題的關(guān)鍵和基礎是這些線性方程組的求解問題所在,計算過程大部分的時間和空間都浪費在計算量上,更有甚者計算量竟然占計算過程的80%以上。線性方程組反問題求解研究是現(xiàn)代科學計算的焦點和重要課題之一,有效的、簡單的統(tǒng)計方法研究既有理論意義又有實際意義,線性方程組的反問題在代數(shù)中,是最簡單但也是最重要的一類方程組求解問題,線性方程組求解的反問題在會計進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計時常用的一種方法。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成線性方程組，所以線性方程組對于計算數(shù)學是及其重要的。

自動回歸濾波器領域的許多問題，如計算機時間序列分析等，都涉及到周期性，這導致了一種特殊的矩陣r-循環(huán)矩陣式的研究—。針對r-循環(huán)矩陣式,研究基于ILUTP(p,)的預處理技術(shù),結(jié)合最小度排序的思想，在主要元件的選擇加入柱非零權(quán)重參數(shù)，矩陣的分解過程中減少填充元的重新排序，從而降低存儲的復雜性，減少計算量，提高運行效率，同時確保矩陣稀疏分解過程中不被摧毀。因此，對它的研究引起了人們的極大關(guān)注。特別是，更強調(diào)快速算法的r-循環(huán)矩陣。近年來，由于實際問題的需要，反問題的研究線性方程組已成為一個非?；鸬难芯空n題。

定義1若復數(shù)域C上的矩陣具有形狀

則稱A為r-循環(huán)矩陣，簡記為A=circr(a0,a1,...,an-1)。

利用行列式,把線性方程組的解以公式解的形式表示出來。而當線性方程組的數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，則只能求解該規(guī)則，而方程系數(shù)的行列式不等于問題的解。如果方程的數(shù)目不與未知量的個數(shù)相同，或該方程組的系數(shù)行列式等于更一般的線性方程組，克萊姆法則不能用于求解方程。

在科學研究和生產(chǎn)實踐中,許多實際問題往往涉及到解線性方程組及其反問題。因此,對線性方程組的研究具有十分重要的意義,所謂線性方程組反問題的解,是相對于對應線性方程組的“正問題”而言的。那么,線性方程組的反問題是什么樣的呢?以及該問題中涉及到的關(guān)于線性方程組反問題的應用,還有一些相關(guān)的定理和推論的證明以及應用。

問題1構(gòu)造一個線性方程組，使該線性方程組的通解為：B0+k1*B1+……+kr*Br。

相關(guān)定理設已知的記B=[B1，……,Br]T(其中T表示轉(zhuǎn)置)，對應的齊次線性方程組BX=0的解中的一個基礎解系即為：A1，……An-r。我們將其記為A=[A1，……An-r]T(其中T表示轉(zhuǎn)置),那么對于A*B0=b，也就是齊次線性方程組AX=b，則可以得到通解：B0+k1*B1+……+kr*Br。我們將其記為A=[A1，……An-r]T(其中T表示轉(zhuǎn)置),則B1，……,Br是已知的線性齊次方程組AX=0的其中一個基礎解系。

相關(guān)定理已知問題中給定了r個線性無關(guān)n維列向量：B1，……,Br。我們把它記為B=[B1，……,Br]T(其中T表示轉(zhuǎn)置)，我們假設求得的齊次線性方程組BX=0的一個基礎解系即為：A1，……An-r。給定向量線性組合B0+k1*B1+……+kr*Br，在此向量線性組合中，B1，……,Br是一組n維線性無關(guān)向量組。

證明由我們的假設B[A1，……An-r]=B*AT=0(其中T表示轉(zhuǎn)置)，所以A·BT=0(其中T表示轉(zhuǎn)置)，也就是說A[B1，……,Br]=0。即我們得到的B1，……,Br為線性齊次方程組AX=0的一組解。又因為r(A)=n-r，而B1，……,Br線性無關(guān)，所以我們求得的B1，……,Br就是AX=0的一個基礎解系。

結(jié)束語：線性方程組求解計算涉及到航空航天、計算機計算程序、環(huán)境科學、會計統(tǒng)計計算、隱身器件設計等國民經(jīng)濟與國防建設等方面,其中往往需要求解一個或一系列大型線性系統(tǒng)。而且，隨著問題規(guī)模的大大提高，相應線性系統(tǒng)的未知數(shù)個數(shù)也在明顯增加，有的上百萬、千萬，更有甚者上億。本文利用多項式最大公因式,給出了線性方程組的反問題在r-循環(huán)矩陣類和對稱r-循環(huán)矩陣類中有唯一解的充要條件,進而得到線性方程組在r循環(huán)矩陣類和對稱r-循環(huán)矩陣類中的反問題求唯一解的算法。最后給出了應用該算法的數(shù)值例子，所謂反問題，是指已知有一組復數(shù)，之后要求構(gòu)造一個矩陣A，使其具有某種性質(zhì)，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復數(shù)?；蛘呤窃谝阎猙和x的情況下，比如該矩陣是對稱正定矩陣，并且可以滿足：b=A*x。(作者單位：沈陽師范大學)

參考文獻：

[1]利用矩陣方程研究兩類線性方程反問題-張寶善，蔣永泉-《Journal of Mathematical Research with Applications》-1997；

[2]論非齊次線性方程組的又一類反問題-劉建國-《葛洲壩水電工程學院學報》-1996；

[3]一類線性方程反問題的顯示通解及其應用-張君敏-《河南師范大學學報：自然科學版》-2000；

作者簡介：鄒雨情(1994.12-)，女，遼寧黑山人，數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)。