王　宇

(安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

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GV-半群及其特殊子半群的相互關(guān)系*1

王宇

(安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

摘要:給出GV-半群的一些特殊子半群，研究了GV-半群與這些特殊子半群之間的聯(lián)系．特別對(duì)GV-半群與這些特殊子半群在保持完全正則性上作了等價(jià)刻劃．

關(guān)鍵詞:GV-半群；畢竟正則半群；理想；左正則

半群是一個(gè)滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng). 在一個(gè)多世紀(jì)的半群代數(shù)理論歷史中，對(duì)正則半群的研究一直占主導(dǎo)地位. 近三十年，對(duì)非正則半群的研究引起代數(shù)學(xué)者的重視．GV-半群是廣義的完全正則半群，因此它是與完全正則半群性質(zhì)最為接近的非正則半群．關(guān)于完全正則半群的研究成果大多在文獻(xiàn)[1]中給出．把文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果向GV-半群中推廣是研究GV-半群的常用方法[2-5]．本文是在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上對(duì)GV-半群與它的一些特殊子半群保持完全正則性的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)刻劃．

1基本概念及引理

首先介紹幾個(gè)常用的定義和引理，未說(shuō)明的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-6]．

半群S稱(chēng)為畢竟正則的，如果S中任意元都有一個(gè)冪是正則的；半群S稱(chēng)為GV-半群, 如果S是畢竟正則的，且S中每一正則元都是完全正則的；半群S稱(chēng)為左群, 如果S是左單且含有一個(gè)冪等元；半群S稱(chēng)為左正則，如果S的每個(gè)元素都是左正則的，即a∈Sa2,?a∈S；半群S稱(chēng)為左畢竟正則，如果S中任意元都有一個(gè)冪是左正則的，即?a∈S,?m∈N,使得am∈Sam+1.設(shè)T是半群S的非空子集，如果TST?T(TS∩ST?T)，則T稱(chēng)為S的雙理想(擬理想)．以下用I(S)(L(S)),R(S)分別表示S的所有真理想(真左理想，真右理想)的并．

引理1[1]半群S為左群當(dāng)且僅當(dāng)S是完全正則半群且左單．

引理2[3]半群S是畢竟正則，若S是GV-半群當(dāng)且僅當(dāng)S的每個(gè)正則元是左正則．

引理3[5]若S是半群，則S的每個(gè)理想(左理想,右理想)是S的一個(gè)擬理想,S的每個(gè)擬理想是S的一個(gè)雙理想．

引理4[3]若S是GV-半群，則?a∈RegS，?a'∈V(a),有a=aa'a,aa'=a'a．

2主要結(jié)論

定理1如果S是畢竟正則半群且S的每一個(gè)冪等元生成的左理想Se(?e∈Es)是畢竟正則的，則S是GV-半群．

證明因Se(?e∈Es)是畢竟正則半群，則?a∈Se,?m∈N有am∈RegSe，即?x∈Se使am=amxam,xe=x，易知xam∈ESe．令xam=f，由題意即知Sf也是畢竟正則半群，且am=amxam∈Sf，故?n∈N，y=sxam∈Sf,有(am)n=(am)n(sxam)(am)n=amn(sxam-1)amn+1=amn(sxam-1e)amn+1?(Se)amn+1，則a是左π-正則元，故Se是左畢竟正則的．再設(shè)?a∈S.?x∈S,m∈N,有am=amxam∈Se(令xam=e)，又Se是左畢竟正則的，則?n∈N,t∈S使(am)n=te(am)n+1∈Samn+1,則am是左正則的，再由a的任意性，知S是左畢竟正則．若?a∈RegS,則由以上證明易知a∈LRegS,故RegS?LRegS．由引理2即得S是GV-半群．

定理2設(shè)S是一個(gè)畢竟正則半群，則下列條件等價(jià)．

(1)S的每一個(gè)冪等元生成的左理想是π-正則的；

(2)S是GV-半群；

(3)S的每一個(gè)主理想是GV-半群；

(4)S的每一個(gè)理想是GV-半群；

(5)S的每一個(gè)左(右)理想是GV-半群；

(6)S的每一個(gè)雙理想是GV-半群；

(7)S的每一個(gè)擬理想是GV-半群；

證明(1)?(2)．由定理1即知．下面證明(2)?(3)．若S是GV-半群且I是S的任意理想，易知I是S的子半群．因S是畢竟正則半群，則?a∈I?S,?m∈N使am∈RegS，又am∈I，即易證I也是畢竟正則半群．假設(shè)?a∈RegI?Gr(s)，則?x∈S，使axa=a,ax=xa．下令t=xax∈SIS?I，則有t∈v(a),ata=a,at=ta,即知a∈Gr(I)，故RegI?Gr(I)，又Gr(I)?Reg(I)，則RegI=GrI，那么I是GV-半群．顯然，S的每個(gè)主理想也一定是GV-半群．

(3)?(2)．設(shè)?a∈RegS，用I(a)表示由a生成的主理想且I(a)是GV-半群，則?x∈I(a)?S，使axa=a,ax=xa，即a∈GrS，則RegS?Gr(S)，故S是GV-半群．

(3)?(4)．因(2)?(3)，故證(2)?(4)即可．由(2)?(3)的證明過(guò)程，易得S的每個(gè)理想是GV-半群．

(4)?(5)．易知S本身即是S的理想，故由(4)即知S是GV-半群，設(shè)L是S的任一個(gè)左理想，顯然L是S的子半群，?a∈L?S，則?m∈N,x∈S，有am=amxam,x=xamx,xam=amx,由引理2,因x=xamx=x2am∈SL?L，am∈L,則L是π-正則的，且am是L中任意正則元，因此RegL?GrL，故L是GV-半群，同理即證，S的任一右理想也是GV-半群．

(5)?(6)．由(5)即知S是GV-半群，因S本身即是S的左理想．設(shè)B是S的任一雙理想，易知B是S的子半群，?a∈B?S，則由引理2知,?m∈N,am∈RegS,am∈B且?x∈v(am)，使am=amxam,xam=amx,因x=xamx=xamxamx=amxxxam∈BSB?B，則B是π-正則，且RegB?Gr(B),故B是GV-半群．

(6)?(7)．由引理3，即知S的每一個(gè)擬理想是S的一個(gè)雙理想，故易證．

(7)?(1)．由引理3，即知S的每一個(gè)冪等元生成的左理想是S的擬理想，即證．

注意若S是π-正則半群，但不滿足RegS=GrS，則由定理2中(1)?(2)即知它的各種理想并不能保持它的性質(zhì)，即保持畢竟正則性．

定理3S的任意真理想(真左理想，真右理想)是GV-半群,當(dāng)且僅當(dāng)I(S)(L(S),R(S))是GV-半群．

證明設(shè)S的任意真理想是GV-半群，對(duì)?a,b∈I(S)，存在真理想I使a∈I，則ab∈IS?I?I(S) ，即I(S)是S的子半群，再設(shè)?a∈I(S),a∈I，則?m∈N,x∈I?I(S)，使amxam=am，故I(S)是畢竟正則半群．設(shè)?a∈RegI(S),a∈I，由引理2知,?a'∈v(a)，使得aa'a=a，aa'=a'a,因a'=a'aa'∈SIS?I?I(S)，即RegI(S)?GrI(S)，則I(S)是GV-半群．

設(shè)I是S的任意真理想且I(S)是GV-半群，易知I是S的子半群．?a∈I?I(S)，則?m∈N，使am∈RegI(S)，am∈I,由引理2知,?x∈v(am)?I(S),使x=xamx∈SIS?I，則am∈GrI，又am是I中任一正則元，則RegI?GrI，故易得I是GV-半群．

同理可證真左理想、真右理想的情況．

以下兩個(gè)定理刻畫(huà)了GV-半群的畢竟正則子半群具有保持完全正則性的性質(zhì)．

定理4S是GV-半群，且T是S的畢竟正則子半群，則T是GV-半群．

證明設(shè)a∈T，且T是S的畢竟正則子半群，則存在m=r(a)，使得am∈RegT，因而a2m∈RegT，且存在y∈T，使得a2mya2m=a2m．令x=ya2my∈T，則x是a2m的逆，且amxam(amxam)=amxa2mxam=amxam，即amxam∈ES．又amxam∈T，故amxam∈ET．令(am)-1∈V(am)，由am的完全正則性，則am(am)-1=(am)-1am．

故(amxam)a=am(am)-1am(xamam)=(am)-1am(amxam)am=(am)-1a2mxa2m=(am)-1amam=am(am)-1am=am，并且am(xam)=amxam，則amRamxam．

同理可證amLamxam，因此amHamxam.易知

易證GV-半群S的同態(tài)象和〈E(S)〉是S的畢竟正則子半群，從而根據(jù)定理4，可以得出

推論1S是GV-半群，則和S的同態(tài)象是GV-半群．

定理5S是GV-半群，ρ是S的同余，?e,f∈ES，則eSf,eS,Sf,eρ是GV-半群．

證明顯然eSf是S的子半群．對(duì)?a∈eSf，則存在m∈N，使得am∈RegS=GrS,am∈eSf．由引理4知，存在x∈V(am)，使得amxam=am,amx=xam，xamx=x,且存在b使am=ebf，又

x=xamx=amxx=ebfxx=

ebfxxamx=ebfxxxam=ebfxxxebf,

即x∈eSf，因此eSf是GV-半群．同理可證eS,Sf也是GV-半群．

下證eρ(?e∈Es)是GV-半群．

設(shè)?a,b∈eρ，則abρee=e，即eρ是S的子半群．又存在m∈N，使am∈RegS，am∈eρ,?a∈eρ,由引理4可知存在x∈V(am)，使amxam=am,amx=xam,xamx=x，且amρeρ(am)3，

又x=xamx=(x2am)ρx2(am)3=x(xamamam)=xamxamam=xamam=amxam=am，即xρa(bǔ)mρe，因此eρ 是GV-半群．

參考文獻(xiàn)：

[1]PETRICH M. Completely regular semigroups[M]. John: weley sonc INC, 1999.

[2]韓廣國(guó),龐新琴.完全π-正則半群的若干性質(zhì)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào),2003,30(3):241-243.

[3]BOGDANOVIC S. Semigroups with a system of subsemigroups[M]. Novi Sad: Novi Sad University press, 1985.

[4]WEIPOLTSHAMMER B. Certain congruences on E-inverse E-semigroups[J]. Semigroup Forum, 2002, 65(6): 233-248.

[5]馬軍英.關(guān)于π-正則和完全π-正則半群[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2005,19(5):1299-1302.

[6]田振際,嚴(yán)克明.π-逆半群上的特殊關(guān)系[J].甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,27(3):92-94.

[7]TIAN ZhenJi. Properties of eventually inverse semigroups[J]. Southeast asian bulletin of mathematics, 2006, 30(1):1-11.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.04.007

*收稿日期：2014-12-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金“基于分子信標(biāo)的自組裝模型研究與探索”(61170172,11401008)；安徽省自然科學(xué)基金“GV-半群及其子系統(tǒng)格的理論和方法研究”(1308085QA12)

作者簡(jiǎn)介：王宇,安徽壽縣人,碩士生導(dǎo)師,博士,講師.

中圖分類(lèi)號(hào)：O152.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-7974(2016)02-0023-03