鄧奎彪，范永青（.柳州職業(yè)技術(shù)學院，廣西柳州 545006；.西安郵電大學自動化學院，陜西西安　700）

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一個混沌系統(tǒng)的單輸入指數(shù)自適應(yīng)同步分析

鄧奎彪1，范永青2
（1.柳州職業(yè)技術(shù)學院，廣西柳州 545006；2.西安郵電大學自動化學院，陜西西安710210）

摘要：首先引入一個含有乘積項系統(tǒng)參數(shù)的混沌系統(tǒng).對新的吸引子的基本性質(zhì)用相圖、平衡點及穩(wěn)定性、李亞譜諾夫指數(shù)譜、分岔圖、Poincaré截面進行了詳細分析.然后對系統(tǒng)參數(shù)都為正時的系統(tǒng)的界進行了估計，并給出系統(tǒng)界的表達式.由于系統(tǒng)中含有乘積項參數(shù)，當參數(shù)未知時，同步新系統(tǒng)會比較困難.文中用一個帶有自適應(yīng)參數(shù)更新的單輸入控制器取得了系統(tǒng)的同步.最后，用數(shù)值仿真驗證提出方法有效性.

關(guān)鍵詞：指數(shù)同步；混沌系統(tǒng)；單輸入；自適應(yīng)

0　引言

自Lorenz在1963年發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng)，即Lorenz混沌模型［1］以來，混沌奇特的非性線現(xiàn)象引起了國內(nèi)外的學者廣泛關(guān)注，混沌在眾多領(lǐng)域取得了巨大而深遠的影響，并且許多新的混沌系統(tǒng)相繼被提出［2-6］.在混沌的諸多特性中，混沌系統(tǒng)的界對混沌的同步與控制有極為重要的意義.然而混沌系統(tǒng)的界并不易求得，只能估計少量混沌系統(tǒng)界，如Lorenz系統(tǒng)［7］，Lorenz系統(tǒng)族［8-9］，Chuan系統(tǒng)［10］等.本文首先引入一個含有乘積項的混沌系統(tǒng)，分析了其基本的動力學特性.然后，構(gòu)造一個適當?shù)恼ê瘮?shù)結(jié)合Lagrange函數(shù)法給出了新系統(tǒng)界的估計.作為界估計的應(yīng)用，本文設(shè)計出一個帶自適應(yīng)的單輸入線性反饋控制器實現(xiàn)了系統(tǒng)的指數(shù)同步，由于系統(tǒng)中含有乘積耦合項的系數(shù)，那么對于參數(shù)未知的自適應(yīng)同步就非常困難，目前國內(nèi)外很少有文獻［11］關(guān)于有乘積耦合項系數(shù)自適應(yīng)同步的報道.

1　新的混沌系統(tǒng)

式中：x，y，z代表系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c，d是系統(tǒng)參數(shù)，且都是正的實常數(shù).系統(tǒng)中有兩個非線項，并有一個參數(shù)乘積項cd.當a=0.6，b=0.4，c=1.2d，d=1.5時，三個李氏指數(shù)為L1=0.178，L2=0，L3=-0.718.系統(tǒng)（1）有一個混沌吸引子，此混沌的三維相圖見圖1.

圖1　系統(tǒng)（1）相圖

1.1平衡點和穩(wěn)定性

只需求解a=0.6，b=0.4，c=1.2d，d=1.5在方程組

就能得到平衡點。易求E1（0，5，0），E2（1.1431，1.7333，-0.9526），E3（-1.1434，1.7333，0.9526），三個平衡點.在平衡點E1處線性化系統(tǒng)（1）得到雅可比矩陣為：

由特征方程|λI-J（E1）=0，易求得三個特征值λ1=4.0514，λ2=-1.4514，λ3=-0.4 .因為有λ2，λ3＜0，λ1＞0，所以平衡點E1是不穩(wěn)定的鞍點.同理可求出在平衡點 E2，E3處的三個特征值為別為 λ1=-1.403，λ2=0.1681+1.8221i，λ3=0.1681-1.8221i .此時在平衡點E2，E2是不穩(wěn)定的鞍焦點.

1.2隨參數(shù)變化分岔圖，Lyapunov指數(shù)譜

分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜可表明系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)變化時的情況.下面只討論參數(shù)b變化情形，其它參數(shù)與之類似，故不再一一討論.固定參數(shù)a=0.6，c=1.2，d=1.5，改變參數(shù)b.當參數(shù)b∈［］0.1，0.4時，系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖2和圖3.圖2說明當數(shù)b變化時系統(tǒng)（1）從倍周期進入混沌狀態(tài).圖3表明隨著b變化時的過程中周期軌和混沌交替出現(xiàn). 1.3 Poincaré截面圖

圖2　b變化時的分岔圖

圖3　b變化時的Lyapunov指數(shù)

系統(tǒng)的混沌動力學特性還可以用Poincaré截面圖來進行分析.對Poincaré截面的選取應(yīng)該恰當，既不能包含系統(tǒng)的軌線，也不能與軌線相切.經(jīng)分析計算，得系統(tǒng)在x=0截面上的Poincaré截面圖如圖4所示.顯見在這Poincaré截面上的映射點集具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，吸引子的葉片清晰可見，表明新系統(tǒng)具有分形的特點.

圖4　Poincaré截面圖

以上的分析說明新的系統(tǒng)的確滿足混沌的基本特征，眾所周知混沌的運動軌線始終局限在一個確定的區(qū)域內(nèi)，因而混沌吸引子是一定有界的，下面來估計混沌系統(tǒng)的界.

2　混沌系統(tǒng)界的估計

在混沌的諸多特征中，具有正的Lyapunov指數(shù)和有界的軌道這兩個特征是目前廣泛采用的混沌判據(jù).前面得出了典型系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)，本節(jié)對新系統(tǒng)的界進行估計，給出當參數(shù)a，b，c，d全為正數(shù)時系統(tǒng)界的表達式，從而證實了新系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)并且有界這兩個混沌的基本特征.

證明：選取如下的正定函數(shù)

對（4）式沿著系統(tǒng)（1）的軌跡求導，有

構(gòu)造如下形式的的Lagrange函數(shù)

對式（7）求導，分別令

總結(jié)上面的四種情況，令

則定理1的證明完成.

圖5　　系統(tǒng)（1）含在橢球體內(nèi)

3　　指數(shù)自適應(yīng)同步新的混沌系統(tǒng)

本節(jié)將研究指數(shù)自適應(yīng)同步問題，設(shè)系統(tǒng)（1）是驅(qū)動系統(tǒng)，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為:

式中x1，y1，z1是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u是要設(shè)計的使得系統(tǒng)（1）和（13）取得指數(shù)自適應(yīng)同步的控制器，a1，b1，c1，d1是響應(yīng)系統(tǒng)（13）中未知需要估計的系統(tǒng)參數(shù).系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13）之間的誤差失量E和參數(shù)誤差失量Ep分別定義為:

由系統(tǒng)（1）和（13）得到系統(tǒng)誤差為:

定義1指數(shù)同步：如果控制器U和參數(shù)更新規(guī)則能使得下式

成立。則稱系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13）取得指數(shù)同步.上式中的A，B是兩個正數(shù)，V=eTpe是一個二次多項式，PT=P∈R7×7是一正定矩陣，e=［E，EP］TB為指數(shù)收斂率.

引理（算術(shù)幾何平均不等式）對于任意的實數(shù)X，Y及正實數(shù)ε都有成立.

線性反饋增益k滿足

參數(shù)更新規(guī)則為

式中α，β是正的實數(shù)，且α+β=1，μ1，μ2，μ3，μ4〉0，那么驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)自適應(yīng)指數(shù)同步.

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

對V1求導得

將式（18）（20）代入（22）有

根據(jù)式（12）和引理1，有

當下面的條件滿足時

由微分知識求得V1〈V1（0） e-tδ，且V1（0）〉0根據(jù)定義1有ex，ey，ez，ea，eb，ec，ed指數(shù)收斂到0.因此在控制器（18）和參數(shù)更新規(guī)則（20）的作用下驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（13）取得了指數(shù)自適應(yīng)同步.

4　數(shù)值仿真

本節(jié)用數(shù)值仿真驗證以上提出理論的正確性.采用四階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13），仿真步長為0.0001.系統(tǒng)（1）的參數(shù)值為，初始值系統(tǒng)令（13）初值，估計參數(shù)初值令式（20）中的參數(shù)，由式（26）要求，選取滿足條件的反饋增益k=34.選定式（20）中的，我們選?。?8）中的指數(shù)收斂率δ=0.15那么由定理2得時有均指數(shù)收斂到0即有,由圖（6）可見在控制器（18）和參數(shù)自應(yīng)律（20）的作用下驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（13）很快達到指數(shù)同步，并且也實現(xiàn)對響應(yīng)系統(tǒng)未知參數(shù)的識別.

圖6　系統(tǒng)（1）和（13）實現(xiàn)了指數(shù)自適應(yīng)同步

5　結(jié)論

首先分析了系統(tǒng)的基本動力學性質(zhì)，其次，通過構(gòu)造一個正定函數(shù)結(jié)合Lagrange乘法確定系統(tǒng)（1）在參數(shù)都為正數(shù)的情形下的界.最后，設(shè)計了一個帶有自適應(yīng)參數(shù)更新的單輸入控制器取得了系統(tǒng)的同步.由于只有一個單輸入控制器，相比多個輸入的控制器，不僅能降低控制成本，而且在工程上更容易實現(xiàn).因此本文的提出的同步方法，在理論上和工程實踐應(yīng)用中都具有重要的價值.

［參考文獻］

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（責任編輯：李潔坤）

The Analysis of a Single Exponential Input Adaptive Synchronization of a Chaotic System

DENG Kuibiao1，F(xiàn)AN Yongqing2
（1. Liuzhou Vocational & Technical College，Liuzhou，Guangxi，545006 China；2. School of Automation，Xi'an University of Posts and Telecommunication，Xi'an，Shaanxi，710121 China）

Abstract:This paper firstly presents a chaotic system including a product term of system parameters. Basic dynamical properties of the attractor are demonstrated in terms of phase portrait，equilibria and stability，Lyapunov exponent spectrum，bifurcation diagram and poincaré mapping. Then，the bound of this system is estimated for all the positive values of its parameters and the expression of the bound is illustrated. Owing to a product term of system parameters，it can be predicted that synchronization of the new system becomes more difficulty by taking account of uncertain system parameters. In this paper，the exponential synchronization between two identical chaotic systems by applying single input controller associated with system parameter update laws is proposed. At last，numerical studies are provided to illustrate the effectiveness of the presented scheme.

Key words:exponential synchronization；chaotic system；single input；adaptive

中圖分類號：TP911-34；TP29

文獻標識碼：A

文章編號：2096-2126（2016）01-0113-07

［收稿日期］2016-01-10

［基金項目］國家自然科學基金資助“帶有伸縮器和飽和器的模糊自適應(yīng)控制設(shè)計方法研究”（61305098）；廣西教育廳自然科學基金資助“物聯(lián)網(wǎng)中數(shù)據(jù)融合和安全問題關(guān)鍵技術(shù)研究”（KY2015YB399）。

［作者簡介］鄧奎彪（1970—），男，湖北荊門人，博士，工程師，研究方向：非線性控制、混沌同步、物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)；范永青（1978—），女，河南鶴壁人，博士，講師，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)同步控制。