干國勝，李　松，曲　杉

（1.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院　政策法規(guī)處；2.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院　公共課部，湖北 十堰442000；3.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院　汽車工程系，湖北 十堰442000）

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軟件Mathematica10.2在曲線繪制和弧長計(jì)算上的應(yīng)用

干國勝1，李松2，曲杉3

（1.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院政策法規(guī)處；2.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，湖北 十堰442000；3.湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程系，湖北 十堰442000）

摘要：Mathematica10.2新功能的圖形離散化命令DiscretizeRegion和弧長計(jì)算命令A(yù)rclength使曲線繪制和弧長計(jì)算上更加簡潔，本文結(jié)合該軟件其他命令，通過實(shí)例說明和分析該軟件在曲線繪制和弧長計(jì)算上的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：Mathematica10.2；曲線繪制；弧長計(jì)算

繪制復(fù)雜曲線圖形離開計(jì)算機(jī)幾乎是一件不可能的事情，而曲線的弧長即使手工可以計(jì)算，也是一件十分繁瑣的事情，有了計(jì)算機(jī)軟件，這方面的工作就有了很大的改觀，而Mathematica10.2新功能使計(jì)算曲線弧長變得更加簡潔明了，在繪制曲線方面也增加了新的方法，這些為教學(xué)和實(shí)際應(yīng)用提供了不少的方便。

Mathematica的早期版本，就有很強(qiáng)的作圖功能，在新版本中作圖功能得到進(jìn)一步加強(qiáng)，如圖形離散化命令DiscretizeRegion［reg］不僅可以作為求解器的輸入，而且可作為構(gòu)件來構(gòu)建更加復(fù)雜的區(qū)域，為曲線作圖和弧長計(jì)算提供了新的方法。

不同的坐標(biāo)系，光滑曲線有不同的弧長計(jì)算公式，但用Mathematica10.2可以用統(tǒng)一的命令A(yù)rcLength ［reg］或者RegionMeasure［reg］計(jì)算弧長，而且可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算。下面就通過一些實(shí)例來說明和分析Mathematica10.2在曲線繪制和弧長計(jì)算中的應(yīng)用。在本文例題中ArcLength［reg］與RegionMeasure［reg］等效，可以互相替換。

1　函數(shù)曲線、參數(shù)方程曲線和極坐標(biāo)方程曲線繪制及弧長計(jì)算

以下分別使用命令A(yù)rcLength［reg］和弧長計(jì)算公式求曲線的弧長。

1.1函數(shù)曲線繪制及弧長計(jì)算

例1求半立方拋物線y2=x3在點(diǎn)（1，1）和（4，8）之間的弧長。

圖1

Out［6］=7.63371

說明：“Assumptions→b＞a＞0”是命令A(yù)rcLength［reg］進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)相關(guān)選項(xiàng)的設(shè)置，這里表示：b＞a＞0。

1.2參數(shù)方程曲線繪制及弧長計(jì)算

圖3

1.3極坐標(biāo)方程曲線繪制及弧長計(jì)算

例5求心臟線r=1+Sinθ的長。

2　柱坐標(biāo)方程和球坐標(biāo)方程曲線弧長計(jì)算

例6求柱坐標(biāo)方程：螺旋z=θ，r=1一圈的長度（如圖3）。

圖5

說明：用命令ContourPlot3D繪制曲面交線十分便利。

3　隱函數(shù)曲線繪制及弧長計(jì)算

3.1平面隱式曲線繪制及弧長計(jì)算

3.2空間曲面交線繪制及弧長計(jì)算

空間曲面交線繪制是一件十分困難的事情，Mathematica10.2新功能隱式區(qū)域命令I(lǐng)mplicitRegion就較好地解決了這一問題。離散化區(qū)域命令DiscretizeRegion不僅能作出區(qū)域圖形，而且結(jié)合弧長命令A(yù)rcLength給出曲線弧長的數(shù)值解，這為不能求得弧長精確解曲線提供解決問題的新途徑。

例9求錐面：x2+y2=z2與平面：x+2z=2截線橢圓的周長并作圖。

圖7

例10求曲面z-2x2-3y2=0與曲面z-4+2x2+y2=0交線弧長并作圖。

圖8

說明：（1）Arclength［R］不能直接求出曲線的弧長，Arclength結(jié)合離散化區(qū)域命令DiscretizeRegion給出曲線弧長的數(shù)值解；（2）DiscretizeRegion［R］可直接作出兩曲面交線R的圖形，命令Show把兩曲面以及曲面的交線一起顯示，由Out［6］顯示。

4　小結(jié)

本文就軟件Mathematica10.2在曲線繪制和弧長計(jì)算作了一些探討，Mathematica命令的選項(xiàng)和參數(shù)也很多，在實(shí)際使用中，我們通過調(diào)整命令選項(xiàng)和參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)更多的功能和效果，為教學(xué)和實(shí)際運(yùn)用提供更多的幫助。

［參考文獻(xiàn)］

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2011:283.

中圖分類號(hào)：TP391.72

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-8153（2016）03-0105-06

收稿日期：2016-04-28

基金項(xiàng)目：湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院重點(diǎn)課題“職業(yè)教育數(shù)字化課程資源建設(shè)研究與開發(fā)”（20142JA01）階段性成果。

作者簡介：干國勝（1963-），男，湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院政策法規(guī)處處長，教授；李松（1986-），男，湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部教師；曲杉（1989-），女，湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程系助教。

Application of Mathematica10.2 in Curve Drawing and Arc Length Calculation

GAN Guo-sheng1，LI-Song2，QU-Shan3
（1.Dept.of Policy and Regulation；2.Dept.of Common Courses；3.Dept.of Automotive Engineering;Hubei Industrial Polytechnic，Shiyan 442000，China）

Abstract:The new features of Mathematical 10.2 on discrete graphical command Discretize Region and the arc length calculation command Arc Length make the drawing curve and arc length calculation much simpler.Combined with the software of the other commands，this paper illustrates and analyzes the software in curve drawing and arc length calculation through example analysis.

Key words:Mathematica10.2；curve drawing；arc length calculation