王　成， 劉　輝， 項(xiàng)昌樂

(1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院,北京　100081;2.中國北方車輛研究院 車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100072)

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基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)

王成1,2， 劉輝1， 項(xiàng)昌樂1

(1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院,北京100081;2.中國北方車輛研究院 車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100072)

摘要：基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)可真實(shí)地反映修形參數(shù)對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響?？紤]幾何偏心、陀螺力矩和齒向偏載力矩，建立了單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)10自由度橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。提出考慮齒輪實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并可適用于齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型，并采用解析法計(jì)算嚙合剛度。為了降低齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，以減小齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)為目標(biāo)，建立了基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化模型。對(duì)某重載車輛齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果有效的降低了齒輪的動(dòng)載荷，可為設(shè)計(jì)低振動(dòng)和低噪聲的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：齒輪傳動(dòng)；齒廓修形；優(yōu)化設(shè)計(jì)；非線性；嚙合剛度

隨著齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)向著高速、重載方向發(fā)展，在內(nèi)、外激勵(lì)共同作用下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲加劇，甚至影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的使用壽命和可靠性。齒廓修形可有效地緩和嚙合齒數(shù)變化時(shí)引起的嚙合剛度急劇變化，從而減小嚙入、嚙出沖擊，降低齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲[1-3]。

齒廓修形的主要任務(wù)是確定齒廓修形的三要素：修形量，修形長度和修形類型[4]。這三個(gè)因素的確定是個(gè)復(fù)雜問題，為取得最佳齒廓修形效果，一般采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法確定最優(yōu)修形參數(shù)。國內(nèi)、外學(xué)者對(duì)齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)做了廣泛而深入的研究，研究集中在基于靜力學(xué)模型的優(yōu)化和基于動(dòng)力學(xué)模型的優(yōu)化?；邶X輪傳動(dòng)靜力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般采用解析法[5]或借助有限元軟件[6-8]計(jì)算齒輪的靜態(tài)傳遞誤差，并將減小靜態(tài)傳遞誤差的波動(dòng)作為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化結(jié)果得到了靜態(tài)性能最優(yōu)時(shí)的修形量和修形長度。但靜態(tài)性能最優(yōu)時(shí)的修形參數(shù)很難使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也達(dá)到最優(yōu)[9]，一些學(xué)者開展了基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)合數(shù)值仿真結(jié)果以降低動(dòng)態(tài)傳遞誤差[9]或振動(dòng)加速度均方根值[10-11]為優(yōu)化目標(biāo)，得到了動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)時(shí)的修形參數(shù)。

通過研究文獻(xiàn)可知，以往基于齒輪動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)中，齒輪的動(dòng)力學(xué)模型一般簡化為2自由度純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，忽略了橫向和擺動(dòng)方向自由度的影響；忽略了齒輪的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與齒廓修形參數(shù)之間的耦合關(guān)系對(duì)嚙合剛度影響；齒廓修形齒輪的嚙合剛度多采用有限元的方法計(jì)算降低了計(jì)算效率。本文考慮幾何偏心、陀螺力矩和齒向偏載力矩，建立單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)10自由度橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。提出了考慮齒廓修形和齒輪實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的嚙合剛度模型，并采用解析法計(jì)算嚙合剛度。以減小齒輪的動(dòng)載系數(shù)為目標(biāo)，建立基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫扭擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化模型?；贗sight優(yōu)化軟件集成非線性動(dòng)力學(xué)程序，搭建優(yōu)化平臺(tái)，對(duì)某重載車輛齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒廓修形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證優(yōu)化模型的有效性。

1單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)圖1所示單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并采用以下三點(diǎn)假設(shè)：將滾動(dòng)軸承簡化為各向同性的彈性支撐，齒輪中心等效為傳動(dòng)軸和軸承的串聯(lián)支撐；齒輪輪體簡化為剛體，齒輪副通過沿著嚙合面方向的作用力耦合在一起；忽略齒輪的擺動(dòng)自由度對(duì)沿齒寬方向輪齒接觸線的影響，嚙合面始終與兩齒輪的基圓相切；理論上，漸開線直齒輪傳動(dòng)沒有軸向分力，每個(gè)齒輪考慮5個(gè)自由度，包含兩個(gè)橫向平移自由度，一個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度以及兩個(gè)擺動(dòng)自由度。

圖1　單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 Single-stage spur gear system

單級(jí)齒輪傳動(dòng)三維動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，圖中有兩種坐標(biāo)系，第一種為各齒輪的局部坐標(biāo)系oixiyizi，oi為傳動(dòng)軸理論中心位置；第二種為固定坐標(biāo)系OXYZ，它與齒輪1的局部坐標(biāo)系重合。A1A2-B1B2為齒輪副間的嚙合面；xi和yi分別為橫向平移自由度；θzi扭轉(zhuǎn)自由度；θxi和θyi分別為擺動(dòng)自由度；Ci為質(zhì)心位置；ei為偏心距；ψi為質(zhì)心位置的初始轉(zhuǎn)角。下標(biāo)i=1代表齒輪1，i=2代表齒輪2。

圖2　單級(jí)齒輪傳動(dòng)三維動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Three-dimension dynamic model of spur gear pair

1.1齒輪嚙合模型

齒輪實(shí)際嚙合過程中，由于軸和軸承變形等引起的嚙合偏差，輪齒間的相互作用力為沿齒寬方向上的非均布載荷即沿嚙合面A1A2-B1B2上的平面力系，雙齒嚙合時(shí)沿齒寬方向的載荷分布示意圖如圖3所示。將嚙合平面力系等效為動(dòng)態(tài)嚙合力Fm和垂直于嚙合面的齒向偏載力矩T，定義偏置距τ，可得

T=Fmτ

(1)

圖3　齒輪嚙合平面力系Fig.3 Planar force between gear teeth

在計(jì)算齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)，忽略擺動(dòng)自由度的影響，齒輪副通過沿嚙合線方向上的嚙合剛度、嚙合阻尼和齒側(cè)間隙耦合在一起[12]，如圖4所示。動(dòng)態(tài)嚙合力可表示為

Fm(t)=km(t)f(b,Δ(t))+cm(t)f1(b,Δ(t))

(2)

(3)

(4)

圖4所示的單級(jí)齒輪傳動(dòng)二維動(dòng)力學(xué)模型，規(guī)定使齒面受壓時(shí)的方向?yàn)檎?，?dòng)態(tài)傳遞誤差為[13-14]

Δ(t)=[x1+e1cos(φ1)-x2-

e2cos(φ2)]sin(α(t)+γ(t))-

[y1+e1sin(φ1)-y2-e2sin(φ2)]cos(α(t)+

γ(t))+rb1θz1-rb2θz2+e(t)

(5)

式中:φ1和φ2分別為齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)角，φ1=θz1+ψ1，φ2=θz2+ψ2；e(t)為齒廓修形引起的齒形偏差；α(t)和γ(t)分別為動(dòng)態(tài)嚙合角和位置角，由幾何關(guān)系可得

(6)

(7)

式中:rb1和rb2分別為齒輪1和齒輪2的基圓半徑；d(t)為動(dòng)態(tài)中心距，表達(dá)式為：

(8)

式中:l為初始中心距(見圖4)；Δx(t)和Δy(t)分別為兩齒輪質(zhì)心位置相對(duì)變化量

Δx(t)=x2-x1+e2cos(θz2+ψ2)-

e1cos(θz1+ψ1)

(9)

Δy(t)=y2-y1+e2sin(θz2+ψ2)-

e1sin(θz1+ψ1)

(10)

圖4　單級(jí)齒輪傳動(dòng)二維動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Two-dimension dynamic model of spur gear pair

1.2橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型

考慮幾何偏心、陀螺力矩和齒向偏載力矩，由拉格朗日方程可得單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Fmτcos(α(t)+γ(t))

(18)

Fmτsin(α(t)+γ(t))

(19)

(20)

式中:mi為質(zhì)量；Ixi，Iyi和Izi分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ti為加載力矩；qi=[xi,yi,θxi,θyi,θzi]T；Kij和Cij分別為齒輪i中心支撐剛度矩陣和阻尼矩陣的第j行；下標(biāo)i=1代表齒輪1，i=2代表齒輪2；下標(biāo)j=1,2,3,4,5。

2齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型

為了保證齒根的強(qiáng)度，在對(duì)齒輪進(jìn)行齒廓修形設(shè)計(jì)時(shí)一般僅對(duì)輪齒的齒頂進(jìn)行修形，且齒根修形相當(dāng)于對(duì)嚙合輪齒的齒頂進(jìn)行修形[2]。本文考慮齒頂修形，并將齒廓修形曲線表示為嚙合線長度的函數(shù)，如圖 5所示。

圖5　齒廓修形曲線與嚙合線的關(guān)系Fig.5 Relationship between profile modification and mesh line

齒廓修形曲線有多種類型，其中，線性修形和二次曲線修形是最常用修形類型[9,15-18]，它們可表示成通用形式

圖2給出了復(fù)合地基模型試驗(yàn)中土壓力盒的布置情況。試驗(yàn)共埋置了10個(gè)土壓力盒，在樁頂平面上，樁頂中心、樁間土中心、模型桶邊緣均設(shè)置土壓力盒。同時(shí)，樁間土中心、模型桶邊緣處20 cm、40 cm、60 cm深度均設(shè)置土壓力盒，用于測(cè)定地基土受壓時(shí)不同深度處樁間土、邊緣土的影響。土壓力盒直徑16 mm，厚度4.2 mm。

(21)

式中:s為任意修形位置的嚙合線長度，s∈[sb,se]，sb和se分別為修形起始點(diǎn)和修形終止點(diǎn)對(duì)應(yīng)的嚙合線長度，Cmax為齒頂位置的最大修形量。a和b為與修形類型相關(guān)的系數(shù)，它們之間滿足修形量邊界條件即a+b=1，當(dāng)a=1且b=0時(shí)為線性修形，其他情況均為二次曲線修形，其中，當(dāng)a=0且b=1又稱為拋物線修形。

齒廓修形主要影響動(dòng)態(tài)嚙合力中的動(dòng)態(tài)傳遞誤差和嚙合剛度。其中，齒廓修形引起的齒形偏差可作為參數(shù)激勵(lì)增加到動(dòng)態(tài)傳遞誤差中[8-9]，如式(5)所示。而嚙合剛度不僅齒廓修形參數(shù)相關(guān)，還與齒輪傳動(dòng)過程中嚙合點(diǎn)的位置相關(guān)。采用嚙合點(diǎn)壓力角確定嚙合位置，首先，分析齒輪波動(dòng)轉(zhuǎn)速和橫向振動(dòng)位移對(duì)嚙合點(diǎn)的影響；隨后，確定單、雙齒嚙合和修形區(qū)動(dòng)態(tài)邊界條件；最后，采用解析法計(jì)算嚙合剛度，提出齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型。

2.1嚙合位置

(22)

式中:a10為初始嚙合位置嚙合點(diǎn)壓力角。

圖6　中心距變化對(duì)嚙合點(diǎn)的影響Fig.6 Influence of center distance on mesh point position

齒輪的幾何偏心、橫向振動(dòng)位移等會(huì)導(dǎo)致中心距的變化，引起嚙合線方向變化，造成實(shí)際嚙合位置偏離式(22)所得嚙合位置P′，考慮中心距變化后實(shí)際嚙合點(diǎn)的位置為P，如圖6所示，任意時(shí)刻齒輪1的嚙合點(diǎn)壓力角為

tan-1(sign(γ(t))(α′-α(t)+

(23)

式中:sign為符號(hào)函數(shù)；α(t)為動(dòng)態(tài)嚙合角，如式(6)所示；γ(t)為位置角，如式(7)所示；α′為理論嚙合角，一般為20°。

由式(23)可確定單個(gè)嚙合周期內(nèi)齒輪1任意時(shí)刻的嚙合位置，結(jié)合漸開線齒輪嚙合原理可確定單齒或雙齒嚙合時(shí)任意參與嚙合輪齒的嚙合位置。

2.2單、雙齒嚙合和修形區(qū)動(dòng)態(tài)邊界條件

為了計(jì)算任意時(shí)刻的嚙合剛度，還需確定單、雙齒嚙合邊界條件αa、αb、αc和αd，如圖7所示，其中，αa為齒頂圓壓力角，αd滿足

(24)

式中:d(t)為動(dòng)態(tài)中心距，如式(8)所示；ra2為齒輪2齒頂圓半徑。

圖7　單、雙齒嚙合邊界條件Fig.7 Boundary conditions of single-tooth-meshing and double-tooth-meshing

由漸開線性質(zhì)可得

tanαc=tanαa-φ

(25)

tanαb(t)=tanαd(t)+φ

(26)

式中:φ=2π/z1，z1為齒輪1的齒數(shù)。

由式(24)～(26)可確定單雙齒邊界條件，其中，αc和αa均為定值，αb(t)為時(shí)間的變量，它隨中心距的變化而變化。

圖8　修形區(qū)邊界條件Fig.8 Boundary conditions of profile modification area

tanα2(t)=

(27)

2.3齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型

由式(24)和式(27)可知，單、雙齒嚙合邊界條件αb(t)和修形區(qū)邊界條件α2(t)均隨中心距的變化而變化，同時(shí)修形區(qū)邊界條件α1和α2(t)還與修形長度相關(guān)。不同修形長度和中心距下，αb(t)、α1和α2(t)之間存在多種大小關(guān)系，對(duì)其中一種舉例說明。若αb(t)≤α1≤α2(t)≤αa，此時(shí)，單齒嚙合最高點(diǎn)以上區(qū)域全在修形邊界條件內(nèi)，齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型

km(α1i(t))=

(27)

式中:ks為單對(duì)齒嚙合剛度；kmp1，kmp2和kmp3分別為修形區(qū)內(nèi)的嚙合剛度。采用解析法計(jì)算單對(duì)齒和修形區(qū)內(nèi)的嚙合剛度[18-19]，kmp1、kmp2和kmp3分別如式(29)～(31)所示

(29)

(30)

(31)

式中:k=ks1+ks2，E1=δ1-C1，E2=C1-C2，E3=δ2-C2，δ1=Fm/ks1，δ2=Fm/ks2，其中，ks1，ks2分別為不同齒對(duì)的嚙合剛度，F(xiàn)m為動(dòng)態(tài)嚙合力，C1和C2分別為齒輪1和齒輪2的任意嚙合位置的修形量，由式(21)計(jì)算。

以上齒廓修形齒輪的嚙合剛度確定方法，可高效地分析修形參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響，同時(shí)考慮了齒輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)嚙合剛度的影響，可實(shí)現(xiàn)與齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型的反饋計(jì)算。

3齒廓修形優(yōu)化模型

優(yōu)化模型的三要素包括設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，它們根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求而有所不同。

3.1設(shè)計(jì)變量

齒廓修形的主要任務(wù)是確定齒廓修形參數(shù)即修形量、修形長度和修形類型。將齒輪副中各齒輪的齒頂位置最大修形量Cmax1和Cmax2以及修形長度L1和L2均作為設(shè)計(jì)變量，如圖8所示。同時(shí)，兩齒輪采用相同的修形曲線，將式(21)中與修形類型相關(guān)的系數(shù)a作為設(shè)計(jì)變量。因此，優(yōu)化模型存在5個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量

X=[Cmax1,L1,Cmax2,L2,a]

(32)

3.2目標(biāo)函數(shù)

針對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的研究中，齒輪的振動(dòng)一般采用動(dòng)載荷或動(dòng)態(tài)傳遞誤差進(jìn)行評(píng)判。動(dòng)載系數(shù)是反映齒輪動(dòng)載荷的重要指標(biāo)，將齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)

(33)

式中:Fmax為由仿真計(jì)算所得動(dòng)態(tài)嚙合力的最大值；Fs為平均轉(zhuǎn)矩作用下的靜態(tài)嚙合力。

3.3約束條件

優(yōu)化模型的約束條件包含邊界約束和性能約束，其中，邊界約束為設(shè)計(jì)變量的邊界條件

Xl≤X≤Xu

(34)

式中:Xl為設(shè)計(jì)變量下限組成的列向量，Xu為設(shè)計(jì)變量上限組成的列向量。

性能約束包括齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度、接觸疲勞強(qiáng)度約束[20]

σF≤[σF]，σH≤[σH]

(35)

式中:σF和σH分別為彎曲疲勞強(qiáng)度和接觸疲勞強(qiáng)度，[σF]和[σH]分別為彎曲疲勞強(qiáng)度極限和接觸疲勞強(qiáng)度極限。

結(jié)合設(shè)計(jì)變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)，可得基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的齒廓修形優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

minf(X)

s.t.Xl≤X≤Xu

σH≤[σH]

σF≤[σF]

(36)

3.4優(yōu)化流程

基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型的齒廓修形優(yōu)化流程如圖 9所示。圖中同時(shí)給出了非線性動(dòng)力學(xué)模型仿真流程。

圖9　優(yōu)化流程Fig.9 Optimization flowchart

4實(shí)例分析

以某重載車輛齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例，齒輪副詳細(xì)參數(shù)見表1。以發(fā)動(dòng)機(jī)波動(dòng)轉(zhuǎn)矩作為輸入條件，如圖 10所示。采用4階定步長龍格-庫塔法求解非線性動(dòng)力學(xué)方程并采用Fortran語言進(jìn)行編程。

表1　單級(jí)齒輪傳動(dòng)參數(shù)

圖10　發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩Fig.10 Engine torque flunctuation

4.1修形參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

基于本文提出的齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型，本節(jié)針對(duì)表1中的齒輪參數(shù)研究修形參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響，兩齒輪的修形參數(shù)均相同。齒輪副輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速分別為發(fā)動(dòng)機(jī)平均轉(zhuǎn)矩2 500 N·m和額定轉(zhuǎn)速4 200 r/min。

不同修形長度下的嚙合剛度如圖 11所示，其中，修形類型均為線性修形，修形量為發(fā)動(dòng)機(jī)平均轉(zhuǎn)矩作用下單齒嚙合最高點(diǎn)的綜合變形量0.022 mm，修形長度取值范圍為1.4 mm～8.4 mm，取值間隔為1.4 mm。可以看出，齒廓修形有效的緩和了嚙合齒數(shù)變化時(shí)引起的嚙合剛度急劇變化，隨著修形長度增加，單個(gè)嚙合周期內(nèi)，雙齒嚙合區(qū)所占的時(shí)間比例逐漸減小。

不同修形量下的嚙合剛度如圖 12所示，其中，修形類型均為線性修形，修形長度為2.8 mm，修形量分別為0.01 mm～0.09 mm，取值間隔為0.02 mm。由圖可以看出，同樣，修形齒輪的在單、雙齒交替處的嚙合剛度急劇變化得到明顯緩和，修形量的變化不影響雙齒嚙合區(qū)的嚙合剛度，結(jié)合圖11可知，當(dāng)修形量超過0.022 mm時(shí)，隨著修形量的增加，單個(gè)嚙合周期內(nèi)，單齒嚙合所占的時(shí)間比例逐漸增加。

不同修形類型下的嚙合剛度如圖 13所示，其中，修形類型分別為線性修形、拋物線修形和二次曲線修形(a=0.5)，兩齒輪的修形量均為0.22 mm，修形長度均為2.8 mm，可以看出，修形類型并不影響單、雙齒嚙合區(qū)的嚙合剛度，主要影響修形區(qū)內(nèi)嚙合剛度的變化曲線。

圖11 不同修形長度下的嚙合剛度Fig.11Influenceoflengthofprofilemodificationonmeshstiffness圖12 不同修形量下的嚙合剛度Fig.12Influenceofamountofprofilemodificationonmeshstiffness圖13 不同修形類型下的嚙合剛度Fig.13Influenceoftypeofprofilemodificationonmeshstiffness

4.2齒廓修形優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于Isight優(yōu)化軟件集成非線性動(dòng)力學(xué)程序，搭建了優(yōu)化平臺(tái)，并采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件分別為，最大修形量的上限等于發(fā)動(dòng)機(jī)平均轉(zhuǎn)矩下單齒嚙合最高點(diǎn)的綜合變形量0.022 mm，修形長度上限等于單齒嚙合最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的修形長度7 mm。為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的可靠性，采用蒙特卡洛法分析優(yōu)化結(jié)果的失效概率，在最優(yōu)修形量和修形長度附近隨機(jī)選擇100個(gè)樣本數(shù)，各齒輪修形量的擾動(dòng)區(qū)間為[-0.01 mm,0.01 mm]，修形長度的擾動(dòng)區(qū)間為[-0.2 mm,0.2 mm]。失效的標(biāo)準(zhǔn)為動(dòng)載系數(shù)增幅超過最優(yōu)結(jié)果的10%。

優(yōu)化模型經(jīng)過71次迭代后收斂于最優(yōu)解，如圖14所示。優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)分別如表2和表3所示，可以看出優(yōu)化后各齒輪的修形量和修形長度較初始值有所增加，修形類型為線性修形。優(yōu)化后齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)為1.862，較初始設(shè)計(jì)變量下的動(dòng)載系數(shù)2.068降低了10%，且優(yōu)化結(jié)果的失效概率為2%，驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的可靠性。

表2　優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量

表3　優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)

取優(yōu)化前后的修形齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)和無修形齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行對(duì)比分析。嚙合剛度時(shí)域曲線如圖15，可以看出，齒廓修形有效地緩和了嚙合齒數(shù)變化時(shí)引起的嚙合剛度急劇變化，其中，無修形齒輪的嚙合剛度在單、雙齒交替處幅值變化接近單齒嚙合剛度的一倍左右， 而初始修形參數(shù)和最優(yōu)修形參數(shù)下， 單、

圖14 優(yōu)化目標(biāo)迭代歷程Fig.14Iteratingprocessofobjectiveduringoptimization圖15 嚙合剛度時(shí)域曲線Fig.15Time-domainresponseofmeshstiffness圖16 動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)域曲線Fig.16Time-domainresponseofgearmeshforce

雙齒交替處嚙合剛度幅值變化分別降為單齒嚙合剛度的30%和20%左右。動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)域曲線如圖16所示，可以看出，修形齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合力最大值均小于無修形齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合力最大值，其中，無修形齒輪的動(dòng)載系數(shù)為2.417，初始修形參數(shù)下動(dòng)載系數(shù)較無修形齒輪動(dòng)載系數(shù)降低了14%，最優(yōu)修形參數(shù)下動(dòng)載系數(shù)較無修形齒輪動(dòng)載系數(shù)降低了23%，優(yōu)化后齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載荷明顯減小。

5結(jié)論

(1) 建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，并以減小動(dòng)載系數(shù)為目標(biāo)，建立了基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的齒廓修形優(yōu)化模型。

(2) 提出了考慮齒輪實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并可適用于齒廓修形齒輪的嚙合剛度模型，實(shí)現(xiàn)了與齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行反饋計(jì)算，同時(shí)提高了分析齒廓修形參數(shù)對(duì)嚙合剛度影響的效率。

(3) 修形長度的變化主要影響單個(gè)嚙合周期內(nèi)，雙齒嚙合所占的時(shí)間比例；修形量主要影響單個(gè)嚙合周期內(nèi)，單齒嚙合所占的時(shí)間比例；修形類型主要影響修形區(qū)內(nèi)嚙合剛度的變化曲線。

(4) 針對(duì)某重載車輛齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的齒廓修形優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后齒輪的動(dòng)載系數(shù)較無修形齒輪的動(dòng)載系數(shù)降低了23%，驗(yàn)證了優(yōu)化模型的可行性，可為設(shè)計(jì)低振動(dòng)和低噪聲的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)提供依據(jù)。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375047);教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助(NCET-12-0043)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2014-11-01

通信作者劉輝 女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1975年生

中圖分類號(hào):TH132

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.023

Optimal profile modification for spur gear systems based on their lateral-torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model

WANG Cheng1,2, LIU Hui1, XIANG Chang-le1

(1. School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2. China North Vehicle Research Institute, Science and Technology on Vehicle Research Transmission Laboratory, Beijing 100072, China)

Abstract:Optimal profile modification of spur gear systems basd on their dynamic model can provide a true reflection for influences of profile modification parameters on their dynamic characterisitcs. Considering geometrey eccentricity, gyroscopic effect and load distribution factor along tooth width, a 10-DOF lateral-torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model of a spur gear system was established. The mesh stiffness model considering influences of profile modification and dynamic states of gear pairs was proposed. The analytical method was used to calculate the mesh stiffness. In order to reduce vibration and noise of gear transmission, the reduction of dynamic load factor was taken as an objective, the profile modification optimal model based on the dynamic model mentioned above was proposed. The optimal profile modification for the gear tranmission system of a certain heavy-duty vehicle was performed. The results showed that the dynamic load of the gear transmission system is effectively reduced after optimization. The results provided a reference for the design of gear transmission systems with low vibration and low noise.

Key words:gear transmission; profile modification; optimal design; nonlinear; mesh stiffness

第一作者 王成 男，博士生，1987年生

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