嚴(yán)穎，趙金鳳，季順迎

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

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道砟材料累積沉降量和形變模量的離散元分析

嚴(yán)穎1，趙金鳳2，季順迎2

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

摘要:針對鐵路有砟道床中碎石材料在細(xì)觀上的非規(guī)則形態(tài)，采用離散元模型構(gòu)造道砟顆粒，并通過道砟箱試驗(yàn)數(shù)值分析道砟材料在往復(fù)荷載下的累積沉降量和形變模量。計(jì)算結(jié)果表明：在往復(fù)荷載作用下道砟材料的累積沉降量與加載次數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，其形變模量隨加載次數(shù)的增加不斷增加并逐漸趨于穩(wěn)定。在此基礎(chǔ)上，對道砟摩擦因數(shù)和加載頻率影響下的累積沉降量和形變模量進(jìn)行離散元分析。隨摩擦因數(shù)的增大，道砟顆粒間的咬合力不斷增加，致使道砟材料的累積沉降量減小而有效剛度越大；隨加載頻率的增大，道砟材料更趨于密實(shí)排列，從而使其累積沉降量增大而形變模量降低。本文研究表明離散元模型在分析道砟材料力學(xué)特性方面具有較高的可行性，并有助于進(jìn)一步揭示有砟鐵路道床的累積變形規(guī)律。

關(guān)鍵詞：道砟材料；離散元模型；累積沉降量；形變模量；摩擦因數(shù)

有砟道床的主要功能是承受并傳遞來自軌枕的荷載，保持軌道幾何狀態(tài)的穩(wěn)定性，并減緩和吸收輪軌的沖擊和振動(dòng)。在列車荷載的重復(fù)作用下，有砟道床的彈性和變形受道砟顆粒重新排列、破碎粉化的影響有很大的變化，其塑性變形是軌道結(jié)構(gòu)殘余變形的主要原因[1]。對有砟道床累積沉降特性和有效彈性的研究有助于揭示軌道結(jié)構(gòu)的劣化機(jī)理[2-4]。有砟道床的累積沉降量和形變模量一般隨往復(fù)荷載作用次數(shù)的增加而增大，并當(dāng)荷載作用次數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)趨于穩(wěn)定[1-2,5]。通過動(dòng)三軸試驗(yàn)還研究了荷載、道床密實(shí)度和道砟材料等因素對道床永久變形的影響[1]。為模擬道砟的真實(shí)工作狀態(tài)，采用道砟箱試驗(yàn)研究道砟在準(zhǔn)靜態(tài)和往復(fù)荷載下的沉降過程。結(jié)果表明，道砟顆粒的形態(tài)和破碎對道砟材料的沉降變形影響顯著[6-8]。然而，對有砟道床的沉降特性及有效模量與外部荷載特性、初始鋪設(shè)條件、道砟級配和材質(zhì)等影響因素的對應(yīng)關(guān)系還尚未進(jìn)行全面深入地研究。為研究有砟道床的動(dòng)力特性，人們開展了一系列的數(shù)值分析?？紤]道砟的剛度等物理參數(shù)對道床沉降量的影響，用有限元方法模擬了道床在往復(fù)荷載作用下的累計(jì)變形特性[9-11]。然而，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限元方法未考慮細(xì)觀尺度下道砟顆粒在往復(fù)荷載下的重新排列和破碎特性，不能分析道砟形態(tài)、粒徑等因素的影響。針對道砟材料的非連續(xù)分布特征，離散單元法能夠精確地模擬道砟顆粒的粒徑、形狀、級配、孔隙率等細(xì)觀特征，以及道砟的破碎粉化過程等，計(jì)算結(jié)果更加接近工程實(shí)際[12-13]。近年來，針對有砟道床的離散結(jié)構(gòu)特性，離散元方法已成功地用于道床累積沉降量和變形模量中的研究，以及道床的搗固過程分析[14-18]。在道砟動(dòng)力特性的離散元分析中，最初采用規(guī)則的圓盤或球體單元模擬道砟顆粒[14-15]。為更合理地描述道砟顆粒的非規(guī)則幾何形態(tài)，人們采用球形顆粒的不同黏接和鑲嵌組合形式，以更準(zhǔn)確地分析其宏觀力學(xué)行為[19-22]。采用球體單元的黏結(jié)模型可模擬道砟材料在往復(fù)列列車荷載下破碎粉化特性[23-25]。為更加精確地表征道砟顆粒的非規(guī)則形態(tài)，可采用更小粒徑的球體顆粒，但單元數(shù)目的增加會(huì)急劇降低離散元的計(jì)算效率[26-27]。此外，采用多面體單元也是有效模擬道砟材料的途徑[19,27]。在細(xì)觀尺度下合理地構(gòu)造道砟顆粒形態(tài)不僅有助于提高計(jì)算效率，更重要的是可以更準(zhǔn)確地確定道砟材料的宏觀力學(xué)行為。本文采用球體單元的不同鑲嵌組合模式構(gòu)造非規(guī)則形態(tài)的道砟顆粒，在往復(fù)荷載下對道砟箱試驗(yàn)進(jìn)行離散元分析，探討道砟材料的累積沉降規(guī)律和形變模量特性。

1道砟箱試驗(yàn)的離散單元模型

1.1非規(guī)則形態(tài)道砟顆粒的構(gòu)造

道砟碎石一般為具有一定棱角的非規(guī)則多面體結(jié)構(gòu)，如圖1所示。針對道砟顆粒的幾何形態(tài)，本文采用球形顆粒的鑲嵌組合方法進(jìn)行構(gòu)造。首先依據(jù)道砟碎石的粒徑和幾何形態(tài)構(gòu)造相應(yīng)的多面體結(jié)構(gòu)，然后在該多面體結(jié)構(gòu)內(nèi)填充球形顆粒，并讓球體膨脹到設(shè)計(jì)尺寸，從而形成具有非規(guī)則形態(tài)的道砟單元。這里選取6個(gè)不同形態(tài)的道砟單元如圖2所示。道砟單元由若干個(gè)球形顆粒按不同重疊量和幾何方位鑲嵌而成，其體積、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可采用有限分割法進(jìn)行確定[28]。由于道砟碎石粒徑在工程應(yīng)用中有很寬的分布范圍，一般在16～63 mm范圍內(nèi)，其中31.5～50 mm級配內(nèi)的道砟在50%以上[29]。為提高離散元方法的計(jì)算效率，又能反映出道砟材料的力學(xué)性能，可選用較大粒徑顆粒進(jìn)行離散元分析[20,24]。為此，本文構(gòu)造的道砟顆粒尺寸在37～54 mm之間。

圖1　具有非規(guī)則形態(tài)的道砟顆粒Fig.1 Ballast particles with irregular shape

圖2　鐵路道砟的離散單元模型Fig.2 Discrete element model of railway ballasts

對各道砟顆粒分別建立整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)，在局部坐標(biāo)下計(jì)算各球體單元的作用力，以及道砟單元的受力和角速度，在整體坐標(biāo)下計(jì)算道砟顆粒的速度和位移；采用四元數(shù)方法對2個(gè)坐標(biāo)系間的參量進(jìn)行轉(zhuǎn)換計(jì)算[28]。此外，本文采用Hertz-Mindlin非線性接觸模型計(jì)算顆粒單元間的作用力。在法線方向上，顆粒之間的作用力包括Hertz彈性力和非線性黏滯力。在顆粒接觸的切線方向，采用Mindlin理論和Mohr-Coulomb摩擦定律進(jìn)行計(jì)算。對于非線性接觸模型，時(shí)間步長由顆粒密度、泊松比和剪切模量確定[31]。

1.2道砟箱模型的離散元構(gòu)造

本文通過道砟箱試驗(yàn)分析道砟材料在往復(fù)荷載下的動(dòng)力過程。參考相關(guān)道砟箱試驗(yàn)結(jié)構(gòu)，這里選取道砟箱尺寸為700 mm×300 mm×450 mm，由此道砟碎石可在7層以上。在對往復(fù)加載的道砟箱試驗(yàn)的離散元模擬中，采用的主要計(jì)算參數(shù)見表1。

表1道砟箱試驗(yàn)離散單元模擬中的主要計(jì)算參數(shù)

Table 1 Main computational parameters in DEM simulations of ballast box test

參數(shù)數(shù)值道砟箱尺寸/mm3700×300×450枕木尺寸/mm3295×250×170道砟粒徑/mm37～54道砟剛度/(N·m-1)7.25×107道砟密度/(kg·m-3)2545.0顆粒間摩擦因數(shù)0.1～1.0顆粒與側(cè)壁摩擦因數(shù)0.2最大加載力/kN30.5最小加載力/kN5.5

在離散元數(shù)值模擬中，將道砟顆粒隨機(jī)放置于道砟箱內(nèi)。初始道砟顆粒設(shè)為其實(shí)際粒徑的0.4倍，然后緩慢生長到所需粒徑。在顆粒生長過程中，顆粒之間因相互碰撞而達(dá)到新的平衡位置。道砟材料初始排列完成后，將軌枕緩慢放至道砟材料表面，如圖3所示。對軌枕緩慢加載至Fmean，然后施加正弦往復(fù)荷載，其最大值和最小值分別為Fmax和Fmin。在道砟箱試驗(yàn)的離散元模擬中，軌枕的長度為295 mm，其要明確小于標(biāo)準(zhǔn)鋼軌寬度。同時(shí)考慮列車對軌枕的沖擊特性，這里取最小荷載Fmin=5.5 kN，平均荷載Fmean=18.0 kN和最大荷載Fmax=30.5 kN，加載頻率f0=5 Hz。在Lu等的道砟箱試驗(yàn)離散元計(jì)算中取最大荷載40 kN，加載頻率為3 Hz[7]，高亮等的離散元模擬中在整個(gè)軌枕上施加的最大荷載為70 kN，加載頻率為10 Hz[30]。

圖3　道砟箱試驗(yàn)的離散單元模型Fig.3 Discrete element model of ballast box test

2道砟材料累積沉降量和形變模量的離散元分析

2.1往復(fù)荷載下道砟材料的累積沉降量和形變模量

采用鑲嵌組合顆粒單元，對道砟箱在往復(fù)荷載下的動(dòng)力過程進(jìn)行了離散元計(jì)算，其在35個(gè)荷載周期下的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。圖4(a)為荷載情況，圖4(b)為荷載與枕木沉降量間的關(guān)系。在第一個(gè)加載周期，道床的沉降量較大；隨著加載次數(shù)的增加，沉降曲線越來越密實(shí)，即軌枕沉降趨于平穩(wěn)。

圖4(c)為軌枕累積沉降量隨加載次數(shù)的演變情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，軌枕沉降量隨往復(fù)荷載呈周期性變化，累計(jì)下沉量隨往復(fù)荷載次數(shù)的增加不斷增大，但是增長趨勢逐漸趨于平緩。這主要是由于道砟顆粒在加載初期排列相對疏松，而在往復(fù)荷載的作用下不斷重新密實(shí)排列，并隨加載次數(shù)的增加其內(nèi)部排列不斷密實(shí)，進(jìn)而使其累積沉降量趨于平穩(wěn)。從圖4(c)呈現(xiàn)的計(jì)算結(jié)果來看，道砟材料在35個(gè)周期荷載作用下的累積沉降量可達(dá)4.5 mm。這與Mcdowell等的離散元模擬結(jié)果接近[6,14]。

為進(jìn)一步分析道砟材料在往復(fù)荷載下的彈性演化趨勢，這里對軌枕所受作用力P與其對應(yīng)位移u進(jìn)行線性擬合，并定義其形變模量為：

(1)

形變模量M單位為N/m。

(a)正弦往復(fù)荷載；(b)荷載P與累積沉降量u的對應(yīng)關(guān)系；(c)累積沉降量u隨加載次數(shù)N的變化趨勢圖4　離散元模擬的道床在往復(fù)荷載作用下的P-u曲線Fig.4 P-u curves of ballast track under cyclic loading simulated with DEM

這里以第2次加載周期為例(如圖5(a)所示)，荷載P與軌枕沉降量u呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系，即：

P=13.34u-10.62

(2)

式中，荷載P單位為kN，沉降量u單位為mm。這里的斜率即為道砟材料的形變模量，即M=13.34×106N/m。該形變模量的擬合殘差R2=0.999 6，表明荷載與沉降量具有很好的線性關(guān)系。由此對35個(gè)加載周期的形變模量進(jìn)行確定，結(jié)果如圖5(b)所示。在最初幾個(gè)加載周期內(nèi)，形變模量增長明顯，但隨著加載周期的增加，形變模量趨于平緩。從圖4(c)和圖5(b)可以看出，道砟材料的累積沉降量一直隨加載次數(shù)的增加而增加，而其形變模量則很快趨于穩(wěn)定。道砟材料形變模量和累積沉降量均有效地反映了有砟道床在往復(fù)荷載作用下的密實(shí)過程，分別表征了道床有效彈性和永久變形的演化規(guī)律。

(a)P-u線性擬合;(b)形變模量隨加載次數(shù)的變化趨勢圖5　道砟材料P-u對應(yīng)關(guān)系及形變模量演化規(guī)律Fig.5 P-u relationship of ballast materials and deformation modulus

2.2往復(fù)荷載下道砟材料內(nèi)部的力鏈分布

力鏈?zhǔn)巧Ⅲw材料內(nèi)部各顆粒間作用力的主要傳遞方式。從細(xì)觀尺度上分析往復(fù)荷載作用下道砟顆粒間力鏈的空間結(jié)構(gòu)和強(qiáng)度分布，有助于揭示道砟材料的基本力學(xué)行為。

取一個(gè)加載周期內(nèi)道砟顆粒間的力鏈分布如圖6所示。當(dāng)t=1.65 s時(shí)，對軌枕施加最小作用力P=5.5 kN，此時(shí)力鏈分布均勻且強(qiáng)度較弱，最大接觸力為285.32 N，顆粒之間接觸充分，接觸數(shù)為4 919。當(dāng)t=1.81 s時(shí)，軌枕施加于道砟上的作用力增加到30.5 kN。此時(shí)顆粒間的最大接觸力增加到898.23 N。在該過程中道砟顆粒間的力鏈明顯發(fā)生斷裂和重構(gòu)過程，強(qiáng)力鏈主要分布于枕木下方，呈輻射狀分布。

當(dāng)t=1.98 s時(shí)，即在卸載至P=5.5 kN時(shí)，顆粒之間的接觸再次發(fā)生變化，力鏈重新組構(gòu)，強(qiáng)力鏈發(fā)生斷裂。此時(shí)，顆粒之間的最大接觸力為365.72 N，接觸數(shù)為3 272。由此可見，在加載-卸載過程中，由于道砟顆粒間的相互移動(dòng)、錯(cuò)動(dòng)、重新排列組合，從而使顆粒間的力鏈結(jié)構(gòu)發(fā)生相應(yīng)的變化。

(a)t=1.65 s;(b)t=1.73 s;(c)t=1.81 s;(d)t=1.98 s圖6　循環(huán)荷載下力鏈分布Fig.6 Force chain distribution under cyclic loading

3道砟材料累積沉降及形變模量的影響因素分析

3.1道砟顆粒間摩擦因數(shù)的影響

摩擦因數(shù)是道砟表面粗糙程度的一個(gè)表征，摩擦因數(shù)越大，道砟顆粒越粗糙。有砟道床的累積沉降量和形變模量與碎石的摩擦因數(shù)密切相關(guān)。這里取道砟顆粒間的摩擦因數(shù)μ= 0.4，0.45，0.5，0.55和0.6時(shí)，對道砟箱試驗(yàn)在10次往復(fù)加載下進(jìn)行離散元分析。不同摩擦因數(shù)下得到的軌枕位移變化如圖7(a)所示，可發(fā)現(xiàn)道砟材料的累積沉降量隨加載次數(shù)而不斷增加。這與圖4(c)所示結(jié)果相一致。由圖7(a)確定的不同摩擦因數(shù)下第10個(gè)加載周期時(shí)的累積沉降量如圖7(b)所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著摩擦因數(shù)的增加，軌枕沉降量不斷減小，且當(dāng)μ<0.5時(shí)，沉降量受摩擦因數(shù)的影響更加明顯。這是由于摩擦因數(shù)較小時(shí)，道砟顆粒間的摩擦阻力減小，致使軌枕更容易發(fā)生沉降；當(dāng)摩擦因數(shù)較大時(shí)，道砟顆粒間的滑動(dòng)摩擦增加，致使其滾動(dòng)方式顯著增加，并成為道砟相對運(yùn)動(dòng)的主要形式。

為進(jìn)一步分析摩擦因數(shù)對道砟材料形變模量的影響，對以上不同摩擦因數(shù)第10次加載時(shí)作用力P與位移u進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，形變模量隨摩擦因數(shù)的增加而增大。這主要是由于道砟顆粒間摩擦因數(shù)的增大，會(huì)使顆粒間的摩擦阻力增加，從而限制顆粒的相互運(yùn)動(dòng)。

(a)軌枕沉降量變化；(b)第10個(gè)加載周期的道砟材料累積沉降量圖7　不同摩擦系數(shù)下離散元模擬的軌枕沉降量Fig.7 Accumulated settlement of sleeper simulated with DEM

圖8　道砟材料有效剛度與摩擦因數(shù)的對應(yīng)關(guān)系Fig.8 Relationship between the effective stiffness and the inter-particle friction coefficient of ballast materials

3.2加載頻率的影響

道床沉降量與形變模量變化與列車的行駛速度，即往復(fù)荷載的頻率密切相關(guān)。本文對道砟箱試驗(yàn)在加載頻率分別為3，5，10，15和20 Hz時(shí)進(jìn)行了10個(gè)周期的離散元分析，計(jì)算得到的軌枕沉降過程如圖9(a)所示，由此得到第10個(gè)加載周期時(shí)的累積沉降量如圖9(b)所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在高頻荷載作用下，道砟材料在相同加載次數(shù)下的累積沉降量明顯增大。這是由于高頻加載下道床的彈性變形恢復(fù)時(shí)間短，同時(shí)高頻的振動(dòng)使道砟材料運(yùn)動(dòng)加速，從而更容易重新排列。由此可見，在列車高速運(yùn)行中，有砟道床更容易發(fā)生沉降變形。

不同加載頻率下第10次加載時(shí)作用力P與位移u進(jìn)行線性擬合，得到的形變模量如圖10所示。可以發(fā)現(xiàn)，加載頻率對道床的形變模量影響比較明顯。加載頻率越高，道床的形變模量越小。這是由于道砟顆粒在高頻荷載作用下振動(dòng)較強(qiáng)，從而更容易發(fā)生疏松排列，致使其形變模量迅速降低。

(a)軌枕沉降量變化；(b)第10個(gè)加載周期的道砟材料累積沉降量圖9　不同加載頻率下軌枕的沉降值Fig.9 Settlement of sleeper under different loading frequencies

圖10　不同加載頻率下道砟材料的形變模量Fig.10 Deformation modulus of ballast materials under different loading frequencies

4結(jié)語

1)針對鐵路道砟碎石的細(xì)觀幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用球體組合鑲嵌方式構(gòu)造道砟顆粒，對道砟材料在往復(fù)荷載下的累積沉降和彈性特征進(jìn)行了離散元數(shù)值分析，驗(yàn)證了離散元方法在研究有砟道床動(dòng)力學(xué)中的可行性。

2)道砟材料的累積沉降量和形變模量均隨加載次數(shù)而增大并趨于穩(wěn)定，在加載過程中道砟顆粒間的強(qiáng)力鏈主要分布在軌枕下方，并呈輻射狀分布。

3)道砟材料的累積沉降量隨道砟顆粒間摩擦因數(shù)的增大而減小，隨加載頻率的增加而增大；形變模量則隨摩擦因數(shù)的增加而增大，隨加載頻率的增加而減小。

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* 收稿日期：2015-09-20

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172063,11572067,U1234209)

通訊作者：季順迎(1972-)，男，河北武邑人，教授，博士，從事顆粒材料計(jì)算力學(xué)及工程應(yīng)用研究； E-mail: jisy@dlut.edu.cn

中圖分類號：U213.7+2; O158

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)06-1031-08

Discrete element analysis of settlement and deformation modulus of railway ballasts

YAN Ying1,ZHAO Jingfeng2,JI Shunying2

(1.School of Civil and Safety Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Abstract:This study investigates settlement and deformation modulus of railway ballasts under repeated loads through ballast box tests by using discrete element method and considering the irregular shapes of ballasts. Simulated results present an exponential relationship between settlement and loading cycles. Deformation modulus of ballasts increases with increasing loading cycles and tends to be constant. Based on the developed discrete element model, this study also explores the influential factors, such as friction coefficients of ballasts and loading frequency. The results show that settlement reduces and deformation modulus increases with increasing friction coefficients because of the increasing interlocking between particles. Settlement increases and deformation modulus reduces with increasing loading rates because of the corresponding compact packing. This study shows the feasibility and contribution of the discrete element method in the understanding of the mechanical characteristics of railway ballasts.

Key words：ballasts; discrete element method; settlement; deformation modulus; friction coefficient