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帽子謎題簡單版

2016-08-02 01:11
大自然探索 2016年6期
關(guān)鍵詞:典獄長藍藍謎題

許多讀者朋友可能會對前面提到的謎題感興趣。它的答案是什么?如果回答這種策略并不存在(事實上,一般人不經(jīng)過仔細思考的話,很可能就會否定這種策略的存在),那么應(yīng)聘者就在一個重要的面試問題上失敗了。但要想找到這個策略,當然也不容易。實際上,這道“100頂帽子”謎題是結(jié)合了運籌學、邏輯學和數(shù)學相關(guān)知識的一道中等難度的謎題。為了幫助讀者理解它的解答思路,我們先來看它的簡化版:警察抓來4個囚犯,但監(jiān)獄已經(jīng)滿員,于是典獄長想出了一個解決辦法,他給囚犯們出了一道謎題。他讓其中3個囚犯站成一列,第4個囚犯則被一扇屏風擋住。典獄長給每個囚犯各戴一頂帽子,并且對囚犯們說,其中兩頂帽子是黑色的,另外兩頂是白色的。每個囚犯都只能看見他前面的囚犯戴的帽子,但看不見他自己或他后面的囚犯戴的帽子。屏風背后的囚犯看不見自己的帽子,另外3個囚犯也看不見他。此外,囚犯之間不得有任何交流。如果任何一個囚犯能以100%的準確度(而不是靠猜測)報告典獄長他自己戴的帽子是什么顏色,那么4個囚犯均獲釋;但如果任何一個囚犯答錯,則4個囚犯都會被立即處死。謎題就是:不管典獄長怎樣分配帽子,找到讓所有囚犯逃生的策略。

為了方便解釋答案,我們對排成列的囚犯從前到后分別給予代號D、C和B(如上圖)。也就是說,C能看見B的帽子,D能看見B和C的帽子。囚犯們知道每種顏色的帽子只有兩頂,因此,如果D觀察到B、C的帽子同色,D就能推斷出他自己的帽子為另一種顏色。然而,如果B、C的帽子不同色,D就無法判斷自己帽子的顏色,也就只能不說話。其實這時候的關(guān)鍵在于C。從D的不說話,C就能判斷出他和B的帽子顏色不同。因為C能看見B的帽子是什么顏色,所以他就能斷定自己的帽子是與B不同的顏色。

與許多這類謎題一樣,上述答案依賴于一種假設(shè):所有參與者都是理性的和足夠聰明的,因此足以作出合適的推斷。否則,上述逃生策略就行不通。在解決這道謎題后,我們可以對交流的本質(zhì)進行一些思考:囚犯D有意的沉默是否違反了“不能交流”的規(guī)則?交流經(jīng)常被定義為“信息傳遞”,而D不說話(不傳遞信息)恰恰提醒了C(或者說向C傳遞了一種無聲信息)。為了澄清這一點,謎題中“囚犯之間不得有任何交流”可改為“囚犯之間不得有任何語言交流”。

把上述謎題稍作改動:囚犯們知道黑色帽子有3頂,白色帽子只有1頂,并且屏風同一側(cè)的3個囚犯能相互看見(但A依然看不到自己所戴帽子的顏色),即B看得見C和D,C看得見B和D,D看得見B和C。但B、C和D都看不見A,而A也看不見他們。那么,逃生策略是什么?

答案要分兩種情況。第一種,3個囚犯中有1個戴的正是白色帽子,那么其余兩個自然一下就能判斷自己的帽子是黑色的。第二種,囚犯BCD戴的都是黑色帽子,A戴的是白色帽子。由于他們每個人都看到其他兩人戴的都是黑帽子,所以他們3人中無人敢斷言自己的帽子是什么顏色。通過都不發(fā)言,他們就能推斷他們3人戴的都是黑色帽子,而A戴的帽子是白色的。

再對上述謎題作改動:只有3個囚犯,帽子卻有5頂,其中2黑3白。3個囚犯被命令頭朝前站成一列,其中A在最前面,C在最后。他們被告知有2黑3白共5頂帽子。每個囚犯都被戴上1頂帽子,且他們都只能看見自己前面的人所戴的帽子,但看不見自己和后面的人所戴的帽子。誰能第一個準確說出自己的帽子是什么顏色,誰就獲釋。但是,囚犯之間不得進行語言交流。

答案要分兩種情況。首先,假設(shè)A戴的是黑帽子。如果B戴的也是黑帽子,C立即能判斷自己戴的是白帽子。如果A戴的是黑帽子,B戴的是白帽子,C就無法判斷自己戴的帽子是什么顏色。從A戴的黑帽子和C的不發(fā)聲,B就能知道自己和A戴的帽子顏色不同,因此自己戴的必定是白帽子??偨Y(jié)前述,如果A戴的是黑帽子,B或C將立即判明自己所戴帽子的顏色。

第二種情況,假設(shè)A戴的是白帽子。此時,C看不到兩頂黑帽子,因此無法判斷自己的帽子顏色。B只看見1頂白帽子,所以也無法斷定自己的帽子顏色。這樣一來,A、B和C都會保持短暫沉默,直到A最終判斷出自己一定戴的是白帽子,原因是C和B都不發(fā)聲。

在這個謎題中,依然要假定3個囚犯都很聰明。另外需要假定,C囚犯無法判斷自己的帽子顏色,就是因為看見其他兩個囚犯戴的帽子都不是黑色的,或者黑白各1頂。如果他看見了兩頂黑帽子,那么他就能斷定自己戴的是白帽子。還需要假定,其他兩個囚犯能理解第一個囚犯的反應(yīng),利用這一信息并結(jié)合自己親眼所見,推斷出自己的帽子顏色。

再來看3個囚犯和3頂帽子的情況:每個囚犯被隨機戴一頂帽子,要么紅色,要么藍色。每個囚犯都能看見其他兩個囚犯的帽子,但看不見自己的帽子。每個囚犯要么猜測自己的帽子顏色,要么保持沉默。3名囚犯必須同時作答或不答,因此就不可能根據(jù)他人的猜測來作出自己的猜測。如果至少有一個人答對,其他人不回答,那么他們?nèi)揩@釋。否則,他們都會被處決。在此之前,3名囚犯可以商量對策。這個謎題(對策)沒有100%的勝算策略,問題是:最佳策略是什么?什么策略能保證最高勝算?

答案其實并不難。3個囚犯在同時猜的時候,最佳策略是這樣的:如果看到另外兩人帽子顏色不一樣,就保持沉默;如果看到另外兩人的帽子都是紅色,就說藍色;如果看到另外兩人的帽子顏色都是藍色,就說紅色。

為什么這樣呢?3個囚犯,兩種帽子顏色,則其排列組合只有8種:紅紅紅,紅紅藍,紅藍紅,紅藍藍,藍紅紅,藍紅藍,藍藍紅,藍藍藍。也就是說,在所有8種情況下,只有兩種情況是三人的帽子同色,而有6種情況是有一人的帽子和另兩人不同色。即依照上述對策,回答正確的概率為75%,可以說是最佳策略。

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