黃　輝，雷曉燕，劉慶杰

(華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

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基于小波變換的輪軌垂向力信號(hào)降噪

黃輝，雷曉燕，劉慶杰

(華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

摘要：輪軌力應(yīng)變信號(hào)在采集過程中，由于噪聲干擾的存在，將嚴(yán)重影響所采集數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。針對(duì)輪軌力應(yīng)變信號(hào)中存在的基線漂移和隨機(jī)白噪聲，提出基于小波變換的去噪方法：采用db 6小波基，根據(jù)小波多分辨率分析理論，以大尺度分解的逼近分量估計(jì)基線漂移成分，從而消除基線漂移；對(duì)于隨機(jī)白噪聲則是運(yùn)用小波閾值去噪法，先根據(jù)離散有限序列的自相關(guān)函數(shù)確定小波分解的最優(yōu)分解層數(shù)，然后采用最小最大閾值以及硬閾值函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)白噪聲的濾除。仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析都表明該去噪法能達(dá)到比較理想的效果。

關(guān)鍵詞：聲學(xué)；輪軌力；小波變換；去噪；基線漂移；白噪聲

基于鋼軌應(yīng)變的測(cè)力鋼軌法是目前測(cè)量輪軌力的主要方法之一，如剪力法、軌腰壓縮法等，先在鋼軌上粘貼應(yīng)變片，然后將應(yīng)變片按一定的方式進(jìn)行組橋連接，當(dāng)列車經(jīng)過時(shí)，應(yīng)變采集儀可采集鋼軌應(yīng)變的組橋輸出，再通過對(duì)特定的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定，獲取標(biāo)定系數(shù)后進(jìn)而求得輪軌力。然而，在采集應(yīng)變信號(hào)的過程中，干擾因素眾多，橋路電壓和應(yīng)變片絕緣電阻的變化，鋼軌的支承條件的不確定性，如吊枕、扣件松弛等，加之測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜的環(huán)境干擾，都會(huì)使得應(yīng)變采集儀采集到的應(yīng)變信號(hào)不可避免地含有噪聲，這些噪聲主要包括兩類[1]，一是基線漂移，二是隨機(jī)白噪聲。兩種噪聲交織在一起使得測(cè)試結(jié)果與實(shí)際情況產(chǎn)生很大偏差，嚴(yán)重干擾信號(hào)的量化分析。因此，為有效提高測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確性，就必須對(duì)受噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行處理。

基線漂移和白噪聲的降噪在國(guó)內(nèi)外已有大量研究?；€漂移的消除是醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中信號(hào)處理的經(jīng)典問題，如心電圖信號(hào)、脈搏信號(hào)等，主要的消除方法有曲線擬合[2]，中值濾波[3]、小波變換濾波[4]等。除了在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域基線漂移的消除有廣泛研究外，在地震監(jiān)測(cè)[5]、電磁勘探[6]等領(lǐng)域也針對(duì)基線漂移的消除進(jìn)行了相關(guān)研究。白噪聲在測(cè)試中則是較為普遍的存在，傳統(tǒng)的消除方法是基于傅里葉變換的帶通濾波來實(shí)現(xiàn)，但有用信號(hào)易被當(dāng)成噪聲一并濾掉，因此降噪效果并不明顯。近些年來，小波閾值降噪正得到更為廣泛地研究與應(yīng)用[7,8]。

本文針對(duì)輪軌力應(yīng)變信號(hào)中的主要噪聲，提出了一種基于小波理論的綜合去噪法：先對(duì)信號(hào)進(jìn)行大尺度分解，最大限度地消除基線漂移，在此基礎(chǔ)上，引入噪聲的白化檢驗(yàn)法確定最優(yōu)分解層數(shù)，再利用小波閾值去噪法去除白噪聲。

1　小波變換與Mallat算法[9]

1.1小波變換

設(shè)L2(R)是R上平方可積函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間，f(t)為能量有限的信號(hào)，f(t)∈L2(R),如果ψ(t)∈L2(R),且其傅里葉變換滿足容許性條件

則稱ψ為一個(gè)基本小波或者母小波。信號(hào) f(t)關(guān)于母小波ψ的連續(xù)小波變換（CWT）為式中ψˉ是對(duì)ψ的共軛運(yùn)算，a,b∈R,且a≠0。a稱為伸縮因子，b稱為平移因子。式(2)對(duì)應(yīng)的逆變換為

小波變換把原來的一維信號(hào)變成二維信號(hào)，而小波逆變換則把二維信號(hào)重構(gòu)回原來的一維信號(hào)。

連續(xù)小波變換主要用于理論分析與論證，在實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算中常采用離散形式。取連續(xù)小波變換中的伸縮因子和平移因子為，代入式(2)得離散小波變換（DWT）為

1.2 Mallat算法

1988年S.Mallat從空間的概念出發(fā)，提出了多分辨分析的概念。1989年，Mallat受小波變換多分辨率分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中的塔式算法的啟發(fā)，提出了信號(hào)的塔式多分辨率分析分解與重構(gòu)的快速算法，即著名的Mallat算法。Mallat算法在小波變換中的地位之于快速傅里葉變換（FFT）在傅里葉分析中的地位。

Mallat算法的基本原理就是將信號(hào)在不同的尺度下分解成逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，若以S表示原始信號(hào)，Ai(i=1,2…,m)表示逼近信號(hào)，Di(i=1,2…,m)表示細(xì)節(jié)信號(hào)，則Mallat算法分解如圖1(a)所示。分解算法的逆變換對(duì)應(yīng)于重構(gòu)算法，即將最終的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)恢復(fù)成原始信號(hào)，如圖1(b)所示。

圖1　Mallat算法分解與重構(gòu)

2　降噪實(shí)現(xiàn)

2.1小波基選擇

小波分析應(yīng)用中的小波基的選擇是個(gè)熱點(diǎn)問題，也是個(gè)難點(diǎn)問題，在選擇時(shí)并沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不同的小波基在降噪效果方面可能相差甚遠(yuǎn)。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)具體情況具體分析。

目前，小波基的選擇主要從正交性、緊支性、光滑性、對(duì)稱性及消失矩等五個(gè)要素來考慮。在選擇小波基時(shí)希望盡可能滿足上述五個(gè)要素，但這樣的小波基是不可能存在的，例如緊支性和高消失矩就是一對(duì)矛盾。在工程降噪領(lǐng)域，常用的小波基有db N系列小波和sym N系列小波，作者使用這兩種系列小波基結(jié)合實(shí)際輪軌力應(yīng)變信號(hào)，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)濾波及信號(hào)重構(gòu)決定在消噪法中使用db 6小波基。

2.2基線漂移去除

應(yīng)變采集儀采集到的輪軌力應(yīng)變信號(hào)數(shù)據(jù)可以表示為式中s(k)為應(yīng)變采集儀采集到的數(shù)據(jù)，y(k)為有效的鋼軌應(yīng)變信號(hào)數(shù)據(jù)，j(k)為信號(hào)中包含的基線漂移數(shù)據(jù)，b(k)為信號(hào)中的白噪聲數(shù)據(jù)。

基線漂移成分 j(k)頻率通常較低，表現(xiàn)為一個(gè)緩慢變化的過程，在應(yīng)變信號(hào)采集時(shí)會(huì)引起信號(hào)基線位置的上下漂移，使得信號(hào)嚴(yán)重失真。

根據(jù)小波變換的多分辨率分析理論，信號(hào)可進(jìn)行逐級(jí)多層分解，每層分解都可得到逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，其中，每一層的逼近信號(hào)是相對(duì)于上一層逼近信號(hào)的相對(duì)低頻部分，而每一層的細(xì)節(jié)信號(hào)是相對(duì)于上一層逼近信號(hào)的相對(duì)高頻部分。由于基線漂移成分的頻率很低，可對(duì)信號(hào)進(jìn)行大尺度分解，將分解的最后一層信號(hào)中的逼近部分作為對(duì)基線漂移的估計(jì)，從原始信號(hào)中去除這部分信息后重構(gòu)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)基線漂移的矯正。

2.3白噪聲去除

將式(5)中的基線漂移成分 j(k)去除后，含噪信號(hào)模型可以表示為

s(k)=y(k)+b(k)（k=1，2，…)(6)

使用閾值降噪法對(duì)白噪聲b(k)進(jìn)行去除，其基本理論是：有用信號(hào)通常存在于低頻，噪聲信號(hào)存在于高頻，信號(hào)經(jīng)過小波分解后，有用信號(hào)的小波系數(shù)較大，而噪聲的小波系數(shù)較小，因此可以設(shè)置一個(gè)合適的閾值，當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值大于閾值時(shí)予以保留或做收縮處理，當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于閾值時(shí)設(shè)置為零，從而達(dá)到去除噪聲的目的。

(1)白噪聲檢驗(yàn)確定最優(yōu)分解層數(shù)

在降噪過程中，分解層數(shù)的確定很重要，過多或過少的分解層數(shù)都會(huì)導(dǎo)致降噪效果的不理想。用自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)來檢驗(yàn)白噪聲[10]，從而確定分解層數(shù)。

設(shè)離散有限序列為r(i)(i=1,2,…,N)，其自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式為

為消除式(6)中的白噪聲b(k)，對(duì)含噪信號(hào)s(k)進(jìn)行小波分解，每分解一層，就取該層的細(xì)節(jié)分量進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若通過檢驗(yàn)，則進(jìn)行下一層分解，重復(fù)上述步驟，如果分解到第z層時(shí)，該層的細(xì)節(jié)分量不能通過白噪聲檢驗(yàn)，則最終將分解層數(shù)定位為z-1層。

（2）閾值估計(jì)與閾值函數(shù)的選擇[11]

目前，主要的閾值估計(jì)有：通用閾值、無偏釋然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值、混合型閾值、最小最大準(zhǔn)則閾值。四個(gè)閾值規(guī)則中，雖然最小最大準(zhǔn)則閾值估計(jì)較為保守，但能很好地減少有效信息的損失，因此本文采用最小最大準(zhǔn)則閾值。

閾值函數(shù)最常用的有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，硬閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理后會(huì)使得信號(hào)的光滑性一般，但相對(duì)于軟閾值函數(shù)來說，其能減少有用信息的損失，因此采用硬閾值函數(shù)。

2.4降噪算法流程

輪軌力應(yīng)變信號(hào)中的基線漂移和白噪聲的降噪算法流程如圖2所示。

圖2　降噪算法流程

3　仿真實(shí)驗(yàn)

利用有限元分析軟件ANSYS建立鋼軌模型并模擬施加車輪荷載，按照剪力法的組橋方式對(duì)鋼軌應(yīng)變進(jìn)行組橋輸出，得到一段如圖3(a)所示的理想輪軌力應(yīng)變信號(hào)，理想輪軌力應(yīng)變信號(hào)沒有基線漂移和白噪聲。

加入頻率為0.2 Hz，幅值約為理想信號(hào)峰峰值1/10的正弦波作為基線漂移成分，然后再加入隨機(jī)白噪聲構(gòu)成含噪信號(hào)，如圖3(b)所示。為保證添加噪聲后的信號(hào)和理想信號(hào)的數(shù)據(jù)有相同區(qū)間長(zhǎng)度，基線漂移和白噪聲數(shù)據(jù)的采樣頻率與理想信號(hào)的采樣頻率都為2 000 Hz，采樣時(shí)間都為7 250 ms。

對(duì)于圖3(b)中的含噪信號(hào)，先根據(jù)小波多分辨率分析理論進(jìn)行基線漂移的消除，利用Mallat算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，表1為進(jìn)行12層小波分解后信號(hào)的頻率分布，Di(i=1,2…,12)為各層的的細(xì)節(jié)分量，A12為第12層的逼近分量，從表中可以看出，A12對(duì)應(yīng)的頻率范圍大約為0～0.24 Hz，而基線漂移成分的頻率為0.2 Hz，因此只需將逼近分量A12進(jìn)行濾除便可實(shí)現(xiàn)對(duì)基線漂移的矯正，去除基線漂移后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)得到如圖3(c)所示的信號(hào)。之后進(jìn)行白噪聲去除，由白噪聲檢驗(yàn)得到的最優(yōu)小波分解層數(shù)

為3層，用小波閾值法對(duì)白噪聲進(jìn)行濾除后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，便完成了整個(gè)消噪過程。圖3(d)為去噪后的信號(hào)，從圖中可以看出，基線漂移得到了較好的矯正，白噪聲也得到了較好的抑制，且與原始的理想信號(hào)相比，去噪后的信號(hào)能很好地保持原有信號(hào)的波形特征。

為了檢驗(yàn)信號(hào)降噪后的效果，用信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)進(jìn)行評(píng)價(jià)。信噪比越高，均方根誤差越小，則降噪效果越好。式中S(i)為原信號(hào)，S∧(i)為降噪后的信號(hào)。

表1　信號(hào)頻率分布

圖3　仿真輪軌力應(yīng)變信號(hào)及降噪

表2給出了含噪信號(hào)和去除基線漂移和白噪聲信號(hào)的SNR值和RMSE值，從表中可以看出，去噪信號(hào)的SNR值明顯提高，而RMSE值則明顯降低，這充分說明了去噪方法的有效性。

表2　信號(hào)消噪前后比較

4　應(yīng)用實(shí)例

選取的數(shù)據(jù)為在江蘇省寧啟線上測(cè)試時(shí)的一段輪軌力應(yīng)變數(shù)據(jù)，如圖4(a)所示。測(cè)試時(shí)所采用的貼片方式為剪力法，數(shù)據(jù)的采樣頻率為1 000 Hz。

從圖4(a)中可以看出，原始信號(hào)較為明顯地偏離了零基準(zhǔn)線，而且數(shù)據(jù)中夾雜的隨機(jī)白噪聲使得信號(hào)看起來略顯粗大。對(duì)信號(hào)進(jìn)行9層分解，將第9層上的逼近分量A9(0～0.98 Hz)作為對(duì)基線漂移的估計(jì)，對(duì)其作置零處理后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)得到如圖4 (b)所示的去除基線漂移后的信號(hào)。將圖4(b)所示的信號(hào)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)得到的最優(yōu)小波分解層數(shù)為6層，用閾值法降噪后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)得到如圖4(c)所示的信號(hào)。從圖4(c)可以看出，降噪后信號(hào)波形能很好地保留，基線漂移得到了非常明顯的改善，白噪聲也被很好地去除，去噪效果比較理想?；€矯正的目的。對(duì)信號(hào)中的白噪聲則是先通過離散有限序列的自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)來確定最優(yōu)分解層數(shù)，然后采用最小最大準(zhǔn)則對(duì)閾值進(jìn)行估計(jì)，采用硬閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)白噪聲的抑制。通過仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)例分析，都說明了本文的去噪法效果明顯。在今后基于鋼軌應(yīng)變的輪軌力測(cè)試中，該方法可為信號(hào)去噪提供一定的參考。

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向：鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲。E-mail:844513293@qq.com

鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲。

E-mail:xiaoyanlei2013@163.com

中圖分類號(hào)：O422.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.022

文章編號(hào)：1006-1355(2016)01-0101-05

收稿日期：2015-05-17

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51478184)；

作者簡(jiǎn)介：黃輝（1991-）男，江西大余人，碩士研究生，研究方

通訊作者，雷曉燕（1956-）男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：

De-noising of Vertical Wheel-rail Contact Force Signals Using
Wavelet Transform

HUANGHui,LEI Xiao-yan,LIU Qing-jie

(Engineering Research Center of Railway Environmental Vibration and Noise,Ministry of Education, East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

Abstract:The accuracy of the wheel-rail strain signals can be seriously ruined by the disturbance of noise.In this paper,a denoising method based on wavelet transform was proposed for elimination of baseline drift and random white noise.The baseline drift was eliminated by using db6 wavelet bases and the estimation of high-1evel approximation based on wavelet multi-resolution analysis.While the random white noise was eliminated by applying wavelet threshold denoising method.First of all,the optimal decomposition level of the wavelet transformation was determined by applying the selfcorrelation function of discrete finite sequence.Then,the minimum and maximum thresholds and hard shrinking function were adopted to filter the white noise.The analysis of simulation and the measured data show that this denoising method can achieve ideal effect.

Key words:acoustics;wheel-rail contact force;wavelet transform;de-noising;baseline shift;white noise