吳祝林　王　偉　朱鵬輝　陳　曦

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京　210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所, 南京　210098)

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基于Kachanov損傷理論的巖石蠕變模型研究

吳祝林1，2王偉1，2朱鵬輝1，2陳曦1，2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所, 南京210098)

摘要：一般而言，巖石的蠕變?nèi)^程可以分為幾個階段，即初始的衰減蠕變階段，到中間的穩(wěn)定蠕變階段，再到最后的加速蠕變階段，直至巖樣破壞．以往的大多數(shù)基于元件組合的模型只能有效的模擬前兩個階段，不能很好的模擬加速蠕變階段．本文在Burgers元件模型的理論基礎(chǔ)上，引進損傷體理論模擬加速蠕變階段，與Burgers元件模型串聯(lián)組合構(gòu)建出能夠有效模擬巖石全過程蠕變特征的組合模型，推導出蠕變本構(gòu)方程．最后，將理論推導的蠕變本構(gòu)方程用試驗曲線擬合確定模型參數(shù)，并將理論曲線與試驗曲線對比分析，表明所構(gòu)建蠕變模型的合理性與可行性．

關(guān)鍵詞：加速蠕變；Burgers元件；損傷體；本構(gòu)方程

在巖石的全過程蠕變特征中，加速蠕變是比較難模擬的，在目前的理論研究中主要有兩類方法模擬加速蠕變特征：1)構(gòu)建出能夠模擬加速蠕變特征的理想非線性材料元件[1-2]，再與基本元件組合即可模擬全程蠕變，如鄧榮貴[2]等將非牛頓流體粘滯阻力原件與傳統(tǒng)模型組合，模擬某大壩斷層蠕變，結(jié)果良好；宋勇軍[3]等將FC軟體元件與彈簧元件串聯(lián)結(jié)合構(gòu)件構(gòu)建模型，能有效描述巖石蠕變特性，且模型元件和參數(shù)較少；趙延林[4]將Hook體、黏彈塑性損傷體與Bingham串聯(lián)串聯(lián)組合成流變模型，有效的描述了不同應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變規(guī)律；張英[5]等以粘滯系數(shù)為不定常量，構(gòu)建能描述加速流變階段的復合模型，以恒應(yīng)變和恒應(yīng)力分析巖石非線性蠕變和松弛特性．2)引進損傷理論，用損傷因子修正巖石的蠕變參數(shù)，并將損傷元件與傳統(tǒng)的基本元件組合建立能夠模擬全過程蠕變特征的蠕變方程[6-7]．楊圣齊[8]通過Kachanov提出損傷率，推導出衰減、穩(wěn)態(tài)和加速蠕變兩階段中的損傷演化方程；朱昌星[6]等以錦屏二級水電站中的板巖為例，考慮時效損傷和加速門檻值的特點，建立蠕變損傷方程．張強勇[9]等考慮巖體流變參數(shù)的弱化效應(yīng)，建立了變參數(shù)蠕變損傷模型，該模型很好反應(yīng)流變參數(shù)隨時間的劣化過程．基于損傷力學理論，有兩類方法定義損傷因子：第一種是能量損傷中按彈性模量變化定義的損傷因子，第二種是幾何損傷中從結(jié)構(gòu)有效承載面積出發(fā)定義的的損傷因子即D=1-A2/A(A=A1+A2)，(A1表示材料損傷面積，A2表示材料未損傷面積，A表示材料總的橫截面積)．本文采用的是第二種基于有效承載面積定義的損傷因子，從而引進由彈塑性損傷元件[10]演化而來的塑性損傷體．進而與Burgers元件模型組合，構(gòu)建出能描述損傷的蠕變模型．

1模型的建立

引進彈塑性損傷體元件[10]，如圖1所示．

圖1　彈塑性損傷體元件

其中A1為在應(yīng)力狀態(tài)下的損傷面積，A2為未損傷部分面積，則損傷體總的橫截面積為：

(1)

(2)

由于本文引進的損傷因子為D=1-A2/A，再聯(lián)立式(1)、(2)，可得：

(3)

假設(shè)彈塑性元件未損傷部分應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律，則：

(4)

(5)

聯(lián)立式(3)、(4)、(5)可得：

(6)

此即為巖石損傷的彈塑性體損傷本構(gòu)模型．基于Kachanov[11]的研究，假設(shè)巖石的損傷是由有效承載面積的減小而導致，即巖石有效承載面積的弱化作用，從而引進基于承載面積損傷的損傷因子D，如下式：

(7)

式中，tF巖石的蠕變破壞時間，V為巖石材料參數(shù)，t為蠕變時間．

由實驗研究表明，損傷并不是在任何情況下都會發(fā)生，只有當外在應(yīng)力大于巖石的屈服應(yīng)力σs時，才會發(fā)生損傷，因此，在考慮外界應(yīng)力大小的基礎(chǔ)上可建立巖石蠕變損傷的損傷因子：

(8)

式中α=1/(V+1)．

將式(8)代入式(6)，得到彈塑性損傷體的本構(gòu)模型為：

(9)

基于此，式(9)即為推導出的彈塑性損傷體的本構(gòu)模型，由式(9)可知，當損傷體所受應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時，只產(chǎn)生彈性應(yīng)變，并未產(chǎn)生損傷，由于需要研究的是當所受應(yīng)力超過屈服應(yīng)力而產(chǎn)生損傷的部分，也即為反應(yīng)巖石的加速蠕變階段過程，所以由彈塑性損傷體不考慮彈性部分，只研究其塑性部分，得到下式塑性損傷體：

(10)

下面再來導出反應(yīng)巖石的線性蠕變階段過程，本文引進Burgers元件模型反應(yīng)線性階段過程，Burgers元件組合模型總應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(11)

瞬時彈性應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(12)

開爾文體應(yīng)變：

(13)

馬克斯韋爾體粘性應(yīng)變速率為：

(14)

式中，η1為馬克斯韋爾體的粘滯系數(shù)．

由拉氏變換得：

(15)

(16)

此即為Burgers模型的蠕變方程，式中σ0為巖石應(yīng)力，E1、E2為黏彈性模量，η1、η2為黏滯系數(shù)，t為蠕變時間．由式(16)可知，Burgers模型的蠕變量由3部分組成：

到這里，用以描述衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變的Burgers模型已建立，用以描述加速蠕變的塑性損傷蠕變模型也已建立，將Burgers模型與塑性損傷體模型串聯(lián)組合，模擬全過程蠕變，因此：巖石在外在應(yīng)力作用下引起的總應(yīng)變ε由塑性損傷體應(yīng)變εep和Burgers元件應(yīng)變εve組成，可表示為：

(17)

組合的圖形如圖2所示．

圖2　巖石蠕變模型

將式(10)和式(16)代入式(17)可得：

(18)

至此，模擬巖石全過程蠕變特性的蠕變方程已建立．

2模型參數(shù)的確定

巖石蠕變模型中包含E0、E1、E2、η1、η2、α、tF7個參數(shù)，其中tF為巖石的蠕變壽命，即應(yīng)變曲線趨向無窮大時所對應(yīng)的時間，可以根據(jù)應(yīng)變試驗曲線很容易的得到參數(shù)tF．其余參數(shù)的確定方法根據(jù)試驗曲線數(shù)據(jù)擬合得出，擬合出參數(shù)的方法簡單，可行．

本文是對砂巖進行實驗，引進王偉等人的砂巖實驗數(shù)據(jù)[12]，砂巖蠕變試驗曲線如圖3所示．

圖3　砂巖蠕變試驗曲線

由圖3可知，砂巖的蠕變經(jīng)歷了初始蠕變階段、穩(wěn)定蠕變階段和加速蠕變階段．在100 MPa的應(yīng)力作用下，砂巖還出現(xiàn)了瞬時彈性變形，在后續(xù)增加軸向應(yīng)力時軸向應(yīng)變發(fā)展緩慢．當應(yīng)力加到150 MPa時，出現(xiàn)了加速蠕變破壞現(xiàn)象．

在本文建立的蠕變模型基礎(chǔ)上，引進王偉的砂巖實驗數(shù)據(jù)[12]，對各階段應(yīng)力水平下的模型參數(shù)進行擬合，求得各級應(yīng)力水平下的模型參數(shù)，巖石蠕變參數(shù)見表1．

表1　砂巖蠕變模型參數(shù)

將模型理論曲線與試驗曲線對比分析，如圖4所示，可得到該模型不僅能模擬初始蠕變階段與穩(wěn)定蠕變階段，還能有效的模擬加速蠕變階段，驗證了本文所建立模型的可行性與合理性．

圖4　砂巖全過程蠕變理論曲線與試驗曲線

3結(jié)論

本文通過對巖石的蠕變過程進行分析，對其線性階段通過常用的元件模型來模擬，而其非線性階段則引進損傷理論，建立起用來描述線性階段與非線性階段全過程的蠕變模型，最后通過試驗驗證該模型的合理性．得到了以下結(jié)論：

1)巖石在受外力長期作用下，主要經(jīng)歷了初始蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變階段，其初始蠕變和等速蠕變用Burgers元件模型來描述，加速蠕變階段通過引進塑性損傷體與Burgers元件串聯(lián)來描述，即能有效的建立包含加速蠕變階段在內(nèi)的巖石全過程蠕變模型．

2)由砂巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)，擬合出各級應(yīng)力作用下蠕變模型參數(shù)，得到各級應(yīng)力水平下的蠕變方程，并將模型方程理論曲線與試驗曲線對比分析，證明本文建立的模型的可行性與有效性．

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[責任編輯周文凱]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.008

收稿日期：2015-12-30

基金項目：973項目(2011CB013504)；留學回國人員科研啟動基金(51103312)

通信作者：吳祝林(1990-)，男，碩士，從事巖石力學與工程方面研究．E-mail：1206725293@qq.com

中圖分類號：TU452

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)03-0032-04

Research of Creep Model of Rock Based on Kachanov Damage Theory

Wu Zhulin1，2Wan Wei1，2Zhu Penghui1，2Chen Xi1，2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechnical & Emankment Engineering, Hohai Univ., Nanjin 210098, China;2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjin 210098, China)

AbstractIn general, the creep process of rock can be divided into several stages, namely the initial attenuation creep stage, the middle stable creep stage, to the last stage of accelerating creep, until the rock damage. In the past, most element combination model can effectively simulate the first two stages, but can't well simulate acceleration creep stage. Based on the theory of Burgers component model, this paper introduces the damage body theory to simulate accelerating creep stage; it can effectively simulate the whole process of rock creep characteristics with series combination of Burgers components model, and deducing the creep constitutive equation. Finally, determining model parameters of the creep constitutive equation derived from the theory with the test curve, by comparative analysis of theoretical curve with test curve, it is shown that the established creep model is reasonable and feasible.

Keywordsaccelerating creep；Burgers element；damage body；constitutive equation