李　斌　　沈意平　　韓清凱

（湖南科技大學(xué) 機械設(shè)備健康維護重點實驗室，湘潭 411201）

風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程與模態(tài)振動特性分析

李斌沈意平韓清凱

（湖南科技大學(xué) 機械設(shè)備健康維護重點實驗室，湘潭 411201）

本文利用相關(guān)參數(shù)對齒輪傳動系統(tǒng)的固有特性與相關(guān)激振頻率的共振區(qū)進行分析。分析表明：系統(tǒng)的低階固有頻率主要表現(xiàn)為與轉(zhuǎn)動頻率振動區(qū)重疊，系統(tǒng)中的高階固有頻率主要表現(xiàn)為中間軸和高速軸輪系的嚙頻共振；當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率在共振區(qū)時，將引起系統(tǒng)的共振，影響系統(tǒng)的正常運行，研究結(jié)果將為風(fēng)電機組齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計提供可靠的依據(jù)。

風(fēng)力發(fā)電齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型固有特性

引言

風(fēng)電齒輪箱通常為含行星輪系的三級斜齒輪傳動系統(tǒng)，是具有大傳動比、高動載的增速系統(tǒng)。齒輪箱動力學(xué)模型包括扭振模型、扭振-平移多自由度模型、柔性多體動力學(xué)模型［1-5］，Helsen、何玉林等［6-10］通過理論與實驗研究對比并討論了齒輪箱三種類型模型的準確度和計算效率，指出柔性多體動力學(xué)模型能更全面地揭示其耦合振動特性，避免簡化數(shù)學(xué)模型造成頻率成分丟失，但模型規(guī)模與效率、界面條件是高效準確建模的關(guān)鍵。但這些研究或僅限于對齒輪傳動系統(tǒng)的某一部分，或不能完全的反映大型風(fēng)機齒輪箱系統(tǒng)的振動特性。斜齒輪同時參與嚙合的齒對數(shù)越多，單對輪齒分擔(dān)的載荷越少，所以其憑借傳動平穩(wěn)、傳遞載荷能力強等特點廣泛應(yīng)用。但是，螺旋角過大其軸向力不可忽視，因此斜齒輪動力學(xué)系統(tǒng)除具有扭轉(zhuǎn)、橫向振動外，還會引起軸向振動，從而形成綜合考慮誤差激勵、時變嚙合剛度激勵、嚙入沖擊激勵的斜齒輪副嚙合型彎-扭-軸耦合振動模型。

本文針對5MW風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)，對系統(tǒng)彈性變形進行分析，建立平移、扭轉(zhuǎn)六自由度斜齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析模型，推導(dǎo)出動力學(xué)微分方程；利用該系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)進行固有特性分析，為齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)分析與齒輪箱的設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。

1齒輪傳動系統(tǒng)分析模型

圖1為風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡圖，其結(jié)構(gòu)為兩級行星輪系+一級平行軸系的傳動形式。在圖1中，ri表示內(nèi)齒圈，ci表示行星架，pi表示行星輪，si表示太陽輪（i=1，2）；g1為高速級輸入齒輪，g2為高速級輸出齒輪；Tin為輸入，Tout為輸出。表1為齒輪傳動系統(tǒng)各個齒輪的參數(shù)表。

1.1齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

圖1風(fēng)電機組齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

表1齒輪參數(shù)表

圖2風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)物理模型

建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖2所示。建立系統(tǒng)模型的關(guān)鍵在于行星傳動系統(tǒng)和斜齒輪傳動系統(tǒng)，因此，以下內(nèi)容對行星齒輪傳動系統(tǒng)和斜齒輪傳動系統(tǒng)的物理模型建模分別進行說明。

圖中：kss—連接太陽輪1與太陽輪2軸的扭轉(zhuǎn)剛度；css—連接太陽輪1與太陽輪2軸的阻尼；ks4—連接太陽輪2與斜齒輪 4軸的扭轉(zhuǎn)剛度；cs4—連接太陽輪 2與斜齒輪4軸的阻尼。

內(nèi)、外嚙合齒輪副在大多數(shù)行星傳動系統(tǒng)中均存在，而且斜齒輪嚙合所產(chǎn)生的軸向推力還會影響斜齒行星傳動，所以行星輪系傳中的動力學(xué)特性非常復(fù)雜。因此，建立斜齒行星齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型研究其對動力學(xué)特性是非常必要的。建立的行星輪系動力學(xué)模型主要考慮太陽輪、行星輪的三個平移自由度、三個轉(zhuǎn)動自由度，共有24個自由度。

設(shè)x，y，z，θx，θy，θz依次為系統(tǒng)中構(gòu)件在各自動坐標系內(nèi)沿三個坐標軸方向的平移位移和繞三個坐標軸的轉(zhuǎn)動位移，以下標區(qū)分不同的構(gòu)件，忽略系桿和內(nèi)齒圈的質(zhì)量。設(shè)內(nèi)齒圈下標為r，太陽輪下標為s，行星輪下標為（i=1，2，3，為行星輪的序號）。以r表示齒輪構(gòu)件的基圓半徑，rp表示行星輪基圓半徑，rm表示構(gòu)件節(jié)圓半徑。

圖3行星齒輪傳動的動力學(xué)模型

太陽輪在嚙合面與其端面的交線上、及行星輪在基圓切線方向上的等價線位移采用u表示，則有：

圖4平行軸斜齒輪傳動動力學(xué)模型

（2）平行軸斜齒輪傳動動力學(xué)模型

圖4中，kij為剛度，cij為阻尼，下標j和i分別表示主動輪和從動輪。eij為齒輪i和j嚙合副的綜合嚙合誤差；為齒輪i和j嚙合副的端面嚙合角；

圖中，ksx=ksy=ksz，kcnx=kcny=kcnz，ksb=ksu，kcnb=kcnt，其中 ksx，ksy，ksz，knx，knz為行星輪與太陽輪的軸向、徑向、周向等效支撐剛度，ksn、kcn為行星輪與太陽輪的嚙合剛度，ksb、kcnb為行 星 輪 與 太 陽 輪 的 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 ；kix=kiy=kiz（i=4，5），kiθx=kiθy=kiθz（i=4，5），ki為高速級齒輪等效支撐剛度，kiθ為高速級齒輪扭轉(zhuǎn)剛度，阻尼表述與剛度標注一致；Tin為齒輪系統(tǒng)輸入扭矩，Tout為齒輪系統(tǒng)輸出扭矩，為第二級行星架輸入扭矩；ωc為行星輪架轉(zhuǎn)速；ms，mn，m4，m5分別為太陽輪、行星輪、高速級輸入齒輪、高速級輸出齒輪質(zhì)量，Is，In，I4，I5分別為太陽輪、行星輪、高速級輸入齒輪、高速級輸出齒輪轉(zhuǎn)動慣量。

1.2系統(tǒng)各構(gòu)建的相對位移分析

1）太陽輪與行星輪沿嚙合線方向的相對位移

式中，βb為螺旋角；ψni為行星輪ni（i=1，2，3）的位置相角，ψsni=α′ts+ψni（當(dāng)i=1時，ψni=0；當(dāng)i=2時，ψni=120°；當(dāng)i=3時，ψni=240°。）；α′ts為太陽輪和行星輪嚙合副的端面嚙合角。

2）內(nèi)齒圈與行星輪沿嚙合線方向的相對位移

式中，ern為內(nèi)齒圈和行星輪嚙合副的綜合嚙合誤差；為內(nèi)齒圈和行星輪嚙合副的嚙合角。

3）平行軸斜齒輪系的相對位移分析

斜齒輪4與斜齒輪5沿嚙合作用線方向的相對位移

式中：k45、c45—斜齒輪嚙合剛度、阻尼；ri、rip（i=4，5）—齒輪基圓、節(jié)圓半徑；β′b為螺旋角。

1.3系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程

第一級行星輪系太陽輪：

第一級行星輪系行星輪：

第二級行星輪系太陽輪：

第二級行星輪系行星輪：

高速級斜齒輪4：

高速級齒輪5：

把以上的每個部件的動力學(xué)方程組合在一起，就組成了系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程，簡寫為：

式中：x為位移向量，它定義為：

θ為齒輪的扭轉(zhuǎn)位移；z為齒輪的軸向位移；x，y為齒輪的徑向位移；M、F為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、外載荷向量；C、K為系統(tǒng)阻尼矩陣、剛度矩陣。

2齒輪傳動系統(tǒng)固有特性分析

（1）系統(tǒng)無阻尼自由振動

表2平行軸齒輪傳動基本參數(shù)

表3兩級行星輪系傳動基本參數(shù)

對于n自由度的振動，系統(tǒng)的自由振動微分方程為：

不考慮阻尼和外部載荷的影響時，變?yōu)闊o阻尼自由振動：

設(shè)系統(tǒng)的各質(zhì)量塊做相同頻率、相同相位做簡諧振動，即：

式中：

φ為振幅列陣；ω為圓頻率；t為時間變量；φ為初相位。

將式（14）代入系統(tǒng)自由振動微分方程（16）得：

上式兩端左乘得：

化簡得：

上述方程有非零解的條件為：

方程（20）為系統(tǒng)的特征方程，對其求解可以確定 φ 和ω，振動系統(tǒng)的固有頻率和振型的求解在數(shù)學(xué)上就是求解特征值與特征向量。

（2）齒輪傳動系統(tǒng)振動特征頻率

轉(zhuǎn)速同步頻率：

定軸齒輪嚙合頻率：

行星輪齒輪中，嚙合頻率采用下式計算：

式中，n為軸轉(zhuǎn)速（r/min），z為齒輪齒數(shù)；ωc為行星輪架轉(zhuǎn)速（r/min），zr為齒圈齒數(shù)。

（3）齒輪傳動系統(tǒng)模態(tài)性結(jié)果與分析

工程上規(guī)定當(dāng)固有頻率落入激振頻率的范圍內(nèi)時容易導(dǎo)致振動，該范圍稱為共振區(qū)［11］。通過分析傳動系統(tǒng)的固有頻率是否落在工作范圍的激振頻率共振區(qū)內(nèi)，并通過使固有頻率避開激振頻率共振區(qū)，從而提高其動力學(xué)性能，降低振動和動載水平。

表4齒輪傳動系統(tǒng)轉(zhuǎn)速同步頻率及共振區(qū)

表4列出了所研究對象風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)各級傳動軸的轉(zhuǎn)速、其轉(zhuǎn)速同步頻率以及對應(yīng)的共振區(qū)。表5列出了系統(tǒng)的各級齒輪副嚙合頻率及其對應(yīng)的共振區(qū)。

表5齒輪傳動系統(tǒng)齒輪嚙合頻率及共振區(qū)

本文取其中的前50階固有頻率，表6列出了5MW風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的前50階固有頻率，圖5-7給出了部分固有頻率的振型圖。

因為風(fēng)力發(fā)電機葉輪采用三葉片式，并且每片葉片旋轉(zhuǎn)到底端時都對風(fēng)機進行一次激勵。因此，在風(fēng)機的設(shè)計中就要使系統(tǒng)的低階固有頻率避開風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)頻率的1倍頻率和3倍頻率，即0.2Hz和0.6Hz。

從表4～6的3個圖表的計算結(jié)果中可以看出：

（1）系統(tǒng)的1階固有頻率在轉(zhuǎn)頻共振區(qū)避開了風(fēng)輪1倍轉(zhuǎn)頻和3倍轉(zhuǎn)頻的激振；系統(tǒng)的1倍轉(zhuǎn)頻、3倍轉(zhuǎn)頻在嚙合頻率共振區(qū)內(nèi)并未使系統(tǒng)產(chǎn)生有害的振動；5MW風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的50階固有頻率中有2對相等的固有頻率，這是因為系統(tǒng)中含有3個行星輪的；第3階固有頻率落入了低速級行星輪系的嚙合頻率共振區(qū)，其振動將會比較劇烈。

表6 5MW風(fēng)電機組齒輪傳動系統(tǒng)前50階固有頻率

圖5固有頻率f=467.80Hz所對應(yīng)的振型

圖6固有頻率f=505.59Hz所對應(yīng)的振型

圖7固有頻率f=570.33Hz所對應(yīng)的振型

（2）第7階固有頻率落入了中速級行星輪系的嚙合頻率共振區(qū)，說明中間級齒輪在設(shè)計時要考慮齒輪參數(shù)的選取，與嚙合頻率區(qū)重疊產(chǎn)生的振動應(yīng)盡量避免；第3階固有頻率落入了高速級轉(zhuǎn)頻共振區(qū)；第31～39階固有頻率落入到了高速級嚙合頻率共振區(qū)。5MW風(fēng)電機組其高速級齒輪由于固有頻率落入了嚙合頻率共振區(qū)的頻率階次較多，振動較大。因此，對于給定的高速級齒輪的嚙合頻率，在設(shè)計時可以開展齒輪的模數(shù)、齒寬等設(shè)計參數(shù)優(yōu)化，使其固有頻率避開嚙合頻率。

圖5高速級平行軸齒輪沒有振動，兩級行星輪系的行星輪軸均振動，而且兩級的行星輪系也都振動且各自的行星輪振動狀態(tài)相同；圖6第一級行星輪輪系的各構(gòu)件都不振動，第二級行星輪輪系和平行軸齒輪均振動，并且行星輪的振動狀態(tài)相同；圖7第一級行星輪系和第二級行星齒輪的行星輪系均有振動；行星輪系的各級行星輪軸均以不同的幅度作純扭轉(zhuǎn)振動。

3結(jié)論

（1）以兩級行星輪系一級平行軸斜齒輪傳動系統(tǒng)的5MW風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了系統(tǒng)的平移與扭轉(zhuǎn)6個自由度的動力學(xué)模型；

（2）利用相關(guān)參數(shù)對齒輪傳動系統(tǒng)的固有特性與相關(guān)激振頻率的共振區(qū)進行了分析，系統(tǒng)的低階固有頻率主要表現(xiàn)為與轉(zhuǎn)動頻率振動區(qū)重疊，系統(tǒng)中的高階固有頻率主要表現(xiàn)為中間軸和高速軸輪系的嚙頻共振；當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率與共振區(qū)重疊時，將引起系統(tǒng)的共振；

（3）對于5MW風(fēng)電機組來說，其高速級齒輪由于固有頻率存在嚙合頻率共振區(qū)內(nèi)的頻率階次較多，導(dǎo)致振動較大。因此在設(shè)計時，對于高速級齒輪的嚙合頻率應(yīng)加以重視，可以從齒輪的模數(shù)、齒寬等設(shè)計參數(shù)進行修改，從而使其固有頻率避開嚙合頻視率。

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Dynamic Equation and Modal Vibration Characteristic Analysis of Wind Power Gear Transmission System

LI Bin，SHEN Yiping，HAN Qingkai
（HunanProvincialKeyLaboratoryofHealthMaintenancefor Mechanical Equipment，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan，411201）

The dynamic model of gear system is established by the lumped-parameter method.Analysis was conducted by using the correlationparameterstotheinherentcharacteristicsofthegear transmission system and the resonance region of the relevant excitation frequency.Analysis shows that the low order natural frequency of the system is mainly manifested in the overlap with the rotating frequency vibration area，the high order frequency in the system mainly for meshing frequency resonance intermediate and high speed shaft gear. When the natural frequency of the system is in the resonance zone，willcausedthesystemresonance，affectedthesystem'snormal operation.The results of the study will provide reliable basis for the design of wind turbine gear transmission system.

wind power generation；gear transmission system；dynamics model；natural characteristics

國家自然科學(xué)基金資助項目“海上浮式風(fēng)機整機剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)的動力學(xué)建模方法的研究”（51205124）。