葉海平， 楊李凡

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

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平行圓柱孔織物的分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型

葉海平， 楊李凡

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

摘要：具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的模型在描述多孔介質(zhì)的熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散等復(fù)雜現(xiàn)象時(shí)有明顯的優(yōu)勢(shì).建立了低溫環(huán)境下多孔織物的分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞的穩(wěn)態(tài)模型，并將所建模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程. 進(jìn)而，利用Banach壓縮映像原理，證明了分?jǐn)?shù)階模型解的存在唯一性， 并推廣了常微分方程邊值問題的打靶法，獲得分?jǐn)?shù)階模型相應(yīng)的數(shù)值算法.

關(guān)鍵詞：織物； 分?jǐn)?shù)階模型； 熱濕傳遞； 存在性； 唯一性； 數(shù)值算法

涉及人體-服裝-環(huán)境系統(tǒng)的熱濕傳遞過程頗受關(guān)注[1]. 早在1939年，文獻(xiàn)[2]探討了羊毛織物的熱濕耦合傳遞模型. 為了描述纖維中含水變化率, 文獻(xiàn)[3]通過羊毛二級(jí)吸濕模型，導(dǎo)出了纖維含水量與溫度的數(shù)學(xué)公式. 文獻(xiàn)[4-7]進(jìn)一步將輻射傳熱、對(duì)流換熱和相變換熱引入到模型中，探究了多孔服裝材料伴有吸附和凝結(jié)的動(dòng)態(tài)熱濕傳遞模型. 近年來，徐定華教授[8]在研究紡織材料熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型及設(shè)計(jì)反問題方面做了大量的工作， 他認(rèn)為分?jǐn)?shù)階的熱濕傳遞模型是未來有價(jià)值的研究課題之一. 原因之一是當(dāng)濕度較大時(shí)，整數(shù)階微分方程不能很好地刻畫織物的熱濕傳遞過程. 由于織物大都為多孔介質(zhì)，且具有記憶性，而含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的模型有較強(qiáng)的記憶性，在描述多孔介質(zhì)的熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散等復(fù)雜現(xiàn)象時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)， 因此，本文首次嘗試研究織物的分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型.

在整數(shù)階單層織物穩(wěn)態(tài)模型[9-10]的基礎(chǔ)上，本文導(dǎo)出相應(yīng)的織物分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型. 利用Banach 壓縮映像定理，證明織物分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型局部解的存在唯一性，并利用分步法將解延拓，得到整體解的存在唯一性結(jié)果. 進(jìn)一步，借鑒整數(shù)階微分方程邊值問題的打靶法，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型的數(shù)值算法.

1模型導(dǎo)入

首先，作如下合理的假設(shè)[9]:

(A1) 水蒸氣和空氣在多孔介質(zhì)織物內(nèi)視為一維流體；

(A2) 水蒸氣和空氣在多孔介質(zhì)織物內(nèi)速度小，其動(dòng)能和慣性的影響可不予考慮；

(A3) 濕傳遞過程進(jìn)行緩慢，水蒸氣和空氣在多孔介質(zhì)織物中隨時(shí)處于熱力學(xué)平衡；

(A4) 紡織品各向同性，且多孔介質(zhì)紡織品的孔徑和孔隙率不受濕傳遞影響；

(A5) 多孔介質(zhì)紡織品內(nèi)的空氣可看作理想氣體；

(A6) 不考慮輻射產(chǎn)生的能量遷移；

(A7) 人體代謝所產(chǎn)生的熱量以水蒸氣蒸發(fā)擴(kuò)散.

在文獻(xiàn)[9]中，根據(jù)假設(shè)(A7)，由熱量守恒定律得到傳統(tǒng)的熱傳導(dǎo)方程：

由于紡織品為多孔介質(zhì)，傳統(tǒng)的整數(shù)階熱傳導(dǎo)方程不能很好地解釋多孔織物的熱濕傳遞過程，而文獻(xiàn)[11]研究表明，分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程能有效地描述多孔介質(zhì)中的熱擴(kuò)散現(xiàn)象. 這里考慮如下分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程：

κcDβT(x)+λγ(x)=0

其中：cDβT(x)為β階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，定義[12-14]為

(1)

基于上述討論，在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，本文導(dǎo)出如下穩(wěn)態(tài)的具有平行圓柱孔結(jié)構(gòu)特征的織物分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型：

邊界條件：

且

(10)

其中：0≤x≤L，L為織物的厚度；psat為織物“平行圓柱孔”內(nèi)的飽和水蒸氣壓力；mv為水蒸氣的質(zhì)量通量(kg/(m2·s))； T為溫度(K)； pv為水蒸氣壓力(Pa)； k1,k2為常數(shù)，與水相對(duì)分子質(zhì)量和氣體常數(shù)有關(guān)；ε(x)為織物表面的孔隙率(%)； r(x)為圓柱孔半徑(m)； τ(x)為孔的曲折系數(shù)；γ(x)為織物表面的凝水率(kg/(m3·s))；κ為織物的導(dǎo)熱系數(shù)(W/(m·K))；λ為水蒸氣的凝結(jié)熱或蒸發(fā)熱(J/kg)；T0為織物內(nèi)側(cè)面的溫度；TL為織物外側(cè)面的溫度；mv,0為織物內(nèi)側(cè)面的水蒸氣質(zhì)量通量(kg/(m2·s))；pv,0為織物內(nèi)側(cè)面的水蒸氣壓力(Pa).

2解的存在唯一性

為證明分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)(2)～(9)解的存在唯一性定理，首先將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分系統(tǒng)

(14)

引理2.1分?jǐn)?shù)階非線性耦合系統(tǒng)(2)～(5) 連同其邊界條件(6)～(9)等價(jià)于系統(tǒng)(11)～(13).

證明：利用簡(jiǎn)單的積分技巧，并考慮到邊值條件，顯見方程(2)和(9)等價(jià)于方程 (11), 而方程(3),(5),(8)等價(jià)于方程(12). 下證方程(4)～(5)及其邊值條件(6)～(7)等價(jià)于積分方程(13), 其中系數(shù)c(p,T) 滿足關(guān)系式(14).

由方程(4)～(5)得

cDβT(x)=k2k3A(x)(psat(T(x))-

(15)

由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，得分?jǐn)?shù)階微分方程(15)具有如下形式的解：

(16)

將邊界條件(6)和(7)代入，有

b=T0

(17)

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行整理，得等式(14). 證畢.

為得到模型解的存在唯一性結(jié)果，還需要如下一些基本的、合理的假設(shè)：

(H1) 存在常數(shù)Ki(i=1,2,…,6)滿足

(H2) 存在常數(shù)N1，N2，N3滿足

(H3) 存在常數(shù)P和M滿足

首先給出低溫環(huán)境下單層織物分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞模型局部解的存在唯一性定理. 引入如下記號(hào)：

連續(xù)函數(shù)空間C=C[0,x1]， 其中0

局部解空間X=C×C×C={(p(x),mv(x),T(x))|p(x),mv(x),T(x)∈C};

定義X空間的范數(shù)‖(p,mv,T)‖X=max{‖p‖C,‖mv‖C,‖T‖C}.

顯然空間X在上述范數(shù)意義下構(gòu)成完備距離空間.

證明： 定義算子B:X→X 如下：

B(p,mv,T)=

(B1(p,mv,T),B2(p,mv,T),B3(p,mv,T))=

(19)

(20)

(21)

(22)

由引理2.1,僅需證明算子B在空間X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)即可.考察 B(p(1),mv,(1),T(1))-B(p(2),mv,(2),T(2))X， 注意到

‖B1(p(1),mv,(1),T(1))-B1(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(23)

‖B2(p(1),mv,(1),T(1))-B2(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(24)

以及

‖B3(p(1),mv,(1),T(1))-B3(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(25)

而

(26)

又

(27)

由式(23)～(27)的估計(jì)，以及X空間范數(shù)的定義，獲得

‖B(p(1),mv,(1),T(1))-B(p(2),mv,(2),T(2))‖X≤d‖(p(1),mv,(1),T(1))-(p(2),mv,(2),T(2))‖X

如此得到該耦合系統(tǒng)的局部解的存在區(qū)間[0,x1]. 將x1作為初始時(shí)刻，重復(fù)上述求局部解的過程，可將解延拓至[x1,x2]，經(jīng)過有限步，可得該系統(tǒng)在定義區(qū)間的整體解.

3數(shù)值算法

本節(jié)給出單層織物熱濕傳遞的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)的一種數(shù)值算法，并于其后附上由羽絨材料加工而成的織物熱濕傳遞性試驗(yàn)的例子.

首先利用簡(jiǎn)單打靶法[15]確定方程(13)中c的一個(gè)近似值c=c*，具體操作如下所述.

(1) 作等距剖分. 對(duì)區(qū)間[0,L]作等距剖分，步長(zhǎng)為h， 0=x0

(2) 離散方程. 對(duì)式(11)～(13)中的定積分運(yùn)用左矩形公式，有

(28)

(29)

(30)

其中: i=1,2,…,n.

(3) 比較T(xn)與TL. 通過(2)的迭代計(jì)算，得到該系統(tǒng)的第一列數(shù)值解，取得近似值T1(xn)，并將之與TL進(jìn)行比較. 注意到T(x)關(guān)于c單調(diào)遞增，而且在低溫環(huán)境中，TL

① 若T1(xn)

② 若T1(xn)>TL， 則取c2=2c1.

由c=c2經(jīng)過上述迭代和計(jì)算步驟，得到該系統(tǒng)的第二列數(shù)值解，取得近似值T2(xn)，并將之與TL進(jìn)行比較.

① 若(T1(xn)-TL)(T2(xn)-TL)<0， 則令c3=(c1+c2)/2;

② 若T1(xn)

③ 若T1(xn)>TL,T2(xn)>TL， 則令c3=2c2.

依次類推，由c=cs經(jīng)過上述迭代和計(jì)算步驟，得到該系統(tǒng)的第s+1列數(shù)值解，取得近似值Ts+1(xn)，并將之與TL進(jìn)行比較.

① 若(Ts(xn)-TL)(Ts+1(xn)-TL)<0， 則令cs+2=(cs+cs+1)/2;

② 若Ts(xn)

③ 若Ts(xn)>TL,Ts+1(xn)>TL， 則令cs+2=2cs+1.

依次進(jìn)行迭代計(jì)算，若當(dāng)c=ci時(shí)，由其計(jì)算得到的數(shù)值解恰使得Ti+1(xn)=TL或|Ti+1(xn)-TL|充分小，那么由c=ci得到的第i+1次數(shù)值解，就作為該系統(tǒng)的近似解.

取N=50,h=L/N,β=1.95. 利用基于二分法的打靶法，經(jīng)過迭代計(jì)算，得出參數(shù)c*=-1 192.3，此時(shí)數(shù)值解|T(L)-TL|<3.069 0×10-4，認(rèn)為該數(shù)值解就可以作為該系統(tǒng)的近似解. 溫度隨著織物厚度變化的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值結(jié)果如圖1所示.由圖1可見，數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合程度較好，說明本文的數(shù)值算法是有效的.

圖1　溫度與織物厚度的變化關(guān)系Fig.1　The changing relation between the temperature and the thickness of fabric

4結(jié)語

本文首次嘗試建立了低溫環(huán)境下具有平行圓柱孔織物的分?jǐn)?shù)階熱濕傳遞的穩(wěn)態(tài)模型，側(cè)重于理論上分析了分?jǐn)?shù)階模型解的存在唯一性，并給出了模型的數(shù)值算法. 該數(shù)值算法可用于一般分?jǐn)?shù)階邊值問題的數(shù)值求解.

參考文獻(xiàn)

[1] CRANK J. The mathematics of diffusion [M]. Oxford: Clarendon Press, 1975: 352-374.

[2] HENRY P S H. Diffusion in absorbing media [J]. Pro Roy Soc, 1939, 171A: 215-241.

[3] DAVID H G, NORDON P. Case studies of coupled heat and moisture diffusion in wool bed [J]. Text Res J, 1969, 39(2): 166-172.

[4] FAN J T, LUO Z X, LI Y. Heat and moisture transfer with sorption and condensation in porous clothing assemblies and numerical simulation [J]. Int J Heat Mass Transfer, 2000, 43: 2989-3000.

[5] FAN J T, WEN X H. Modeling heat and moisture transfer through fibrous insulation with phase change and mobile condensates [J]. Int J Heat Mass Transfer, 2002, 45: 4045-4055.[6] FAN J T, CHENG X Y, WEN X H, et al. An improved model of heat and moisture transfer with phase change and mobile condensates in fibrous insulation and comparison with experimental results [J]. Int J Heat Mass Transfer, 2004, 47: 2343-2352.

[7] HUANG H X, YE C H, SUN W W. Moisture transport in fibrous clothing assemblies [J]. J Eng Math, 2008, 61(1): 35-54.[8] 徐定華. 紡織材料熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型及設(shè)計(jì)反問題[M]. 北京：科學(xué)出版社，2014.

[9] 程建新. 紡織材料熱濕傳遞的數(shù)學(xué)模型研究[D]. 杭州：浙江理工大學(xué)理學(xué)院，2011.

[10] 陳遠(yuǎn)波. 紡織材料熱濕傳遞穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型及反問題的研究[D]. 杭州：浙江理工大學(xué)理學(xué)院，2012.

[11] 陳文，孫洪廣，李西成. 力學(xué)與工程問題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]. 北京：科學(xué)出版社,2010.

[12] SAMKO S G, KILBAS A A, MARICHEV O I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications[M]. Yverdon: Gordon and Breach Science Publ, 1993.

[13] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M]. New York: Academic Press, 1999.

[14] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Netherlands: Elsevier Science Limited, 2006.

[15] 凌復(fù)華, 殷學(xué)綱, 何冶奇. 常微分方程數(shù)值方法及其在力學(xué)中的應(yīng)用[M]. 重慶：重慶大學(xué)出版社,1990.

文章編號(hào)：1671-0444(2016)03-0449-06

收稿日期：2015-06-08

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(15D110927)；東華大學(xué)非線性科學(xué)研究所專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(INS 1402)

作者簡(jiǎn)介：葉海平(1964—)，女，上海人，副教授，博士，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程. E-mail: hpye@dhu.edu.cn

中圖分類號(hào)：O 175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A Fractional-Order Model of Heat and Moisture Transfer Through Parallel Pore Textiles

YEHai-ping,YANGLi-fang

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

Abstract:A model with fractional-order derivative has obvious advantage in describing the complicated phenomena of heat conduction and diffusion on the porous media. A fractional-order steady-state model is established, which is used to describe heat and moisture transfer through porous fibrous media under low temperature. The model considered is reduced to the equivalent integral equations. Then, the existence of a unique solution is proved by the Banach fixed point theorem. Finally, the shooting method of boundary value problems in ordinary differential equations is generalized and the numerical method is obtained for the fractional-order model.

Key words:textile; fractional-order model; heat and moisture transfer; existence; uniqueness; numerical method