山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 張 倩

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全變分高階模型的快速去噪算法

山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 張 倩

【摘要】全變分模型的圖像去噪，雖然能保持圖像邊緣，但導(dǎo)致階梯效應(yīng)。為了去除階梯效應(yīng)，提出了全變分的高階模型。本文將采用交替方向乘子法（ADMM），對(duì)該高階模型進(jìn)行求解，并對(duì)ADMM算法進(jìn)行改造，在具體數(shù)值求解的過程中使用快速傅里葉變換法，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明該模型的有效性和優(yōu)越性。

【關(guān)鍵詞】圖像去噪；全變分模型；高階模型；ADMM；快速傅里葉變換

0　引言

在科學(xué)研究、軍事技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、氣象及天文學(xué)等領(lǐng)域，圖像去噪技術(shù)都得到廣泛地關(guān)注，圖像去噪可以幫助人們更加準(zhǔn)確地獲得我們所需要的圖像特征，使其應(yīng)用到各個(gè)研究領(lǐng)域，幫助解決醫(yī)學(xué)、物理、航天、文學(xué)等具體問題。

本文關(guān)注的是基于全變分高階模型的圖像去噪研究。1992年Rudin等人提出了圖像去噪的全變分（Total Variation，TV）模型［1］，該模型在去除圖像中原有噪聲的同時(shí)，能有效地保留圖像的邊緣信息，但它有一個(gè)顯著的缺點(diǎn)就是容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，也就是圖像的平坦區(qū)域產(chǎn)生了虛假邊界。后來Lysaker、Lundervold和Tai（LLT）提出了高階全變分模型［2］，去除了階梯效應(yīng)，保持了圖像平坦區(qū)域的光滑度。最近幾年，為解決圖像去噪模型中，存在的一些非光滑不可微問題，提出了大量快速高效地?cái)?shù)值算法：原始對(duì)偶混合梯度法（PDHG）［3］，增廣拉格朗日方法（Augmented Lagrandian Method，ALM）［4］，交替極小化算法［5］等等。本文在研究全變分高階模型去噪問題，采用了交替方向乘子法，以及快速傅里葉變換的優(yōu)化方法求解模型，來提高圖像去噪質(zhì)量和效率。

1　全變分圖像去噪模型

全變分（TV）模型表示為求以下泛函的極小值：

高階導(dǎo)數(shù)全變分模型（HOTV）：

2　本文算法與收斂性分析

最早是在文獻(xiàn)［5］提出經(jīng)典的ADMM算法，在圖像處理等領(lǐng)域，這一算法得到了廣泛的應(yīng)用，其求解問題的基本思想是，引入幾個(gè)輔助變量替換原問題中較難處理的部分，本文結(jié)合ADMM算法，在對(duì)能量泛函求解時(shí)加入快速傅里葉變換，給出一個(gè)快速數(shù)值求解方法：首先引入兩個(gè)輔助變量(m，n)。

把上述問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，其增廣拉格朗日函數(shù)為：

（4）

根據(jù)交替迭代的思想，通過固定其他的變量，對(duì)某一個(gè)變量求最小，下面給出對(duì)每一個(gè)子問題的具體求解方法：

由收縮公式，式（5）等價(jià)于：

由文獻(xiàn)［6］中求解收縮閾算子方法，可得式（6）的解為：

下面關(guān)于n進(jìn)行求導(dǎo)，由于在導(dǎo)數(shù)為零處取得極小值。

（3）求解的子問題

（11）

等價(jià)于：

由Euler-Lagrange方程可得：

下面求得u，應(yīng)用快速傅里葉變換及其性質(zhì)。

由式（7），（10），（14）得本文算法步驟為：

結(jié)合經(jīng)典的ADMM算法的收斂性分析［7］，由于本文算法添加兩個(gè)變量，是ADMM算法在圖像去噪的一個(gè)應(yīng)用，下面給出文中ADMM算法的收斂性。

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為檢驗(yàn)本文ADMM算法在圖像去噪的有效性，本節(jié)對(duì)多幅圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。下面的圖均在Matlab R2013a的環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。本文選用常用的“Lena”圖像，實(shí)驗(yàn)參數(shù)選取。算法迭代終止條件為：是用來控制迭代終止的量，本文取

實(shí)驗(yàn)對(duì)加入噪聲的Lena灰度圖像進(jìn)行去噪，分別給出在迭代30次和60次的計(jì)算結(jié)果。如圖1和圖2所示。

圖1　

圖1給出了Lena灰度圖像的原圖，含噪聲圖像，以及迭代20次的Chambolle算法和本文算法的去噪圖像。

圖2　

圖2給出了進(jìn)行數(shù)值求解迭代60次時(shí)采用Chambolle算法和本文算法的計(jì)算結(jié)果圖像。

通過對(duì)比以及視覺觀察上面給出的去噪后的圖像，可以看出本文算法在進(jìn)行圖像去噪時(shí)效果更好，圖像更清晰更自然。

由Matlab2013a進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，當(dāng)算法終止迭代時(shí)，文獻(xiàn)［8］的算法在迭代30次和60次的時(shí)候，運(yùn)行時(shí)間都要比本文算法多20-30s，所以本文算法與文獻(xiàn)［8］算法相比，運(yùn)行時(shí)間大大縮短，從而提高了圖像去噪的效率。

4　結(jié)束語

本文給出了圖像去噪高階模型，并在求解過程中加入快速傅里葉變換，該算法不僅能夠有效地去除噪聲，也加快了運(yùn)算，大大提高了運(yùn)算時(shí)間。通過Lena灰度圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)高階TV模型，加入快速傅里葉變換，進(jìn)行算法求解是可行的，而且該方法不僅能有效地去除圖像中的噪聲，還能縮短運(yùn)行時(shí)間。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：

張倩（1991-），女，山東膠南人，山東科技大學(xué)碩士研究生。