胡超芳 任艷麗 解倩倩

天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072

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基于RMPC的高超聲速飛行器輸入飽和控制*

胡超芳 任艷麗 解倩倩

天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072

針對帶有輸入飽和限制的高超聲速飛行器非線性縱向運(yùn)動模型，提出了一種魯棒模型預(yù)測控制器(RMPC)設(shè)計方法。利用雅克比線性化以及張量積(T-P)模型轉(zhuǎn)換方法，將高超聲速飛行器非線性模型轉(zhuǎn)化為多胞線性參變(LPV)模型。在此基礎(chǔ)上，將輸入飽和表示為實際反饋控制律與輔助反饋控制律構(gòu)成的凸包，建立飽和RMPC控制器，并通過引入輔助矩陣來降低其保守性，利用線性矩陣不等式(LMI)求解，以保證輸入飽和條件下閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性。通過與其它RMPC控制器的仿真比較，驗證了本文方法的有效性。 關(guān)鍵詞 高超聲速飛行器；輸入飽和；魯棒預(yù)測控制；張量積；線性參變模型

高超聲速飛行器是指一類飛行速度超過5倍聲速的飛行器。其機(jī)體/發(fā)動機(jī)一體化的設(shè)計，導(dǎo)致高超聲速飛行器的非線性程度較高，對控制器設(shè)計提出了極大挑戰(zhàn)。為避免復(fù)雜的非線性設(shè)計過程，并實現(xiàn)高超聲速飛行器大包絡(luò)下的飛行控制，鑒于線性參變(LPV)模型能夠充分描述系統(tǒng)內(nèi)在的非線性和時變特點(diǎn)，可以利用成熟線性控制理論的優(yōu)勢[1]。近年來基于LPV系統(tǒng)的高超聲速飛行器控制研究得到了一定發(fā)展，如文獻(xiàn)[2-3]針對高超聲速飛行器縱向運(yùn)動模型，在多胞LPV模型基礎(chǔ)上設(shè)計了魯棒變增益控制器。此外，輸入飽和作為控制系統(tǒng)中較為常見的一種現(xiàn)象，嚴(yán)重影響著飛行控制系統(tǒng)的閉環(huán)性能和穩(wěn)定性[4]，對于高超聲速飛行器的安全穩(wěn)定飛行具有重大現(xiàn)實意義，引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。如Xu等[5]基于動態(tài)面控制，利用指令濾波以及跟蹤誤差補(bǔ)償來解決輸入飽和問題；Huang等[6]采用積分二次約束對高超聲速飛行器的輸入飽和非線性進(jìn)行處理，實現(xiàn)了平衡點(diǎn)處較小范圍的穩(wěn)定控制。

魯棒預(yù)測控制(RMPC)由于其突出的顯式處理約束能力以及良好的魯棒控制性能[7-8]，在飛行控制領(lǐng)域也得到了一定的發(fā)展和應(yīng)用。如文獻(xiàn)[9]針對高超聲速飛行器，設(shè)計了基于多胞LPV模型的RMPC控制器。而對于輸入飽和限制要求，目前也已有關(guān)于RMPC的研究成果，如文獻(xiàn)[10]基于多胞LPV模型，設(shè)計輔助線性反饋律，構(gòu)建RMPC控制器，來解決輸入飽和問題；Huang等[11]對該飽和方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過引入權(quán)重調(diào)節(jié)參數(shù)降低了RMPC控制器的保守性。

本文針對帶有輸入飽和限制的高超聲速飛行器縱向運(yùn)動模型，設(shè)計飽和RMPC控制器。首先，基于雅克比線性化和張量積模型轉(zhuǎn)換方法，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多胞LPV模型；然后，利用實際反饋控制律與輔助反饋控制律構(gòu)成的凸集逼近飽和輸入，并引入輔助矩陣來提高控制器設(shè)計自由度、降低保守性，以建立飽和RMPC控制器，并通過線性矩陣不等式(LMI)求解，保證了飛行狀態(tài)的穩(wěn)定收斂。仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

1 模型描述

為了合理簡化模型的復(fù)雜度，不失一般性，考慮如下假設(shè)[12]：

1)高超聲速飛行器為理想剛性體，質(zhì)心保持在機(jī)體縱軸上，推力沿縱軸方向；

2)不考慮地球自轉(zhuǎn)，假設(shè)地面局部平坦且重力加速度恒定；

3)大氣相對地球靜止，忽略氣流的不對稱性及壓縮性、陣風(fēng)等因素的影響；

4)忽略飛行器橫側(cè)向運(yùn)動對縱向運(yùn)動的影響，只考慮縱向運(yùn)動。

基于此，高超聲速飛行器的縱向運(yùn)動模型[13-14]為：

(1)

其中，h,V,α,θ,q分別為高度、速度、攻角、航跡角和俯仰速率，m,g分別為飛行器的質(zhì)量和重力加速度，Iyy為飛行器相對機(jī)體坐標(biāo)系y軸的轉(zhuǎn)動慣量，L,D,T,M分別表示升力、阻力、推力和俯仰力矩。

(2)

ρ為空氣密度，氣動參數(shù)表達(dá)式為：

(4)

(5)

umax,umin分別為飽和上下限值，ε為所設(shè)計控制律。

2 多胞LPV系統(tǒng)建模

為建立高超聲速飛行器的多胞LPV模型，首先需要構(gòu)建其連續(xù)LPV模型。通過求解以下方程獲得平衡點(diǎn)：

f1=Vsin(θ-α),

然后利用雅克比線性化(也就是小擾動線性化[15])，在平衡點(diǎn)附近，將縱向運(yùn)動模型通過Taylor展開式化簡，略去二階以上無窮小量，得到近似的線性縱向運(yùn)動模型。于是高超聲速飛行器的動態(tài)特性就可用平衡點(diǎn)附近的線性系統(tǒng)來描述。

為此，對高超聲速飛行器平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，得到雅克比線性化后的LPV模型：

(6)

其中，Δx=x-xe,Δu=u-ue，xe,ue為平衡點(diǎn)處的狀態(tài)和輸入，由f(xe,ue)=0求得。p(t)=[hV]T為變參數(shù)向量，h,V為調(diào)度變量，且p(t)∈Γ?R2，Γ=[2286.00m/s,2590.80m/s]×[25908.00m,26517.60m]是由期望飛行速度范圍和高度范圍所確定的有界閉域。其次，使用張量積模型轉(zhuǎn)換方法獲得式(6)在閉域Γ內(nèi)的多胞模型，其主要包括以下步驟：1)在參數(shù)空間Γ內(nèi)，分別在高度和速度兩個維度上選取一定數(shù)量的采樣點(diǎn)，將LPV系統(tǒng)離散化，并建立張量以存儲以上離散系統(tǒng)；2)通過高階奇異值分解(HOSVD)[16-17]，提取核心線性時不變(LTI)頂點(diǎn)系統(tǒng)；3)構(gòu)建LTI頂點(diǎn)系統(tǒng)的權(quán)系數(shù)函數(shù)。本文中，取樣密度為21×21，通過以上過程，時變矩陣S(p(t))=[A(p(t))B(p(t))]可以近似表達(dá)為變參數(shù)p(t)與有限個LTI頂點(diǎn)系統(tǒng)的凸組合

(7)

3 飽和RMPC控制器設(shè)計

Δx(k+1)=A(τ(k))Δx(k)+B(τ(k))Δu(k)

(8)

[A(τ(k))B(τ(k))]∈Ω=

co{[A1B1],[A2B2],...,[A20B20]}

其中，Ω表示頂點(diǎn)[AnBn]構(gòu)成的凸包，即

[A(τ(k))B(τ(k))]=

為考慮控制輸入的飽和約束(5)，基于系統(tǒng)(8)，采用狀態(tài)反饋來設(shè)計飽和RMPC控制器。首先，對于輸入飽和限制，將Δu表示為凸包的形式[18]

Δu=sat(KΔx,umin-ur,umax-ur)∈

(9)

sat(KΔx,umin-ur,umax-ur)=

(10)

然后，在多胞LPV模型(8)的每一頂點(diǎn)處均采用一致的狀態(tài)反饋控制律(10)。Δx(k+i|k)為系統(tǒng)在k時刻得到的k+i時刻的預(yù)測狀態(tài)，Δu(k+i|k)為k+i時刻的預(yù)測控制輸入。取Lyapunov函數(shù)為V(k+i|k)=Δx(k+i|k)TPΔx(k+i|k),P>0，P為鎮(zhèn)定矩陣。設(shè)k時刻Lyapunov函數(shù)V(k|k)=Δx(k|k)TPΔx(k|k)的上界值為γ，則目標(biāo)函數(shù)J∞(k)為

其中，ψ,σ為正定加權(quán)矩陣。

下面給出定理1來求解以上飽和RMPC控制器，以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

定理1 針對多胞LPV模型(8)以及飽和控制律(10)，給定初始狀態(tài)Δx(k|k)、正定矩陣ψ,σ以及權(quán)重調(diào)節(jié)參數(shù)β>0，且令γ1=aγ。k時刻若存在0

優(yōu)化問題1：

(11)

(12)

(13)

γ-γ1>0

(14)

(15)

(16)

證明：對式(11)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理[19]可得

Δx(k|k)TPΔx(k|k)≤γ

(17)

本文引入輔助矩陣G來提高控制器設(shè)計自由度，降低保守性[20]，根據(jù)文獻(xiàn)[21]有G+GT-Q≤GTQ-1G成立，則式(12)和(13)可分別寫為式(18)和(19)

(18)

(19)

將式(18)兩邊乘以λ1，式(19)兩邊乘以λj,j=2,3,4，并將兩式左右分別相加可得：

n= 1,...,20 (20)

(22)

式(22)兩邊同時乘以γ,Δx(k+i|k)T和Δx(k+i|k)，令P=γQ-1,K=YG-1,H=ZG-1，則有

||AnΔx(k+i|k)+BnΔu(k+i|k)||P-

(23)

式(23)保證了Lyapunov函數(shù)遞減，進(jìn)而結(jié)合式(17)可知，Z={Δx(k+i|k)|Δx(k+i|k)TPΔx(k+i|k)≤γ}可作為模型(8)的不變集[8]，且該不變集包含原點(diǎn)。

(24)

(25)

(26)

對式(25)和(26)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得：

(27)

(28)

令Hl=ZlG-1,P=γQ-1，并對式(27)和(28)分別左乘diag{I,GT}和右乘diag{I,G}，可得

(29)

(30)

又因為G+GT-Q≤GTQ-1G，則有式(15)和(16)成立。此外，若k時刻存在可行解，則該解對于k+i,i≥0時刻仍然可行[8]，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真

為驗證本文控制器的有效性，對飽和條件下的高超聲速飛行器縱向運(yùn)動模型進(jìn)行仿真。飛行參考點(diǎn)取為hr=26243.28m,Vr=2423.16m/s,αr=0.782°,θr=0.782°,qr=0,δer=10.627,Φcr=0.215，初始點(diǎn)取為h0=26060.40m,V0=2286.00m/s,α0=0.844°,θ0=0.844°,q0=0,輸入飽和約束的上下界值分別為δemin=-30°,δemax=30°;Φcmin=0,Φcmax=1.5。

首先進(jìn)行多胞LPV建模，然后選取合適的矩陣ψ,σ和權(quán)重調(diào)節(jié)參數(shù)β，設(shè)計飽和RMPC控制器。并將其與文獻(xiàn)[8]中的經(jīng)典約束RMPC以及常規(guī)無約束RMPC進(jìn)行對比，仿真結(jié)果如圖1～7所示。

圖1 舵偏角

圖2 空氣當(dāng)量比

圖3 高度

圖4 速度

圖5 攻角

圖6 俯仰角

圖7 俯仰速率

從圖1和2可以看出，飽和RMPC與經(jīng)典約束RMPC[8]均能保證輸入滿足給定的飽和限制，而常規(guī)無約束RMPC控制器使得系統(tǒng)輸入幅值過大，嚴(yán)重超過飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)物理約束范圍。由圖3和4可知，與經(jīng)典約束RMPC[8]相比，本文的飽和RMPC控制器設(shè)計方法保守性相對較低，高度超調(diào)量較小，速度上升較快，系統(tǒng)能夠相對較快地到達(dá)參考點(diǎn)。圖5～7分別表示了攻角α、俯仰角θ和俯仰速率q變化曲線，無約束RMPC下的狀態(tài)變量變化幅值過大。而本文飽和RMPC下的α和θ略大于經(jīng)典約束RMPC[8]方法，這是因為前者的控制量相對于后者較大，但總體變化仍然合理，到達(dá)穩(wěn)態(tài)較快。綜上分析，本文提出的飽和RMPC控制器是有效的，具有良好的穩(wěn)定性和控制性能，實現(xiàn)了二者的兼顧。

5 結(jié)論

針對帶有輸入飽和的高超聲速飛行器縱向運(yùn)動模型，提出了一種飽和RMPC控制器設(shè)計方法。利用雅克比線性化以及張量積模型轉(zhuǎn)換方法實現(xiàn)了非線性模型的線性化，建立了多胞LPV系統(tǒng)，并通過構(gòu)造實際與輔助狀態(tài)反饋律，設(shè)計了飽和RMPC控制器，其中輔助矩陣的引入一定程度上降低了控制器的保守性，使得系統(tǒng)既滿足實際輸入飽和限制，又實現(xiàn)了飛行器快速穩(wěn)定的控制性能，為抗飽和控制方法研究提供了新的思路。

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Input Saturation Control Based on RMPC for Hypersonic Vehicles

Hu Chaofang, Ren Yanli, Xie Qianqian

School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China

Arobustmodelpredictivecontroller(RMPC)designmethodisproposedforthenonlinearlongitudinaldynamicmodelofthehypersonicvehiclewithinputsaturation.Thepoly-topiclinearparametervarying(LPV)modelofthevehiclecanbeobtainedbyusingJacobianlinearizationandtensor-product(TP)modeltransformationapproach.Basedonthismodel,thesaturatedRMPCcontrollerisdesigned,whichisbasedontheconvexhullconstructedbytheactualandauxiliarystatefeedbacklawstoreplacetheinputsaturation,andtheauxiliarymatrixisintroducedtodecreasetheconservatismofthecontroller.Thelinearmatrixinequality(LMI)isusedtosolvethecontroller.Thecontrolperformanceandstabilityoftheclose-loopsystemareguaranteed.TheeffectivenessoftheproposedmethodisdemonstratedbycomparingwithotherRMPCcontrollerssimulation.

Hypersonicvehicle;Inputsaturation;Robustmodelpredictivecontrol;Tensor-product;Linearparametervaryingmodel

*天津市自然科學(xué)基金項目(12JCZDJC30300); 國家留學(xué)基金

2015-08-27

胡超芳(1973-)，男，河北保定人，副教授，主要從事預(yù)測控制、飛行器優(yōu)化與控制等研究；任艷麗(1991-)，女，山西呂梁人，碩士研究生，主要從事魯棒預(yù)測控制研究；解倩倩(1990-)，女，河北滄州人，碩士研究生，主要從事魯棒預(yù)測控制研究 。

TP273

A

1006-3242(2016)02-0020-07