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正態(tài)型部件的參數(shù)估計(jì)方法研究*

2016-08-10 03:32陸洪武邵松世
艦船電子工程 2016年7期
關(guān)鍵詞:參數(shù)估計(jì)

陸洪武 邵松世

(1.海軍裝備部信息系統(tǒng)局 北京 100000)(2.海軍工程大學(xué)科研部 武漢 430033)

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正態(tài)型部件的參數(shù)估計(jì)方法研究*

陸洪武1邵松世2

(1.海軍裝備部信息系統(tǒng)局北京100000)(2.海軍工程大學(xué)科研部武漢430033)

摘要針對(duì)正態(tài)型部件的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,在極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)的一般計(jì)算方法基礎(chǔ)上,結(jié)合裝備使用數(shù)據(jù)給出了正態(tài)分布兩種參數(shù)估計(jì)方法的計(jì)算流程,重點(diǎn)分析了只有一個(gè)失效數(shù)據(jù)情況下Bayes估計(jì)方法計(jì)算的準(zhǔn)確性和先驗(yàn)信息對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,并研究了多個(gè)失效數(shù)據(jù)情況下的處理方法。通過(guò)算例分析,說(shuō)明了Bayes估計(jì)對(duì)正態(tài)型部件參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性和適用性。

關(guān)鍵詞正態(tài)型部件; 極大似然估計(jì); Bayes估計(jì); 先驗(yàn)信息; 參數(shù)估計(jì)

Class Number

1引言

正態(tài)型部件作為一種常見(jiàn)的壽命分布類(lèi)型,廣泛存在于艦船機(jī)械類(lèi)裝備中[1~2]。對(duì)該類(lèi)型壽命分布參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確與否將直接影響部件的可靠性分析、備件供應(yīng)規(guī)劃決策等后續(xù)保障性工作[3~5]。因此,準(zhǔn)確估計(jì)這些參數(shù)值顯得尤為重要。

極大似然估計(jì)是一種經(jīng)典估計(jì)方法,其優(yōu)點(diǎn)是具有較好的大樣本性質(zhì),并符合人們的直觀印象,缺點(diǎn)是小樣本情況無(wú)法準(zhǔn)確的估計(jì)出參數(shù)的真值;貝葉斯估計(jì)與極大似然估計(jì)的不同之處在于利用了先驗(yàn)信息,即歷史信息,其優(yōu)點(diǎn)是在樣本信息較少的情況下能夠較準(zhǔn)確的給出未知參數(shù)的估計(jì)值,其缺點(diǎn)是先驗(yàn)信息較難獲得。針對(duì)這兩種參數(shù)估計(jì)方法,相關(guān)專(zhuān)家學(xué)者進(jìn)行了深入的研究,如文獻(xiàn)[6]給出了不同壽命分布型產(chǎn)品的極大似然估計(jì)方法;文獻(xiàn)[7]介紹了當(dāng)產(chǎn)品壽命分布為指數(shù)分布,且樣本數(shù)據(jù)為分組型時(shí)參數(shù)的Bayes 估計(jì)方法;文獻(xiàn)[8]給出了當(dāng)壽命分布為正態(tài)分布時(shí),產(chǎn)品失效概率的Bayes估計(jì)方法;文獻(xiàn)[9]給出了當(dāng)產(chǎn)品壽命分布為正態(tài)分布時(shí),在均值未知,方差已知情況下的均值Bayes估計(jì)問(wèn)題,但是在實(shí)際計(jì)算中,正態(tài)分布的方差值也是很難獲得的。

總的來(lái)說(shuō),極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)是進(jìn)行壽命分布參數(shù)估計(jì)比較常用的方法,相關(guān)專(zhuān)家學(xué)者對(duì)這兩類(lèi)方法進(jìn)行了深入的研究,但是將這兩種方法結(jié)合裝備保障的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)用的研究較少。另一方面,兩種參數(shù)估計(jì)方法各有優(yōu)缺點(diǎn),在分析裝備的實(shí)際使用數(shù)據(jù)時(shí),選擇何種方法進(jìn)行壽命分布類(lèi)型部件的參數(shù)估計(jì)也是一個(gè)問(wèn)題。本文從這兩個(gè)問(wèn)題出發(fā),針對(duì)正態(tài)型部件,首先介紹極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)的總體思路,進(jìn)一步分析在已知壽命分布類(lèi)型情況下,對(duì)壽命分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的具體方法。在此基礎(chǔ)上,重點(diǎn)分析Bayes估計(jì)在裝備使用數(shù)據(jù)下的應(yīng)用。

2極大似然估計(jì)

設(shè)產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布,則其概率密度函數(shù)為[10]

其中,μ為均值,σ為方差。正態(tài)分布概率密度函數(shù)的似然函數(shù)表達(dá)式可寫(xiě)為

(1)

轉(zhuǎn)換為負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(2)

使L取最大值或最小值的參數(shù)滿(mǎn)足下式:

(3)

(4)

分別解式(3)、(4)得μ、σ2的極大似然估計(jì)值為

(5)

(6)

其中,ti為失效前工作時(shí)間。

使用極大似然估計(jì)進(jìn)行計(jì)算前提是計(jì)算數(shù)據(jù)均為完全無(wú)刪失數(shù)據(jù),在裝備實(shí)際使用過(guò)程,采集的數(shù)據(jù)大部分為定時(shí)截尾或定數(shù)截尾數(shù)據(jù),采集完全無(wú)刪失數(shù)據(jù)基本不可能,所以此方法的適用性受到很大限制。

3Bayes估計(jì)

對(duì)于非指數(shù)型部件來(lái)說(shuō),利用Bayes估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)較為復(fù)雜。對(duì)于新列裝的裝備或高可靠性部件來(lái)說(shuō),故障信息為小子樣信息,通過(guò)觀察裝備的實(shí)際使用數(shù)據(jù),很多部件的故障只發(fā)生一次,即失效數(shù)據(jù)只有一個(gè)(簡(jiǎn)記為DOOF數(shù)據(jù)[8])。因此,利用DOOF數(shù)據(jù)研究正態(tài)型、威布爾型等非指數(shù)型部件的參數(shù)估計(jì),有較大的實(shí)際意義和應(yīng)用范圍。在對(duì)μ,σ2進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),由于兩個(gè)參數(shù)均為未知參數(shù),直接對(duì)兩參數(shù)進(jìn)行Bayes估計(jì)涉及多參數(shù)模型,模型復(fù)雜,且先驗(yàn)分布及超參數(shù)難以獲得。為簡(jiǎn)化計(jì)算,首先對(duì)失效率進(jìn)行Bayes估計(jì),再利用最小二乘法得到μ,σ2的參數(shù)估計(jì)。

(tl,sl,rl),l=1,2,…,k,

(7)

根據(jù)式(7)提供的信息有:

1)t=0時(shí),失效概率p0=0;

2) 由于t1≤t2≤…≤tk,記失效概率pi=P(T

p1

(8)

當(dāng)sk較大時(shí),pi(i=1,2,…,k)均較小。

由于在部件整個(gè)工作過(guò)程中只有一次失效,所以部件的失效率pi不會(huì)很大,當(dāng)sk較大時(shí),pi很小甚至接近于零。因此,部件在時(shí)刻tk前,可以認(rèn)為失效率pk<0.5。通常pk的值可以通過(guò)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)給出比較精確的上界λk。此時(shí)pk的取值范圍為(0,λk),并且λk≤0.5[8]。

已知部件壽命T服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且

(9)

當(dāng)t<μ時(shí),上式大于零,即部件的正態(tài)分布函數(shù)F(t)是t的凹函數(shù)。則根據(jù)凹函數(shù)的性質(zhì)有:

(10)

其中,t0

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知,pi的Bayes估計(jì)分為如下兩種情況:

(12)

i=m,m+1,…,k

(13)

由于已知部件壽命T服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則該部件在ti時(shí)刻的失效概率pi為

(14)

其中,Φ(°)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。若Φ-1(·)表示為Φ(°)的反函數(shù),則上式可變化為

ti=μ+Φ-1(pi)σ,i=1,2,…,k

(15)

(16)

(17)

4算例分析

已知某部件壽命分布服從正態(tài)分布,且t~N(1385.7,3602),在某系統(tǒng)中共有該部件20件,分別屬于4型裝備,其系統(tǒng)組成如圖1所示。

圖1 某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成圖

通過(guò)查看該部件的使用情況記錄,發(fā)現(xiàn)在該部件工作至828小時(shí)時(shí)有一個(gè)失效,各裝備的工作情況如表1所示。

表1 各裝備工作情況表

現(xiàn)對(duì)該部件的使用數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,運(yùn)用Bayes估計(jì)方法對(duì)正態(tài)分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并將估計(jì)值與真值進(jìn)行比對(duì),以驗(yàn)證該方法的可行性與準(zhǔn)確性。

首先必須確定失效概率p4的上界λ4, 不妨取λ4=0.5,則計(jì)算得到正態(tài)分布參數(shù)的估計(jì)值為μ=1230.1,σ=352.5。其密度函數(shù)圖如圖2所示。從計(jì)算結(jié)果及密度函數(shù)圖可以看出,Bayes估計(jì)計(jì)算得到的均值μ和方差σ均相當(dāng)接近真值。

圖2 Bayes估計(jì)計(jì)算所得參數(shù)值的密度函數(shù)圖(正態(tài)分布)

1) 先驗(yàn)信息對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

通過(guò)改變?chǔ)?值來(lái)觀察λ4取值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響,分別取0.45,0.4,0.35,0.3,0.2,計(jì)算得到的參數(shù)值如表2所示。

從表2可以看出,隨著λ4值的變化,均值μ和方差σ的估計(jì)值變化不大,說(shuō)明在λ4的取值較小時(shí),其對(duì)均值μ和方差σ的估計(jì)值影響不大,即專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息的準(zhǔn)確程度不會(huì)對(duì)Bayes估計(jì)的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響,也說(shuō)明此方法計(jì)算得到的估計(jì)值是穩(wěn)健、實(shí)用的。

表2 參數(shù)估計(jì)值

2) 失效部件數(shù)大于1時(shí)的處理方法

在分析裝備的實(shí)際使用數(shù)據(jù)時(shí),部件的失效個(gè)數(shù)可能不止一個(gè),運(yùn)用該Bayes估計(jì)方法只需要使用第一個(gè)失效部件發(fā)生的時(shí)間,并應(yīng)將第二個(gè)失效部件發(fā)生的時(shí)間設(shè)定為任務(wù)結(jié)束時(shí)間,這樣該方法就適應(yīng)于失效部件數(shù)大于1的情況。在上例中,第二次故障發(fā)生時(shí)間為894.1小時(shí),將任務(wù)結(jié)束時(shí)間t4取890小時(shí),上例的計(jì)算結(jié)果即能證明該處理方法可行。

5結(jié)論

本文在極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)的一般計(jì)算方法基礎(chǔ)上,結(jié)合裝備使用數(shù)據(jù)給出了正態(tài)分布兩種參數(shù)估計(jì)方法的計(jì)算流程,分別在一個(gè)失效數(shù)據(jù)和多個(gè)失效數(shù)據(jù)情況下,對(duì)Bayes估計(jì)方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證,說(shuō)明了Bayes估計(jì)對(duì)正態(tài)分布部件參數(shù)估計(jì)的適用性。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 劉天華.艦船裝備備件需求確定與配置優(yōu)化方法研究[D].武漢:海軍工程大學(xué),2012.

[2] 阮旻智.多級(jí)維修供應(yīng)模式下艦船裝備備件的配置優(yōu)化方法研究[D].武漢:海軍工程大學(xué),2012.

[3] 單志偉.裝備綜合保障工程[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2008.

[4] 王自力.可靠性維修性保障性要求論證[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2011.

[5] 甘茂智,康建設(shè),高崎.軍用裝備維修工程學(xué)(第2版)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2010.

[6] 張志華.可靠性理論及工程應(yīng)用[M].武漢:科學(xué)出版社,2012.

[7] Sanku D,Biswabrata P.Generalized inverted exponential distribution under hybrid censoring[J].Statistical Methodology,2014(18):101-114.

[8] 張志華.正態(tài)分布場(chǎng)合下只有一個(gè)失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1998,14(2):185-190.

[9] 桂香,陳燕燕.正態(tài)分布在不同先驗(yàn)下的Bayes估計(jì)及風(fēng)險(xiǎn)比較[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2007,27(2):80-82.

[10] 茆詩(shī)松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,2011.

收稿日期:2016年1月7日,修回日期:2016年2月16日

作者簡(jiǎn)介:陸洪武,男,高級(jí)工程師,研究方向:裝備綜合保障。邵松世,男,博士研究生,工程師,研究方向:裝備綜合保障。

中圖分類(lèi)號(hào)

DOI:10.3969/j.issn.1672-9730.2016.07.035

Parameter Estimation Method for Normal Type Components

LU Hongwu1SHAO Songshi2

(1.Information System Agency of Department of Naval Equipment, Beijing100000)(2.Office of Research & Development, Naval University of Engineering, Wuhan430033)

AbstractFor the problem of the parameter estimation for normal type components, the calculation process of methods of maximum likelihood estimation and Bayes estimation is proposed according to the equipment data based on the general method of two parameter estimation. The accuracy of Bayes estimation and the influence of priori information on calculation results is analyzed with only one failure data, and the processing method is also researched with the multiple failure data. The accuracy and applicability of the Bayes estimation for the parameter estimation of normal components are illustrated by an example analysis.

Key Wordsnormal type components, maximum likelihood estimation, Bayes estimation, priori information, parameter estimation

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