卓小麗，李保軍

(廣西交通科學研究院，廣西　南寧　530007)

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基于MATLAB語言的變截面無鉸拱拱軸線數值優(yōu)化方法

卓小麗，李保軍

(廣西交通科學研究院，廣西南寧530007)

文章以某無支架施工的空腹式變截面特大跨無鉸拱為背景，利用MATLAB對拱圈考慮架設過程后的有限元內力計算結果進行分析，并采用三次樣條差值函數優(yōu)化模型對內力結果進行迭代后擬合出最優(yōu)拱軸線。在拱軸線形優(yōu)化過程中架設過程對成橋內力的影響最大為8.8%，影響最大的控制截面約在1/8跨徑位置；優(yōu)化后的拱軸線使節(jié)點最大壓力線偏離量減小了27.8%，且拱軸線與壓力線正負偏離值更接近，這樣有利于控制截面上下緣對稱布筋，提高了經濟效益。

變截面；無鉸拱；MATLAB；拱軸線；偏離量；數值優(yōu)化方法

0　引言

拱橋主拱圈軸線的合理選擇是拱橋設計中的重要問題之一，陳寶春、肖汝誠等認為大跨徑施工的拱橋設計中合理拱軸線優(yōu)化因橋而異[1]。在設計過程中，由實腹式拱橋恒載分布規(guī)律導出的A.Strassner懸鏈線被較多采用，且荷載分布模式比較常規(guī)。周水興、姜旭東等在拱軸線優(yōu)化方面研究的內容著重于等截面主拱圈的合理共軸線優(yōu)化，忽略了施工架設過程中積累的內力變化量[2][3]。然而實際施工過程中，荷載壓力線由于荷載分布比較復雜從而難以用簡單函數來描述，若通過五點重合法或主拱圈上少數截面逼近恒載壓力線，主拱圈上某些非控制截面的壓力線可能會與拱軸線的吻合情況不佳，使得主拱圈彎矩過大，從而受力不利。本文的優(yōu)化方法考慮了架設過程中積累的內力變化量，基于MATLAB語言的強大數值分析功能，實現了三次樣條差值作為逼近函數對一座變寬截面拱軸線形進行優(yōu)化，較人工多次試算的方法提高了效率，且優(yōu)化效果明顯。隨著拱橋跨徑的不斷增大，合理拱軸線的重要性使結構在施工及成橋狀態(tài)的受力更加突出。

1　工程概況

貴州某采用纜索吊裝斜拉扣掛法施工的鋼筋混凝土變寬截面拱式渡槽，半跨立面如圖1所示。凈跨徑l0=200 m，矢高f0=40 m，主拱圈采用變寬設計，從拱腳的12 m漸變至拱頂5.5 m，拱圈高度不變。拱圈采用懸鏈線，拱軸系數m=2.24，拱頂位置設預拱度0.35 m。節(jié)點劃分時，為了包含常用的五點重合法位置，將拱圈等分后進行單元劃分。

圖1　渡槽半跨立面圖(單位：m)

2　變寬拱圈恒載內力計算

拱圈在進行變截面設計時，為了便于施工，往往僅選擇對拱圈寬度或高度其中之一進行變截面設計，本文以較為復雜的變寬進行計算[4]。

2.1變寬拱圈微元形心計算

對于變寬截面拱圈，在變寬拱圈微元ds順橋方向上近似簡化為梯形截面進行形心位置計算(見圖2～3)：

引入變寬方程b(x)=2ksh(kξ)/(m-1)，ξ=2x/l，則有：

A=(a+b)h/2

(1)

將b=2ksh(2k(xi-ds)/l)/(m-1)；a=2ksh(2k(xi+ds)/l)/(m-1)代入式(2)積分即可求解形心位置。

圖2　變寬截面主拱圈自重計算圖

圖3　變寬截面微元形心計算圖

2.2自重內力計算及變寬截面面積函數

圖4　變寬截面面積函數計算圖

dMi=A(xi)×γ×ds×(x-xi′)

(3)

積分可得：

(4)

A(xi′)=2×(bmax-b(xi))N+Amin

(5)

式中：γ——拱圈單位體積容重；

bmax——拱圈設計最大變寬寬度；

Amin——拱圈設計最小變寬寬度對應的橫截面面積；

N——拱圈設計頂、底板厚度。

另外，拱圈橫隔板重量根據初步設計擬定的坐標采用集中荷載方式考慮。

2.3主拱圈拱上建筑

本工程主拱圈拱上建筑為排架及槽殼，空腹式拱橋分為梁式腹拱及拱式腹拱，集中力作用在主拱圈上是梁式腹拱拱上建筑荷載分配的主要方式。本文研究的工程對象屬于梁式腹拱，故以梁式腹拱的拱上建筑為例進行計算分析(見圖5)。

圖5　主拱圈拱上建筑計算圖

排架墩為集中荷載：

∑MP=∑P(i)·(li-x)

(6)

排架上部結構為均布荷載：

∑Mq=∑q·s·(li-lq/2)

(7)

式中：q——排架上部結構的均布荷載集度；

P(i)——排架墩i的集中荷載，由上式可以計算出拱上建筑對控制截面(拱頂、l0/4、拱腳)或者任意截面的力矩。

3　拱軸線優(yōu)化的數學模型

3.1三次樣條差值函數

拱軸系數優(yōu)化的方法主要有迭代法、最小二乘法等，分段解析函數法以三次樣條差值函數作為恒載壓力線的逼近函數較為常用，同樣適用變截面拱軸系數的優(yōu)化，其數學模型為[5]：

f(x)=aix3+bix2+cix+di，(i=0，1，…，n-1)

(8)

λimi-1+2mi+μimi+1=di(i=0，1，…，n-1)

(9)

其次，補充邊界條件f′(x0)=m0，f′(xn)=mn則式(9)可以確定唯一的m0，m1，…，mn，從而確定了三次樣條差值函數f(x)。

主拱圈的跨徑、矢高以及拱上建筑的構造根據橋跨布置即可確定。根據對稱性原則，將半跨拱圈分為若干節(jié)點0=x0

(10)

求得m0，m1，…，mn后，利用前面介紹的方法計算各單元在節(jié)點處的彎矩Mi及軸力Ni(i=0，1，…，n-1)，同時結合公式(10)對內節(jié)點坐標做如下修正：

3.2計算模型及優(yōu)化流程

3.2.1計算模型

在進行合理拱軸線優(yōu)化過程中，其最初的拱軸線是設計擬定的原始軸線。如由于拱圈及拱上建筑是對稱結構，取拱軸線的一半為研究對象，拱圈控制節(jié)點按半跨拱軸線20等分得到，這樣可以包含常用的五點重合法位置，半跨共有21個節(jié)點，20個單元[6]，見圖6。

圖6　拱軸線單元、節(jié)點劃分圖

3.2.2優(yōu)化流程

利用常規(guī)的荷載分布模式來求得恒載壓力線進而擬合拱軸線這種優(yōu)化方式，忽略了拱圈分擔的荷載與架設過程有關，對大跨徑無支架施工拱橋的拱軸線確定影響更大，在拱軸線優(yōu)化過程中須考慮施工階段架設過程對成橋狀態(tài)的影響量，本文以設計拱軸線計算出的施工階段內力影響量為基礎進行優(yōu)化。

Step1：有限元計算施工階段對成橋狀態(tài)的內力影響量；

Step2：計算變寬主拱圈及拱上建筑自重對拱圈控制截面內的節(jié)點彎矩及軸力；

Step3：根據初擬的拱軸線，計算控制點初始坐標；

Step4：根據邊界條件m0=f′(x0)=(y1-y0)/(x1-x0)，mn=f′(xn)=0求解矩陣唯一解m0，m1，…，mn；

Step6：輸出控制點坐標、擬合拱軸線方程。

4　優(yōu)化結果

由圖7分析可知，由于施工過程中的誤差累積對主拱圈成橋狀態(tài)的內力影響不可忽略。對本橋而言，施工階段對成橋狀態(tài)的內力(彎矩)影響量最大為8.8%，影響最大的位置約在1/4跨徑附近。

圖7　施工階段對k成橋狀態(tài)內力(彎矩)影響量曲線圖

從表1及圖8可以看出，按最初擬合的拱軸線在拱腳位置的壓力線偏離量較大，在迭代過程中靠近拱腳附近的拱軸線豎直坐標調整相對較大。拱圈軸線優(yōu)化后使得偏離量更小，在2號控制點位置，最大偏離量比優(yōu)化前減小了27.6%。拱軸線擬合結果如圖9所示。

圖8　拱軸線控制節(jié)點壓力線偏離量優(yōu)化前后對比圖

控制節(jié)點號x坐標(m)優(yōu)化前y坐標(m)優(yōu)化后y坐標(m)1100.0040.3540.35295.0040.2640.14390.0040.0139.78485.0039.5839.47580.0038.9838.83675.0038.2038.04770.0037.2437.03865.0036.1036.13960.0034.7634.831055.0033.2233.271150.0031.4731.541245.0029.5129.571340.0027.3227.341435.0024.9024.931530.0022.2222.261625.0019.2819.311720.0016.0516.071815.0012.5312.531910.008.708.68205.004.534.52210.000.000.00

圖9　三次樣條差值擬合結果示意圖

5　結語

本橋在考慮拱圈施工狀態(tài)轉換對成橋內力及線形有直接影響的情況下，根據工程中拱圈變寬、纜索吊裝斜拉扣掛的設計及施工特點，采用三次樣條差值函數優(yōu)化模型對內力結果進行迭代后擬合出最優(yōu)拱軸線，得到如下結論：

(1)本文提供了一種利用MATLAB編程工具進行變截面拱軸系數優(yōu)化的方法，恒載內力的計算精度滿足工程需要，與人工試算相比，數值優(yōu)化方法的效率得到了提高，而且擬合出的拱軸線對比五點重合法更加合理。

(2)本橋拱軸線形優(yōu)化過程中架設過程對成橋內力的影響最大為8.8%，影響最大的控制截面約在1/8跨徑位置，故設計時應充分考慮拱圈施工狀態(tài)轉換過程中內力和線形的變化。

(3)工程優(yōu)化后的壓力線與拱軸線吻合更好，恰當的恒載偏離彎矩可以改善控制截面的內力分布，優(yōu)化后最大偏離對比優(yōu)化前減小了27.6%。

(4)優(yōu)化后的拱軸線與壓力線正負偏離值更接近，這樣有利于控制截面上下緣對稱布筋，提高經濟效益。

[1]陳寶春.鋼管混凝土拱橋計算理論研究進展[J].土木工程學報，2003(12)：47-57.

[2]周瀟，周水興.大跨徑拱橋計算程序開發(fā)與承載力驗算方法研究[D].重慶：重慶交通大學，2008.

[3]姜旭東，張新勝，等.基于MATLAB語言的拱橋拱肋線形優(yōu)化設計[J].路基工程，2010(1)：67-68，69.

[4]楊克鑒，李鳳芹，等.大跨度上承式鋼管混凝土拱橋設計研究[J].鐵道工程學報，2008(12)：66-71.

[5]石博強，騰貴法.MATLAB數學計算范例教程[M].北京：中國鐵道出版社，2004.

[6]C.Hu，Y.Wan and X.ShangGuan.A new practice in the design of arch axis[C].Proceedings of ARCH′10-the 6～(th)International Conference on Arch Bridges，2010.

Numerical Optimization Methods of Variable-section Hingeless Arch Axis Based on MATLAB Language

ZHUO Xiao-li，LI Bao-jun

(Guangxi Transportation Research Institute，Nanning，Guangxi，530007)

With a hollow variable-sectional super-large span hingeless arch under non-support construc-tion as the background，and through MATLAB，this article analyzed the finite element internal force cal-culation results after arch ring erection considerations，and the cubic spline interpolation function optimization model was used to fit the optimum arch axis after the iteration of internal force results.During the linear optimization of arch axis，the influence of erection process on the internal forces of completed bridge is up to 8.8%，the controlling cross-section with greatest impact is at the position of about 1/8 span；the optimized arch axis can reduce the maximum pressure line deviation of node point by 27.8%，and the arch axis is much closer to the positive and negative offset values of pressure line，which can help control the symmetric rebar layout at the upper and lower edges of control sections，so as to improve economic efficiency.

Variable cross-section；Hingeless arch；MATLAB；Arch axis；Discrepancy；Numerical optimi-zation methods

2016-05-12

U448.22

A

10.13282/j.cnki.wccst.2016.06.013

1673-4874(2016)06-0047-05

卓小麗(1989—)，碩士，從事橋梁工程設計、科研、試驗檢測、技術咨詢工作;

李保軍(1982—)，碩士，工程師，從事橋梁工程設計、科研、試驗檢測、技術咨詢工作。