常文亭，李玉霞，黃　霞，張琳琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,山東 青島 266590)

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基于最優(yōu)控制的一類憶阻混沌系統(tǒng)的同步

常文亭，李玉霞，黃霞，張琳琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,山東 青島 266590)

摘要：本文基于線性二次型問題的最優(yōu)控制理論，研究了蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步問題，提出了一種實現(xiàn)蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)同步的方案。并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理證明了兩個同構(gòu)蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)達到同步的充分條件。該方法能夠?qū)崿F(xiàn)控制能量消耗和同步誤差的綜合最優(yōu)。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了文中所給方法的有效性。

關(guān)鍵詞：混沌同步；憶阻混沌系統(tǒng)；最優(yōu)控制；漸近穩(wěn)定

自Pecora和Carroll[1]提出具有劃時代意義的混沌同步以來，混沌同步在混沌保密通信、金融系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[2-6]得到了廣泛的應(yīng)用，許多新的混沌同步的方法相繼產(chǎn)生，如自適應(yīng)方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、滑模控制方法等[7-10]。近年來，由于憶阻器具有非易失性、納米尺寸及低功耗性[11-12]等優(yōu)良特性，使得憶阻混沌系統(tǒng)的同步控制方法成為一個新的熱點問題。文獻[13]提出了一類四階蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)，并研究了其復(fù)雜的非線性行為。文獻[14]通過采用脈沖控制的方法實現(xiàn)了四階蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步，提高了憶阻混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用潛力。然而，正如文獻[15]指出：對于一個實際的物理系統(tǒng)，控制器的能量總是有限的。在實現(xiàn)混沌同步的過程中，就必須要考慮系統(tǒng)的控制能量最終要能夠?qū)崿F(xiàn)控制能量消耗及同步誤差的綜合最優(yōu)[16]。因此，基于最優(yōu)控制的混沌同步方法具有更高的應(yīng)用價值。

本文對于蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步問題，考慮到控制能量的消耗，首先將性能指標(biāo)確立為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)，接著對該線性二次型問題求出其最優(yōu)解，即得到系統(tǒng)所需的最優(yōu)控制率，最后將最優(yōu)控制率耦合到憶阻混沌系統(tǒng)實現(xiàn)了混沌同步，對于同一系統(tǒng)而且在相同初始條件下，與文獻[14]脈沖同步相比，同步效果基本一致，但是本文同時實現(xiàn)了憶阻混沌系統(tǒng)的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優(yōu)。進一步的理論分析和數(shù)值仿真都證實了該方法的有效性。

圖1　四維蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)

1蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)

文獻[13]通過采用一個負(fù)電導(dǎo)-G與無源二端口光滑磁控憶阻器構(gòu)成的有源憶阻電路代替蔡氏電路中的蔡氏二極管建立了一個四維自治蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)(如圖1)。

圖1電路的動力學(xué)方程為：

(1)

式中，v1和 v2分別為電容 C1和 C2兩端的電壓，i3為流過電感 L 的電流，φ 是憶阻器的內(nèi)部磁通，且w(φ)=m1+3m2φ2，m1、m2是大于零的實常數(shù)。

(2)

2蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步

2.1蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的最優(yōu)控制率設(shè)計

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量分別用 (x1,x2,x3,x4),(y1,y2,y3,y4)來表示。驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)方程用矩陣形式表示為：

(3)

參數(shù) a，b，c，d，m1，m2均為大于零的實常數(shù)。類似地，響應(yīng)系統(tǒng)為：

(4)

其中，控制向量u=-K(y-x)，K=R-1BTP，P>0。

圖2　系統(tǒng)(2)的混沌吸引子

定義同步誤差向量e=y-x，由系統(tǒng)(9)和(10)，獲得如下的同步誤差系統(tǒng)：

(5)

因此，系統(tǒng)(3)和(4)的同步問題，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性問題，只要保證系統(tǒng)(5)的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，就可以實現(xiàn)系統(tǒng)(3)和(4)的同步。為衡量系統(tǒng)同步所消耗能量的大小，對系統(tǒng) (5) 定義性能指標(biāo)

(6)

其中 Q∈R4×4，R∈R4×4是正定對稱矩陣。下面給出主要結(jié)果。

證明：對系統(tǒng)(5)，取Lyapunov函數(shù)

V(e)=eTPe，

(7)

其中P是對稱正定矩陣。式(7)對時間t的導(dǎo)數(shù)為

將式(5)及Riccati方程代入上式中有

-eT(Q+PBR-1BTP)e+2eTP[F(y)-F(x)]=

-eT(PBR-1BTP)e+eT(-Q)e+2eTP[F(y)-F(x)]

令V1=-eT(PBR-1BTP)e，V2=eT(-Q)e+2eTP[F(y)-F(x)]，

系統(tǒng)(2)為耗散系統(tǒng)，所以其狀態(tài)軌跡是有界的，且由圖2和圖3可以明顯得觀察到。

8M4(3am2)2‖e‖2

2eTP[F(y)-F(x)]≤2‖eTP‖·‖F(xiàn)(y)-F(x)‖=

式中，λmax(P2)表示矩陣P的最大特征根。

由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理知，系統(tǒng)(5)是全局漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(3)和(4)是全局漸進穩(wěn)定的，

定理得證。

基于前面的討論，反饋增益矩陣K的算法總結(jié)如下：

(b) 選擇合適的矩陣Q和矩陣R，結(jié)合矩陣A和B，求解Riccati方程得到矩陣P。如果P>0，則

把求得的矩陣P代入計算反饋增益矩陣K。

(c) 把矩陣K代入到系統(tǒng)(4)中，即可實現(xiàn)兩個同步蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)。

2.2仿真實驗

顯然 P>0。

進而算出增益矩陣

(8)

最優(yōu)控制率為

(9)

性能指標(biāo)最小值為

(10)

實現(xiàn)了憶阻混沌系統(tǒng)的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優(yōu)。

圖3　蔡氏憶阻混沌電路驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

圖4　兩個同構(gòu)蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)的同步誤差仿真結(jié)果

由圖3和圖4可以看出，當(dāng)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)受到最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的控制后，在系統(tǒng)運行最初的幾秒內(nèi)二者即實現(xiàn)了同步，并且同步效果明顯。

3結(jié)論

本文針對文獻[13]中提出的蔡氏憶阻混沌系統(tǒng)，利用線性二次型最優(yōu)控制理論，研究了兩個同構(gòu)憶阻混沌系統(tǒng)的同步問題。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，得到了使兩個憶阻混沌系統(tǒng)同步的充分條件，并通過數(shù)值仿真驗證了系統(tǒng)的同步行為，證明了該方法的可行性。而且，該方法實現(xiàn)了憶阻混沌系統(tǒng)的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優(yōu)。該系統(tǒng)中同步方法在增強通信系統(tǒng)保密性方面有很高的實用價值。

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(責(zé)任編輯：傅游)

收稿日期：2016-01-11

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(61473177,61473178)；教育部博士點基金項目(20133718110011).

作者簡介：常文亭(1992—)，女，山東嘉祥人，碩士研究生，主要從事憶阻混沌電路的研究.E-mail：jnydcwt@163.com 李玉霞(1968—)，女，山東濱州人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事控制理論及機器人技術(shù)等方面的研究，本文通信作者.E-mail：yuxiali2004@126.com

中圖分類號：N941.7

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)04-0093-06

Synchronization of Chua’s-Circuit-Based Memristive Chaotic Systems Based on Optimal Control

CHANG Wenting,LI Yuxia,HUANG Xia,ZHANG Linlin

(College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

Abstract:This paper studies the synchronization of two identical Chua’s-circuit-based memristive chaotic systems based on linear quadratic optimal control.A scheme is proposed to synchronize the two chaotic systems.The Lyapunov stability theorem was adopted to prove the sufficient conditions for the synchronization of the two systems.With this method,the optimization on both energy consumption and synchronization error could be realized synthetically.Finally,the simulation results testified the effectiveness of the proposed method.

Key words:Chaos synchronization;memristive chaotic systems;optimal control;asymptotically stable