紀(jì)彥星　潘江懷

(1.91404部隊　秦皇島　066000)(2.江蘇自動化研究所　連云港　222006)

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基于Tikhonov正則化的多站測時差定位方法*

紀(jì)彥星潘江懷

(1.91404部隊秦皇島066000)(2.江蘇自動化研究所連云港222006)

摘要論文針對多站測時差定位中，由于傳感器布局不合理等因素所引起的定位估計結(jié)果不穩(wěn)定、發(fā)散甚至無效的情況，提出了一種基于Tikhonov正則化的穩(wěn)健定位方法，該方法對各站的布局要求不高，能有效兼顧定位參數(shù)估計的分辨率和方差，實現(xiàn)了對觀測方程中隨機(jī)觀測噪聲的有效抑制，具有較好的工程應(yīng)用價值，數(shù)值模擬結(jié)果表明，定位結(jié)果相比傳統(tǒng)算法精度和穩(wěn)定性更高。

關(guān)鍵詞測時差； 無源定位； Tikhonov正則化； 穩(wěn)健估計； 定位方法

Class NumberTN911.7

1　引言

多站時差(Time Difference of Arrive，TDOA)定位法是一種定位精度較高的無源定位方法，它是運用輻射源信號到達(dá)不同測量站的時間差進(jìn)行對目標(biāo)定位的，時差定位又稱雙曲線定位，由一個主站和多個輔站組成，每個站獨立測量輻射源信號的到達(dá)時間，輔站將其測得的時間信息傳給主站，由主站計算信號到達(dá)兩個測量站的時差信息，每兩個站的時差就確定了一對以此兩站為焦點的雙曲線，多個雙曲線相交就確定了目標(biāo)的空間位置。多站時差定位法由于其定位精度高、隱蔽性高在電子情報支援系統(tǒng)中獲得了廣泛應(yīng)用[1～4]，同時也是民用蜂窩系統(tǒng)終端定位的主要算法[5]。

目前，國內(nèi)外許多學(xué)者對多站時差定位進(jìn)行了較多研究，獲得了一些研究成果[6～11]，但是已有的多站時差定位算法缺點在于，當(dāng)傳感器布局不合理時，由于觀測數(shù)方程可觀測性較低，目標(biāo)定位方程矩陣的病態(tài)性比較嚴(yán)重，其引起的估計結(jié)果不穩(wěn)定、發(fā)散甚至無效，其本質(zhì)是一種病態(tài)的不適定問題。正則化方法是求解不適定問題的普遍方法，其采用與原不適定問題相“近鄰”的適定問題的解去逼近原問題的解，能有效解決病態(tài)性所引起的估計不穩(wěn)定，鑒于此，本文提出了一種基于Tikhonov正則化的穩(wěn)健定位方法，該方法對各站的布局要求不高，能有效兼顧定位參數(shù)估計的分辨率和方差，實現(xiàn)了對觀測方程中隨機(jī)觀測噪聲的有效抑制，確保了定位估計的精度和穩(wěn)定性，并通過仿真實例進(jìn)行了驗證。

2　多站測時差定位算法

多站時差定位要確定輻射源在三維空間中的位置，需要有三條基線形成的三對雙曲面。這就要求要有至少四個觀測站同步完成目標(biāo)信號到達(dá)時間差的測量。對于目標(biāo)輻射的信號，到達(dá)四個站可得到三個相對時延差值，一般來說都定義一個主接收站，與其中一個副接收站測出時延差值，再以主接收站和副接收站的兩個站連線作為軸線可得一個旋轉(zhuǎn)雙曲面，兩個旋轉(zhuǎn)雙曲面相交得到一條交線，此交線再和第三個雙曲面相交，得到一個定位交點，此交點即為目標(biāo)的位置。定位示意圖如圖1所示。

圖1　三維空間時差定位示意圖

假設(shè)觀測站s0為參考站，即相對于觀測站si，當(dāng)i=0時表示主站，i=1，…，n表示副站，用ri(i=0，1，…，n)表示目標(biāo)到第i個站的空間距離，而(i=0，1，…，n)表示目標(biāo)到副站與主站之間距離差，因此可以有如下距離差方程：

(1)

Δri=ri-r0=c·Δti；i=1，2，…，n

其中：r0表示目標(biāo)到主站的距離，ri表示目標(biāo)到輔站的距離，假定目標(biāo)的位置為(x，y，z)，(x0，y0，z0)為主站傳感器在地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)，(xi，yi，zi)為第i個傳感器在地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)，Δri表示輻射源到主站與其到輔站之間的距離差，Δti表示輻射源信號到主站與其到輔站之間的時差，c是信號傳播的速度。

對上述方程組進(jìn)行展開化簡可得：

(x0-xi)x+(y0-yi)y+(z0-zi)z=ki+r0Δri

(2)

AX=Z

(3)

則式(3)的最小二乘解為

(4)

定義目標(biāo)定位參數(shù)X的信息矩陣為

J=ATA

(5)

3　目標(biāo)定位參數(shù)估計的病態(tài)分析

最小二乘算法求解目標(biāo)定位的條件是信息矩陣J可逆，即A列滿秩。當(dāng)A的列線性相關(guān)或弱相關(guān)時，方程求解是病態(tài)的。

1) 常見的病態(tài)場景

當(dāng)各副站相距較近時，各副站與主站的位置差近似相等，即有(x0-x1,y0-y1,z0-z1)≈(x0-xi,y0-yi,z0-zi)，會導(dǎo)致矩陣A的列向量具有相關(guān)性，從而使得信息矩陣J存在病態(tài)。

2) 病態(tài)性的評估

一般地，通過條件數(shù)對方程病態(tài)性進(jìn)行評估。對于式(4)，小擾動引起的估計相對系統(tǒng)誤差有如下關(guān)系：

(6)

當(dāng)A非奇異時，A條件數(shù)定義如下：

(7)

可見，系數(shù)矩陣A的特征值越分散，cond{A}越大，目標(biāo)定位X的相對誤差越大。因此，為降低解向量的相對誤差主要應(yīng)考慮縮小cond{A}。

4　基于Tikhonov正則化的定位估計方法

式(3)的LS估計結(jié)果式(4)是最優(yōu)線性無偏估計，具有方差最小的性質(zhì)，但在參數(shù)估計存在病態(tài)性的情況下式(4)的估計質(zhì)量變差，甚至結(jié)果不可靠，較大的方差使得式(4)成為事實上的有偏估計。當(dāng)出現(xiàn)觀測方程病態(tài)時，可通過正則化的思想對秩虧參數(shù)估計模型附加約束條件——全部或部分參數(shù)加權(quán)平方和極小可得最小范數(shù)解，即增加約束，補(bǔ)充先驗信息，將病態(tài)問題轉(zhuǎn)化為可穩(wěn)健估計問題，使解穩(wěn)定。

對于式(3)估計問題，可增加其相應(yīng)的正則化估計準(zhǔn)則為

(8)

(9)

(10)

雖然上述兩種方法得到改進(jìn)的參數(shù)估計模型不同，但其參數(shù)估計模型以及幾何意義的表達(dá)均具有統(tǒng)一性。

正則化法中求解泛函極小值的問題可看作為下列兩種橢球約束條件下的最小二乘問題：

5　仿真驗證

仿真條件：設(shè)主站位置為(0，0，0.1)，三個輔站的位置分別為(20，20，0)、(-20，25，0)、(15，20，0)，單位均為km。測時誤差為30ns，布站誤差為10m，測時誤差之間的相關(guān)系數(shù)為0.5，目標(biāo)高度為10km。在x：-100km～100km，y：-100km～100km的區(qū)域內(nèi)仿真驗證。

對比圖2和圖3的GDOP網(wǎng)格圖可以看出改進(jìn)算法的定位精度明顯比原始算法的精度大幅提高；對比圖4和圖5的GDOP等高線圖也可以看出改進(jìn)算法的定位精度明顯比原始算法的精度大幅提高，很好地解決了多站時差定位問題；圖6為改進(jìn)算法提高的GDOP等高線圖。通過與傳統(tǒng)算法比較可以看出，改進(jìn)的算法無論精度在時差定位可觀測行較差的區(qū)域(如與三站接近共線的區(qū)域)效果提高的更為明顯。

圖2　傳統(tǒng)算法定位的GDOP網(wǎng)格圖

圖3　本文算法定位的GDOP網(wǎng)格圖

圖4　傳統(tǒng)算法定位的GDOP等高線

圖5　本文算法定位的GDOP等高線

圖6　本文算法所提高定位的GDOP等高線

6　結(jié)語

本文針對多站測時差定位中，由于傳感器布局不合理等因素引起的定位方程矩陣病態(tài)性所引起的定位估計結(jié)果不穩(wěn)定、發(fā)散甚至無效的情況，提出了一種基于Tikhonov正則化的穩(wěn)健定位方法，該方法對各站的布局要求不高，能有效兼顧定位參數(shù)估計的分辨率和方差，實現(xiàn)了對觀測方程中隨機(jī)觀測噪聲的有效抑制，具有較好的工程應(yīng)用價值。

參 考 文 獻(xiàn)

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*收稿日期：2015年10月7日,修回日期：2015年11月26日

作者簡介：紀(jì)彥星，男，高級工程師，研究方向：水面艦艇作戰(zhàn)系統(tǒng)試驗。潘江懷，男，高級工程師，研究方向：空間配準(zhǔn)、最優(yōu)估計。

中圖分類號TN911.7

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.04.015

Multi-station TDOA Localization Algorithm Based on Tikhonov Regularization

JI YanxingPAN Huaijiang

(1.No.91404 Troops of PLA， Qinhuangdao066000)(2.Jiangsu Automation Research Institute，Lianyungang222006)

AbstractAiming at the invalidation of localization caused by the irrationality of the sensor distribution in multi-sation, a new robust localization algorithm based on Tikhonov regularization is proposed. The new method gives attention both to the resolution and the square error of the estimation results, restrains the uncertain part while keeps the certain part of the observation noise, and guarantees the validation of new method on multi-station TDOA localization even the the sensor distribution irrationally. It has a high vallue of engineering applicaton. The results of numerical simulation show that, the positioning result has higher accuracy and stability compared with traditional algorithm.

Key WordsTDOA, passive localization, Tikhonov regularization, robust estimation, localization algorithm