朱培賢（甘肅省張掖市第二中學(xué)，甘肅 張掖 734000）

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解決圓錐曲線問題的三個(gè)策略

朱培賢
（甘肅省張掖市第二中學(xué)，甘肅 張掖 734000）

摘 要：本文針對(duì)高考圓錐曲線問題所涉及的題型給出三種解決策略，從化歸的數(shù)學(xué)思想出發(fā)揭示用代數(shù)方法解決幾何問題的操作程序，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法將難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算的問題。

關(guān)鍵詞：幾何關(guān)系；代數(shù)條件；轉(zhuǎn)化

一、注重對(duì)圓錐曲線概念的理解，求解圓錐曲線方程

（一）待定系數(shù)法

如果題中已經(jīng)給出方程，但基本量未知，可以根據(jù)題中給的條件聯(lián)立方程求解基本量。

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

（二）直譯法

當(dāng)我們很難判定動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合那種已知曲線定義時(shí)，可以建立點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系，先將點(diǎn)P所滿足的幾何等量關(guān)系表示出來，再利用點(diǎn)P的坐標(biāo)來將該等量關(guān)系表示出來，這樣就能夠得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，最終得到相應(yīng)的軌跡方程。

（三）參數(shù)法

當(dāng)直譯法也無(wú)法求得軌跡方程時(shí)，則可以尋找動(dòng)點(diǎn)P的某個(gè)運(yùn)動(dòng)幾何量t，將這個(gè)量作為本次解題的參變數(shù)，從而利用P點(diǎn)的坐標(biāo)X與Y來與參數(shù)t分別建立函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），最終將參化轉(zhuǎn)化為軌跡方程F（x，y）＝0。

用參數(shù)法求解的過程中，選取的參數(shù)是其中的關(guān)鍵，一般的參數(shù)選用都是具有某種物理意義或幾何意義，比如具有時(shí)間、速度、角度、距離等數(shù)量，同時(shí)也可以是直線的斜度或點(diǎn)的坐標(biāo)等。在選取參數(shù)的過程中還需注意的是參數(shù)的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響。

（四）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外一點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)而引起的，并且另外一點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是已知的，也就是說這點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的曲線方程，就可以先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，擁P點(diǎn)的坐標(biāo)來表示出P′點(diǎn)的坐標(biāo)，再將P′點(diǎn)代入到已知的曲線方程中，從而獲取P點(diǎn)的軌跡方程。

二、發(fā)掘題中所需要轉(zhuǎn)換的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系

例1中“圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥”為核心的幾何關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)代數(shù)關(guān)系：1.原點(diǎn)到該圓切線的距離等于圓的半徑，假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2.設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A（x1，y1），B （x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，令直線AB的方程為

可轉(zhuǎn)化為x1x2＋y1y2＝0，將y＝kx＋m，其代入橢圓E的方程并整理得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由方程根與系數(shù)的關(guān)系得。因?yàn)椤停?/p>

x1x2＋y1y2＝0，從而可得（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，即。通過以上兩個(gè)轉(zhuǎn)化可以得到，所以存在圓滿足題意。

能否實(shí)現(xiàn)幾何條件向代數(shù)條件的靈活轉(zhuǎn)化是突破圓錐曲線難點(diǎn)的關(guān)鍵，下面總結(jié)了一些幾何條件向代數(shù)條件轉(zhuǎn)化的辦法。1.“中點(diǎn)弦問題”可以轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)差法”；2.“直線與曲線相切”可轉(zhuǎn)化為△=0；3.“三角形面積”可轉(zhuǎn)化為“d”或者“分割三角形求解”；4.“等邊三角形”可轉(zhuǎn)化為“d=|AB |”；5“.·=0或⊥”轉(zhuǎn)化為“x1x2＋ y1y2=0”；6“.=λ+”轉(zhuǎn)化為“橫、縱坐標(biāo)相等”；7“.菱形”轉(zhuǎn)化為“S=|BD ||AC |”；8“.角平分線”轉(zhuǎn)化為“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等d1=d2”；9.“X軸平分角”轉(zhuǎn)化為“斜率互為相反數(shù)”；10.“”轉(zhuǎn)化為“”；11“.）”轉(zhuǎn)化為“AD是△ABC中BC邊的中線”。

三、注重運(yùn)算技巧，事半功倍

重視提煉歸納數(shù)學(xué)思想于數(shù)學(xué)方法，從而簡(jiǎn)化解題過程優(yōu)化解題思維。

（一）用好函數(shù)思想方法

一般圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)，可以利用變化過程中的相互聯(lián)系與相互制約的量，讓一些線長(zhǎng)與a、b、c、e之間形成相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，再通過函數(shù)思想來處理這些問題就會(huì)變得更加有效，在解答問題時(shí)可以充分利用“數(shù)形結(jié)合”的思想、弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理去求解，從而充分強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)能力的利用。

（二）掌握坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是解答圓錐曲線問題的基本方法。近幾年的考試過程中，基本都對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行了考查，因此強(qiáng)化坐標(biāo)法的訓(xùn)練非常重要。解析幾何的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，因此轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在解決圓錐曲線問題時(shí)至關(guān)重要，同時(shí)，計(jì)算速度和準(zhǔn)確性對(duì)圓錐曲線問題的解決也不容忽視，所以日常學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)練習(xí)，不斷積累，爭(zhēng)取做到對(duì)圓錐曲線問題有的放矢。

參考文獻(xiàn)：

［1］王道金.例談平面幾何方法在解決圓錐曲線問題中的輔助功能［J］.數(shù)學(xué)通訊，2015（4）.

［2］韓曉剛.“點(diǎn)差法”解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題［J］.學(xué)周刊，2011 （4）.

［責(zé)任編輯 趙建榮］

Three Strategies to Solve the Problem of Conic

ZHU Pei-xian
（Zhangye No. 2 Middle School，Zhangye Gansu，734000，China）

Abstract:In this paper，according to conic problem involved in the university entrance exam，three resolution strategies are given. The geometric problem could be solved through algebraic method，and students can learn to transform difficulty into easy calculation by flexibly using equivalence conversion method.

key words:geometric relationship；algebraic conditions；conversion

中圖分類號(hào)：G63

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-9132（2016）19-0090-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.19.057