鄒冬林 荀振宇 饒柱石 塔娜

摘要： 考慮Von Karman非線性位移應(yīng)變關(guān)系，利用Hamilton原理建立了軸系縱橫耦合下的動力學(xué)模型。利用Galerkin法對偏微分方程進(jìn)行離散，采用多尺度法求解了離散方程。研究了縱向主共振并伴隨內(nèi)共振（由縱向第一階固有頻率近似等于橫向第一階正進(jìn)動與反進(jìn)動頻率之和而產(chǎn)生）聯(lián)合激勵時軸系的動力學(xué)響應(yīng)。研究表明隨著系統(tǒng)參數(shù)以及激勵載荷的不同，軸系出現(xiàn)不同的動力學(xué)特性。當(dāng)激勵載荷小于一臨界值時，縱向激勵力只能激起縱向振動，系統(tǒng)響應(yīng)與線性系統(tǒng)一樣；當(dāng)載荷超過臨界值時，縱向激勵力同時激起了軸系的橫向正進(jìn)動與反進(jìn)動頻率，此時縱向振動出現(xiàn)能量飽和現(xiàn)象，能量從縱向滲透到橫向。能量在正反進(jìn)動模態(tài)間的分配與其正反進(jìn)動頻率成反比，從而使反進(jìn)動幅值大于正進(jìn)動幅值。同時響應(yīng)中也出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。數(shù)值分析結(jié)果與攝動分析結(jié)果一致。關(guān)鍵詞： 非線性振動； 軸系縱橫耦合； 多尺度法； 主共振； 內(nèi)共振

中圖分類號： O322；TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2016）03-0511-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.018

引言

旋轉(zhuǎn)軸系作為動力傳遞部件被廣泛應(yīng)用于工程機(jī)械中。例如船舶推進(jìn)軸系，飛機(jī)發(fā)動機(jī)軸系以及汽輪機(jī)軸系等。軸系運(yùn)轉(zhuǎn)時不可避免地產(chǎn)生振動，從而降低機(jī)器的工作效率，嚴(yán)重時會使軸系斷裂，造成事故。因此對軸系進(jìn)行動力學(xué)分析并從本質(zhì)上探討振動的機(jī)理對于軸系設(shè)計(jì)初期是必要的。軸系的振動分為三種形式：彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動以及縱向振動。早期對軸系的研究都是對這三種振動單獨(dú)分析，這樣處理有利于模型的簡化。然而對一些處于復(fù)雜工況的軸系，各種運(yùn)動之間有相當(dāng)強(qiáng)的耦合，分開處理不能揭示工程中的一些現(xiàn)象，比如多頻振動，組合共振，自激振動，分岔等。近年來，針對齒輪軸系或汽輪機(jī)軸系等的彎扭耦合振動的研究文獻(xiàn)很多，取得了豐碩的成果[12]。但是針對軸系彎縱耦合振動的研究文獻(xiàn)還相當(dāng)少，主要原因是這兩種振動之間的耦合在工程中不常見。而對于大跨度軸系（例如船舶推進(jìn)軸系與汽輪機(jī)軸系，一般長度為十幾米）或細(xì)長軸系，由于細(xì)長比很小（細(xì)長比指軸系截面回轉(zhuǎn)半徑與軸系長度之比），當(dāng)激勵力較大時，容易引起軸系較大振動。此時縱橫振動幅值很大，進(jìn)而縱、橫向變形引起的彈性耦合作用也相當(dāng)嚴(yán)重，從而引起軸系異常振動，所以研究軸系縱橫耦合非線性振動有重要的意義。

對于軸系縱橫耦合的研究，國內(nèi)所見文獻(xiàn)幾乎沒有。有學(xué)者針對平面的梁結(jié)構(gòu)縱橫耦合振動做了很多研究。夏品奇[3]利用增量諧波平衡法研究了彎縱耦合梁的諧波響應(yīng)。胡義等[4]利用有限元法研究了梁縱橫耦合振動。易壯鵬等[5]研究了縱向模態(tài)與橫向模態(tài)間產(chǎn)生內(nèi)共振時梁的動力學(xué)響應(yīng)。陳立群[6]也利用多尺度法研究了軸向速度波動下軸向黏彈性梁的非線性振動。馮志華與胡海巖研究了受軸向基礎(chǔ)激勵懸臂梁的非線性振動[7]；同時研究了直線運(yùn)動梁在內(nèi)共振條件下的動力穩(wěn)定性[8]。國外對梁的縱橫耦合也有相當(dāng)多的研究。Emam[9]研究了屈曲梁在1∶1以及3∶1內(nèi)共振狀態(tài)下的響應(yīng)。

上述研究均是針對平面的梁結(jié)構(gòu)，而軸系旋轉(zhuǎn)時屬于三維振動，同時由于陀螺效應(yīng)的影響，橫向固有頻率呈現(xiàn)出正進(jìn)動與反進(jìn)動頻率，表現(xiàn)出與平面梁不一樣的動力學(xué)特性。近十年來，國外對軸系縱橫耦合非線性動力學(xué)進(jìn)行了大量研究。Khadem與Hossein研究了縱橫耦合作用下可伸長與不可伸長軸系的自由振動響應(yīng)[1011]；文獻(xiàn)[1215]研究了不可伸長軸系的主共振響應(yīng)以及可伸長軸系的主共振與參數(shù)共振及聯(lián)合共振響應(yīng)；文獻(xiàn)[1618]研究了不可伸長軸系兩階模態(tài)間的聯(lián)合共振以及分叉與穩(wěn)定性問題。Ishida團(tuán)隊(duì)也做了類似的工作[1921]。在他們的研究中盡管在建立運(yùn)動模型時考慮了縱向與橫向的影響，但是在最終求解時均假設(shè)縱向慣性可以忽略從而導(dǎo)致縱向位移是橫向位移的高階小量，即u=o（w2），進(jìn)而將縱向位移描述成橫向位移的函數(shù)表達(dá)式，最終將縱橫耦合非線性方程化簡為只包含橫向運(yùn)動的非線性方程。由于他們研究的對象都是邊界條件簡單的簡支軸系，縱向固有頻率遠(yuǎn)高于橫向固有頻率，因此這種簡化是合理的。Nayfeh[22]指出當(dāng)縱向固有頻率與橫向固有頻率相差不大時，縱向慣性不能忽略，縱向位移與橫向位移應(yīng)是同階小量，即u=o（w）。對于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中某些具有復(fù)雜邊界條件的軸系，如船舶推進(jìn)軸系，由于螺旋槳集中質(zhì)量以及推力軸承的影響，縱向慣性效應(yīng)很顯著，將其直接忽略會帶來誤差。

綜上所述，本文針對具有復(fù)雜邊界條件的軸系結(jié)構(gòu)，假設(shè)縱向位移與橫向位移為同階小量，建立其縱橫耦合下的非線性動力學(xué)方程。研究在縱向主共振激勵下并伴隨縱向與橫向間內(nèi)共振時軸系的非線性動力學(xué)響應(yīng)。