劉小林 扈羅全
摘 要:為能夠?qū)﹄娏ο到y(tǒng)中諧波與間諧波信號進(jìn)行精確的檢測,提出一種基于最小二乘法的諧波與間諧波檢測方法。首先從數(shù)學(xué)理論和工程應(yīng)用論證該方法在諧波與間諧波檢測中的可行性。該方法用最小二乘法對被測信號進(jìn)行函數(shù)擬合,通過擬合函數(shù)的系數(shù)實現(xiàn)諧波與間諧波的檢測。通過對實際應(yīng)用中典型信號的Matlab仿真表明,該方法能夠準(zhǔn)確檢測諧波與間諧波分量的頻率、幅值和相位角,且計算量較小。通過對標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7中兩種典型情況的分析表明,該方法能夠為需要精確測量諧波與間諧波分量的場合以及未來IEC 61000-4-7的修訂提供一種可選擇的方法。
關(guān)鍵詞:電力系統(tǒng);諧波檢測;間諧波檢測;最小二乘法;條件數(shù);曲線擬合
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1674-5124(2016)09-0031-05
0 引 言
近年來,隨著各種非線性電力電子設(shè)備在電力系統(tǒng)中的廣泛使用(如各種整流設(shè)備、交直流換流設(shè)備、電弧爐、可控硅整流設(shè)備、電子調(diào)速設(shè)備等),使大量的諧波間諧波電流注入電網(wǎng),造成電網(wǎng)電壓畸變,供電質(zhì)量下降,嚴(yán)重危害供電設(shè)備、用電設(shè)備以及人的生命財產(chǎn)安全[1-2]。為使電網(wǎng)能夠安全運(yùn)行,將諧波間諧波控制在安全的范圍內(nèi),必須對電網(wǎng)中的諧波間諧波進(jìn)行治理。
治理諧波間諧波的關(guān)鍵是對其進(jìn)行準(zhǔn)確有效的分析。從國內(nèi)外的現(xiàn)狀來看,目前主要的諧波間諧波的分析方法有:基于快速傅里葉變換(FFT)的方法[3-4]、基于小波的分析方法[5-6]、基于瞬時無功功率理論的檢測方法[7]與基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分析檢測方法[8]等。算法是一種全局的變換方法,能精確地檢測整數(shù)次諧波,但不能檢測非整數(shù)次諧波,而且伴有頻譜泄漏和柵欄現(xiàn)象,雖然出現(xiàn)了許多改進(jìn)算法如插值、加窗等,但仍有許多不足;小波分析方法是時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法,其對信號分析具有自適應(yīng)性,不僅適合于穩(wěn)態(tài)信號,也適合于時變信號的分析。但目前幾乎所有的小波函數(shù)在信號分析中都存在小波混疊和能量泄漏現(xiàn)象,使得其在諧波間諧波檢測中存在精度低、魯棒性差、分辨率低等問題;基于瞬時無功功率的檢測方法無法實現(xiàn)對間諧波的檢測且計算量大;基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的檢測方法存在計算量大、實時性不強(qiáng)的缺點且應(yīng)用于諧波間諧波問題的處理尚處在起步階段。結(jié)合上述討論與目前的研究現(xiàn)狀,提出基于最小二乘法的諧波與間諧波的檢測。
本文首先介紹最小二乘法原理;然后提出基于最小二乘法的諧波間諧波檢測算法,并通過結(jié)合數(shù)學(xué)理論與工程應(yīng)用論證了該方法的可行性;最后通過對典型信號進(jìn)行仿真,驗證該方法的有效性。
3 檢測算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
基于最小二乘法的曲線擬合進(jìn)行諧波間諧波成分分析時,其系數(shù)矩陣G是必須考慮的重要因素。用最小二乘法擬合曲線時,系數(shù)矩陣通常是病態(tài)的。病態(tài)系數(shù)矩陣若有微小擾動,其解向量將產(chǎn)生巨大變化。病態(tài)系數(shù)矩陣對擬合曲線產(chǎn)生很大的誤差,使得基于最小二乘法的曲線擬合分析問題常不能得到正確的結(jié)果。在諧波間諧波的分析中,電磁環(huán)境中的擾動是不可避免的。在使用最小二乘法進(jìn)行諧波間諧波分析時應(yīng)確保其系數(shù)矩陣是非病態(tài)矩陣(即良態(tài)矩陣)。因此在用最小二乘擬合曲線對諧波間諧波分析時,對系數(shù)矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)分析是必要的。
在選擇非病態(tài)矩陣時,相關(guān)資料中用條件數(shù)去刻畫。當(dāng)A的條件數(shù)cond(A)ν相對地大時,矩陣是病態(tài)的;當(dāng)A的條件數(shù)cond(A)ν相對地小時,矩陣是良態(tài)的。且對于任何非奇異矩陣A都有cond(A)ν≥1[9]。
由以上被測信號模型以及函數(shù)族{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx}在區(qū)間[0,2π]上正交。由文獻(xiàn)[9]可知,在滿足采樣定理的條件下選擇數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時,在一定精度下,經(jīng)計算可得其系數(shù)矩陣是對角陣,且其條件數(shù)cond(G)ν為1,可判斷其系數(shù)矩陣為良態(tài)矩陣。因此用最小二乘曲線擬合可對諧波間諧波進(jìn)行有效分析。同時,在滿足采樣定理的條件下選擇數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時,所得到的對角陣形式的系數(shù)矩陣,滿足工程應(yīng)用。在工程應(yīng)用中,逆矩陣的求解是一個很復(fù)雜的過程。特別是當(dāng)矩陣的階數(shù)比較大時,在許多實時處理的場合,逆矩陣的求解已成為工程應(yīng)用中急需解決的棘手難題。對角形式的系數(shù)矩陣的求逆是一個很簡單的過程,只需將對角線上的元素求逆即可,這大大簡化了逆矩陣的求解過程。通過理論和工程應(yīng)用分析,最小二乘法曲線擬合可應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波間諧波成分分析。
提高最小二乘法擬合函數(shù)中的頻率分辨率可以滿足一定精度電力系統(tǒng)諧波間諧波成分的測量。
4 檢測方法的仿真與分析
本文仿真基于Matlab平臺。通常在諧波發(fā)射測量過程中,3次諧波值對于評估諧波電流發(fā)射特性具有很好的代表性[12]。基于此,在驗證方法有效性的基礎(chǔ)上,本文選用含有3次、5次諧波及間諧波的典型信號進(jìn)行仿真,即選用諧波間諧波頻率檢測范圍為1~300 Hz,在實際應(yīng)用中可根據(jù)需要提高采樣頻率與擴(kuò)大頻率檢測范圍來擴(kuò)大諧波間諧波分量頻率測量范圍。為說明方法在實際應(yīng)用中的價值,在對大量信號進(jìn)行測試的基礎(chǔ)上,選用信號部分來源于IEC 61000-4-7[4](在不影響驗證方法有效性的基礎(chǔ)上,對選用信號的頻率、幅值或相角進(jìn)行了修改),部分來源于相關(guān)文獻(xiàn)。
4.1 標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7中不含突變典型信號諧波間諧波的檢測
仿真信號實例y(t)來源于國際標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7[4],該信號為一個均方根值保持為23 V、頻率f3為178 Hz的通信信號疊加在系統(tǒng)中已存在頻率f1、 f2分別為150,250 Hz的3次和5次諧波(幅值均為11.5 V)之上的疊加信號,它們的初相角均為0°,如圖1所示。其表達(dá)式為
y(t)=11.5×■(sin(2πf1t)+sin(2πf2t))+
23■sin(2πf3t)(11)
其中,150 Hz與250 Hz分別為3次、5次高倍諧波分量;187 Hz為非線性元件產(chǎn)生的非整數(shù)次諧波分量即間諧波分量。
設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz,采樣點數(shù)為1 000,時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1~300 Hz,頻率分辨率為1 Hz(即式(7)中的ω=2π)。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應(yīng)用最小二乘法擬合曲線對信號進(jìn)行分析,得到其幅值相位表見表1。
由表可以看出在不含突變信號諧波間諧波的檢測中,該方法可以精確地檢測出諧波間諧波的頻率、幅值、相位角。
4.2 標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7中含突變典型信號諧波間諧波的檢測
仿真信號來源于國際標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7[4],為說明方法的有效性,對其進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?。該信號為初相角?0°,有效值為3.54 V,頻率為150 Hz的3次諧波信號與在20個基波周期后出現(xiàn)的脈沖寬度為0.01 s的單位矩形脈沖信號的疊加信號。其時域波形如圖2所示。
設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz,采樣點數(shù)為1 000,時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1~200 Hz,頻率分辨率為1 Hz(即式(7)中的ω=2π)。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應(yīng)用最小二乘法擬合曲線法對信號進(jìn)行分析,得到其幅值相位表見表2。
由表可以看出,在含突變信號的諧波間諧波的檢測中,該方法可以準(zhǔn)確檢測出頻率,對于幅值和相位角的檢測存在很小的誤差。由傅里葉變換理論可知,對于單位沖激信號其頻譜等于常數(shù),也就是說,在整個頻率范圍內(nèi)頻譜函數(shù)是均勻分布的。對于矩形脈沖信號、其頻譜以Sa(■)的規(guī)律變化(其中τ為脈沖寬度),分布在無限的頻率范圍上。結(jié)合最小二乘法原理可知,在諧波間諧波的檢測中會存在較小的誤差。
4.3 實際應(yīng)用中典型信號的檢測
仿真信號實例x(t)來源于文獻(xiàn)[13],其表達(dá)式為
x(t)=15×■sin(2πf1t+θ1)+9.8×■sin(2πf2t+θ2)+
12×■sin(2πf3t+θ3)(12)
其中f1、 f2、 f3的頻率依次為250、287、300 Hz,初相角θ1、θ2、θ3依次為0°、90°、0°。
在該文獻(xiàn)中,利用國標(biāo)GB/T 17626.7——2008[3]與標(biāo)準(zhǔn)IEC 61000-4-7[4]介紹的方法,測量誤差會超出國家標(biāo)準(zhǔn)要求的不大于5%的允許范圍,不能得到準(zhǔn)確的測量結(jié)果,方法失效。
利用本文介紹的方法,設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz,采樣點數(shù)為1 000,時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1~400 Hz,頻率分辨率為1 Hz(即式(7)中的ω=2π)。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應(yīng)用最小二乘法擬合曲線法對信號進(jìn)行分析,得到其幅值相位表見表3。
由表可以看出該方法可以精確地檢測出諧波與間諧波的頻率、幅值、相位角。
通過對該方法的數(shù)學(xué)理論和工程應(yīng)用的論證,以及由上述典型信號的仿真可以看出,在滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時,對于需要較精確測量諧波間諧波頻率、幅值、相位角的場合,該方法具有明顯的實用價值。需要說明的是:在應(yīng)用該方法時,對數(shù)據(jù)區(qū)間的長度提出了一定的限制要求,要求的數(shù)據(jù)窗口的長度較長,這是該方法在處理高精度要求的工程問題時一個瑕疵。關(guān)于在較短的時間窗進(jìn)行處理將是今后的研究方向之一。
5 結(jié)束語
本文提出了一種諧波間諧波的檢測方法:用最小平方三角逼近多項式逼近被測信號進(jìn)行諧波間諧波的檢測。在滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時,通過利用函數(shù)族{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx}在區(qū)間[0,2π]上的正交性,理論上論證了該方法的有效性。仿真實驗表明,在滿足理論要求的條件下,實際應(yīng)用中該方法可以準(zhǔn)確地檢測出諧波間諧波的頻率、幅值、相位角。與其他文獻(xiàn)介紹的方法相比,該方法在求解精度上具有明顯的優(yōu)勢。
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(編輯:劉楊)