李苗在

摘 要：金融市場數(shù)學(xué)模型就是將所研究的對象數(shù)量化，然后根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的理論知識(shí)分析現(xiàn)代金融市場中金融資產(chǎn)和其衍生產(chǎn)品的價(jià)格，進(jìn)行投資等金融決策.金融投資市場中的數(shù)學(xué)建模也簡稱為經(jīng)濟(jì)中的模型，現(xiàn)在已經(jīng)成為金融分析的重要流行趨勢.其最重要的突破便是在金融經(jīng)濟(jì)市場體制下建立了資本資產(chǎn)定價(jià)模型和證券組合投資模型，后者對于現(xiàn)代金融市場更加重要.

關(guān)鍵詞：模型 金融投益 風(fēng)險(xiǎn)

一、引言

經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬柯威茨認(rèn)為投資組合是一個(gè)各種資產(chǎn)的，并且每項(xiàng)資產(chǎn)相聯(lián)系的平均收益和受益方差都在這個(gè)集合之中.運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)和方法闡述現(xiàn)代社會(huì)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象就是現(xiàn)代金融市場中的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用，也可以理解為是對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)過程中各種客觀存在的變量之間的相互依存關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，其目的為研究人們的經(jīng)濟(jì)行為，并根據(jù)模型相關(guān)知識(shí)來指導(dǎo)人們做出最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)行為.

二、金融投資組合的數(shù)學(xué)模型

1.金融問題的提出。若在金融市場上存在n種資產(chǎn)Si提供給投資者進(jìn)行投資選擇，且在某一時(shí)期購買資產(chǎn)Si的平均收益率為ri，投資風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi，交易費(fèi)費(fèi)率為pi均為已知條件，假設(shè)當(dāng)投資者購買該資產(chǎn)不超過給定值ui時(shí)，則交易費(fèi)就按購買資產(chǎn)ui算.而且已經(jīng)知道在同一時(shí)期內(nèi)銀行的存款利率為r0，不存在交易費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn).從而提出以下問題：在投資資產(chǎn)和銀行存款中如何進(jìn)行合理選擇，使得在獲得高額收益的同時(shí)降低投資風(fēng)險(xiǎn)的成本.在本文的模型中有如下假設(shè)：所投資的資產(chǎn)收益率是進(jìn)行投資的過程中利用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算出的隨機(jī)變量，其中數(shù)學(xué)期望值為投資的盈利，同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差衡量投資的最小風(fēng)險(xiǎn)；在現(xiàn)代金融市場中，投資者最開始進(jìn)行投資時(shí)，有三種決策形式：第一種是投入銀行獲取銀行利息，第二種是投資金融資產(chǎn)獲取收益，第三種就是簡單的當(dāng)做資金；模型中總體風(fēng)險(xiǎn)指的是投資者投資資產(chǎn)Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量；xi表示投資者投資資產(chǎn)Si占總體投資的比例.

2.金融投資組合的數(shù)學(xué)模型。怎樣進(jìn)行決策才能在得到高額收益的同時(shí)降低風(fēng)險(xiǎn)成本，就需要對上述建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化.下面將分三種情況對上述的金融投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的模型進(jìn)行簡單優(yōu)化。證券投資組合分析是現(xiàn)代市場機(jī)構(gòu)和個(gè)體金融投資者進(jìn)行金融投資的重要理論內(nèi)容.它分析的主要內(nèi)容為證券的收益率和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系從而構(gòu)造合理的證券組合模型和最優(yōu)的金融投資模型.從而通過對該理論的分析，為現(xiàn)代金融市場中投資者提供在一定風(fēng)險(xiǎn)條件下，得到最大預(yù)期收益的投資組合，或是在一定預(yù)期收益條件下，付出最小風(fēng)險(xiǎn)成本的證券組合。

假設(shè)金融投資者選擇n種風(fēng)險(xiǎn)不相關(guān)的資產(chǎn)，對這些資產(chǎn)進(jìn)行組合分析，設(shè)R=（r1，r2，...rn）為投資者所投資的資產(chǎn)的期望收益率向量，其中為該風(fēng)險(xiǎn)陣中的一個(gè)對角陣，該資產(chǎn)的投資比例向量為X=（x1，x2，...xn）.其中>0，因此可以知道風(fēng)險(xiǎn)陣V是一個(gè)正定陣，。

記，，，，易得出：

2.1 不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及算法。假設(shè)投資者只對不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行組合投資，其中不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益率為：

不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)為：，假設(shè)r1

2.2存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資時(shí)不相關(guān)資產(chǎn)組合投資數(shù)學(xué)優(yōu)化模型及算法。在實(shí)際投資環(huán)境中，無風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)指的是對于投資者來說存在著風(fēng)險(xiǎn)相對很小且投資收益相對穩(wěn)定的資產(chǎn)，例如短期融資券、短期財(cái)產(chǎn)抵押貸款及短期銀行儲(chǔ)蓄等.由于上述投資資產(chǎn)所受到的市場經(jīng)濟(jì)體制中的各類事物變化譬如通貨膨脹的影響較小，并且它們的投資收益相對穩(wěn)定，投資風(fēng)險(xiǎn)較小，因而可看作無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。任意在金融市場中選取1種無風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)和n種各不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)進(jìn)行有效的組合.假設(shè)此類組合投資資產(chǎn)中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資利率為rf，即無風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)的收益率為rf，因此，可假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)的收益率rf

2.3存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)貸入時(shí)不相關(guān)資產(chǎn)組合投資優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及算法。假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)貸入資產(chǎn)的利率為rg，顯然可得出rf≤rg≤rn，且無風(fēng)險(xiǎn)貸入資產(chǎn)的貸入比例為，則不相關(guān)資產(chǎn)組合優(yōu)化模型為： （2-7）

則有以下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，對無風(fēng)險(xiǎn)貸入資產(chǎn)時(shí)不相關(guān)資產(chǎn)的組合優(yōu)化模型（2-7）進(jìn)行二次規(guī)劃的最優(yōu)解唯一確定：

當(dāng)時(shí)，

求解出的最優(yōu)解為：

當(dāng)時(shí)，求解出的最優(yōu)解xk是由上式計(jì)算求得的.

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