王允，劉忠波，2，呂林

（1.大連理工大學(xué)　海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧　大連　116024；2.大連海事大學(xué)　交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧　大連　116026）

坡度、水深和波高對孤立波分裂影響作用的數(shù)值研究

王允1，劉忠波1，2，呂林1

（1.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024；
2.大連海事大學(xué)交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧大連116026）

基于有限差分法建立高階Boussinesq方程的一維數(shù)值模型，時間步進(jìn)上采用三階預(yù)報(bào)、四階校正格式。在驗(yàn)證數(shù)值模型適用性的基礎(chǔ)上研究了坡度、水深和波高對孤立波分裂位置、主峰和次峰波高大小的影響，證明了孤立波的分裂與非線性特征有關(guān)。坡度緩，非線性演化的時間長，孤立波更易分裂，但坡度變緩不會明顯增強(qiáng)波浪非線性特征，從而對主、次峰波高影響不大；入射波高大、水深淺（深水水深或淺水水深）的孤立波非線性特征更強(qiáng)，波形更尖銳，孤立波更易發(fā)生分裂，且主、次峰波高也越大。

Boussinesq方程；孤立波；坡度；水深；波高

孤立波是一種重要的海洋波動形式，如淺水區(qū)域的海嘯波即可通過孤立波進(jìn)行描述。由深水區(qū)生成的孤立波在向淺海傳播的過程中，隨著水深變淺，波浪發(fā)生淺化、折射、反射、繞射甚至破碎等復(fù)雜的物理現(xiàn)象，波形發(fā)生顯著變化，表現(xiàn)為波高的增大、波形的不對稱，甚至出現(xiàn)孤子分裂現(xiàn)象等。日本福島發(fā)生核泄漏事件的起因是類似這種強(qiáng)非線性波浪沖垮了10多m高的海堤，顯示出波浪的強(qiáng)大破壞力，因而近年來關(guān)于強(qiáng)非線性波浪與近海水工建筑物的相互作用問題引起了海岸工程師和研究人員的高度關(guān)注。為了深入了解這一特性，有必要對孤立波在淺水傳播過程中的變淺、分裂等特性進(jìn)行深入的研究。

一直以來，國內(nèi)外學(xué)者對孤立波在變化地形上淺化、分裂特性的研究，主要通過理論分析、室內(nèi)物理實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬等多種方式展開：如Seabra-Santos等（1987）通過物理模型實(shí)驗(yàn)，研究了臺階地形上的孤立波分裂及其反射波高變化；Grill等（1994）借助物理模型實(shí)驗(yàn)，研究了坡度為1∶35斜坡上孤立波破碎前的波高變化。物理模型實(shí)驗(yàn)往往受制于場地條件，成本相對較高，為了克服這一問題，伴隨計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的大幅度提高，對孤立波近岸傳播問題的深入研究進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)值模擬的長足發(fā)展：如萬德成和戴世強(qiáng)（1998）建立了基于考慮粘性作用的二維Navier-Stokes方程的數(shù)值模型，數(shù)值再現(xiàn)了孤立波在臺階地形上的傳播分裂及其反射波的演化過程，研究表明粘性對演化波和分裂波的傳播均有不同程度的影響，而對反射波的影響較??；Liu等（2001）利用基于雷諾平均的Navier-Stokes方程，模擬了孤立波穿越臺階時的分裂變形過程，結(jié)果顯示孤立子的分裂波高與相對入射波高息息相關(guān)。盡管Navier-Stokes方程具有較高的精度，但其計(jì)算效率相對較低。為了提高數(shù)值模型的計(jì)算效率，國內(nèi)外學(xué)者對高效的數(shù)學(xué)模型——基于垂向積分假設(shè)建立的不同精度的水平二維Boussinesq方程進(jìn)行了大量研究，此類方程是在色散性、非線性、變淺性等方面對Peregrine經(jīng)典Boussinesq方程在適用水深方面的進(jìn)一步拓展，如Madsen等 （1992），Nwogu（1993）、鄒志利（1997）、Madsen等（1998）、Gobbi等（1999）。當(dāng)前，大多Boussinesq數(shù)學(xué)模型在色散性精度上均可以達(dá)到kh=3的經(jīng)典深水，相關(guān)研究表明，具有較高色散精度和較好非線性特性的此類方程均可適用于較大范圍內(nèi)的波浪計(jì)算。眾所周知，孤立子反映了色散性和非線性的相互制約和相互平衡作用，大多Boussinesq方程均具有相應(yīng)的孤立子解，并且有相當(dāng)多學(xué)者就Boussinesq方程的孤立子理論解析解進(jìn)行了研究，如 Wazwaz（2007）、Luo等（2013），同時也有一些學(xué)者采用此類模型研究了孤立波在斜坡上的傳播變形如Zelt（1991），Tsung等（2012）。

以上在孤立子分裂等相關(guān)問題進(jìn)行了卓有成效的研究，然而，在水深、坡度和波高不同條件下，非線性孤立波的分裂又將呈現(xiàn)怎樣的變化，以往相關(guān)研究提供的信息還不夠全面。為了更為系統(tǒng)地研究水深、地形坡度、波高等非線性特征對孤立波分裂的影響，本文選擇一組高階Boussinesq方程，并建立了基于有限差分法的數(shù)值計(jì)算模型，開展了孤立子分裂位置、孤立子主峰和次峰波高大小等方面的研究。

1　數(shù)學(xué)模型

本文采用了鄒志利 （1997） 提出的高階Boussinesq方程，該方程的一維表達(dá)形式如下：

為了便于說明計(jì)算流程，方程（1）和（2）可寫為：

其中

自Wei和Kirby（1995）首次將混合四階的Adams-Bashforth-Moulton的時間步進(jìn)格式應(yīng)用到求解Nwogu（1993）的方程后，此預(yù)報(bào)-校正的方法在求解Boussinesq方程方面得到了廣泛應(yīng)用，因而本文也選擇這一方法對方程（3）和（4）進(jìn)行時間步進(jìn)。以連續(xù)方程為例，數(shù)值預(yù)報(bào)波面時，采用3階Adams-Bashforth的外推公式，具體表達(dá)形式如下：

進(jìn)而采用4階Adams-Moulton格式進(jìn)行校正，對應(yīng)的具體格式如下：

同樣地，也可以相應(yīng)構(gòu)建速度的數(shù)值預(yù)報(bào)和校正格式。當(dāng)預(yù)報(bào)波面和速度與校正的相對誤差均小于給定參數(shù)（0.005）時，當(dāng)前計(jì)算結(jié)束，否則更新預(yù)報(bào)值（速度和波面）后重新校正計(jì)算。

方程在空間離散上針對不同次導(dǎo)數(shù)采用不同格式，如方程（3）和（4）右端的1次和2次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均采用了5點(diǎn)4階差分精度，3階導(dǎo)數(shù)采用7點(diǎn)4階差分精度；動量方程（4）左端項(xiàng)的2次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用3點(diǎn)2階中心差分格式，有關(guān)具體空間差分格式可詳見Cobbi等（1999）或劉忠波（2006）的文獻(xiàn)。

為了有效地減少波浪反射，在左右邊界均采用了Kirby等（1998）的海綿邊界消波模式，設(shè)置2倍波長邊界消波層。

2　數(shù)值模型驗(yàn)證

盡管劉忠波（2006）利用該數(shù)值模型模擬了規(guī)則波在潛堤上的傳播變形和規(guī)則波在復(fù)雜三維地形上的傳播變形，并與相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比對，研究表明數(shù)值模型具有較好的適用性，但是該數(shù)值模型在模擬孤立波在臺階地形上能力如何，目前尚不清晰。因而本文首先模擬這一特定條件下孤立波的傳播變形，并與相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，對數(shù)值模型的可靠性進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

Seabra-Santos等（1987）針對孤立波在直角臺階地形上的分裂演化問題開展了物理模型實(shí)驗(yàn)（圖1）。其中，深水段和淺水段水深分別為h0=0.2 m和h1= 0.1 m，孤立波波高為H=0.036 5 m。計(jì)算中，坐標(biāo)原點(diǎn)位于臺階前4 m位置的初始靜水面，在臺階地形以上x=4 m、7 m、10 m、13 m處分別布置四個浪高儀g1~g4，用以測量波面過程。

圖1　孤立波在直角臺階地形上傳播的計(jì)算模型示意圖

從圖2中可見，在x=4 m處，孤立波波形無明顯變化，本文數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)資料較為符合；作為比對，也引入了Seabra-Santos等（1987）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Liu和 Cheng（2001）、Shen和 Chan （2010）采用N-S方程的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，結(jié)果表明不同數(shù)值模型均能較好地再現(xiàn)孤立波在常水深的傳播變形。在x=7 m處，受臺階水深變淺的影響，孤立波呈現(xiàn)明顯的分裂現(xiàn)象。孤立波由一個峰分裂為兩個峰，次峰波高小于主峰，同時次峰傳播速度落后于主峰；主峰波高較深水波高有所增加，伴隨非線性η/h0的增大，主峰波面壓縮變窄。值得一提的是，與其他人計(jì)算結(jié)果相比，本文計(jì)算結(jié)果在主次峰之間與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度更佳。在x=10m處，孤立波的分裂進(jìn)一步加劇，由于主峰傳播速度大于次峰傳播速度，伴隨時間的演變，次峰與主峰之間的間距進(jìn)一步增加；x=10 m的主峰波高比x=7 m有所減小，而次峰波高則有所增加，這反映出在淺水條件下，波浪能量從主峰孤立子向次峰孤立子的轉(zhuǎn)移，這一現(xiàn)象與非線性正弦波在淺水中傳播時反映出能量從低頻向高頻的轉(zhuǎn)化過程類似。同時，需要注意的是，本文計(jì)算結(jié)果與其他兩組N-S方程結(jié)果均較實(shí)驗(yàn)結(jié)果有所提前，據(jù)Liu和Cheng（2001）討論，這可能是由實(shí)驗(yàn)觀測誤差所致。在x=13 m處，孤立波的分裂過程已經(jīng)趨于穩(wěn)定，主次峰之間的最低自由表面已經(jīng)達(dá)到初始靜水位，這反映出能量由主峰孤立波向次峰孤立波傳遞的過程結(jié)束。綜合來看，本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合較為良好：在主峰處計(jì)算結(jié)果略優(yōu)于Liu和Cheng（2001）的計(jì)算結(jié)果，在次峰處，本文計(jì)算結(jié)果比Shen等（2010）、Liu等（2001）的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這反映出本文采用的Boussinesq數(shù)值模型能較好地重現(xiàn)孤立波在臺階地形上的演化過程。

圖2　孤立波在直角臺階地形上分裂計(jì)算結(jié)果對比

3　數(shù)值結(jié)果及分析

為研究不同斜坡坡度、相對水深以及相對波高（非線性特征）對孤立波分裂的影響，本文采用前文建立的數(shù)值模型，開展了數(shù)值研究。

3.1坡度的影響

圖3　數(shù)值計(jì)算示意圖

數(shù)值計(jì)算中的地形如圖3所示：深水水深h0、淺水水深h1和孤立波波高H設(shè)置為恒定值（h0= 0.2 m、h1=0.1 m、H=0.036 5 m）。造波原點(diǎn)位于x= 0，斜坡底腳起始于x=4 m位置，設(shè)置五種不同斜坡坡度，分別為1∶m=1∶5、1∶10、1∶20、1∶30和1∶40并考慮直角臺階情況（m=0），其中，m為坡度系數(shù)。

圖4給出了孤立波在不同坡度下發(fā)生初始分裂位置的波面圖。為了明確初始孤立波分裂，本文定義了“初始分裂位置”：孤立波在經(jīng)過淺水變形后，主峰后的波面在波浪傳播方向上首次出現(xiàn)拐點(diǎn)的位置，對應(yīng)的x坐標(biāo)定義為初始分裂位置，即次峰的初始形成位置。

圖4　不同坡度地形孤立波發(fā)生分裂時的波形圖

從圖4中見，隨著坡度變緩，即m值的增加，孤立波分裂時間延遲。這反映出大的孤立波要釋放出小的孤立波，需要一定的非線性淺化過程。伴隨著水深的變淺，孤立波波高呈現(xiàn)增長趨勢，同時，坡度變緩，水深變淺的趨勢也減緩，這促使孤立波有更多的時間進(jìn)行非線性演化。

圖4給出的結(jié)果只反映孤立波分裂位置距離底坡坡腳處的相對量，無法反映基于同一淺水情況（坡頂同一水深）下的相對量，為了考慮這一差別，圖5給出了初始分裂位置距離最淺水處（斜坡頂部開始出現(xiàn)的最小水深）隨坡度的變化。從圖中可以看出，坡度越緩，其爬上坡頂后能在更短的距離內(nèi)發(fā)生分裂。這表明：斜坡坡度越緩，孤立波將有足夠的時間進(jìn)行非線性演化，即非線性波高有足夠的時間來增加，當(dāng)爬上坡頂后，隨著水深達(dá)到最淺，淺水不能抑制孤立波從“基頻”向“高頻”的能量轉(zhuǎn)移，坡度較緩情況下發(fā)展充分的非線性孤立波具有更強(qiáng)的非線性特征，因而，能量更容易從主孤立波向次孤立波轉(zhuǎn)移，故更容易在爬坡以后較短的距離內(nèi)出現(xiàn)較為明顯的能量轉(zhuǎn)化現(xiàn)象，即早出現(xiàn)次孤立波現(xiàn)象。

圖5　初始分裂位置（坡頂點(diǎn)最左端）隨坡度變化

圖6　分裂穩(wěn)定后分裂波高與坡度對應(yīng)關(guān)系

由第2節(jié)數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果可知，非線性波在淺水中傳播時能量會由低頻向高頻傳播，表現(xiàn)為主峰波高減小、次峰波高增大，最終主次峰之間的最低自由液面達(dá)到初始靜水位，能量傳遞結(jié)束，定義主次峰之間自由液面最低點(diǎn)η/h0小于0.005時刻孤立波分裂穩(wěn)定。圖6為不同坡度地形下，孤立波分裂穩(wěn)定后主峰（a）與次峰（b）的波高大小。

從圖中波高大小變化趨勢可以看出，坡度緩的，主峰波高略有增大，次峰波高略有降低，這有可能是因?yàn)槠露仍骄?，孤立波在淺水中的非線性演化越充分所致，但波高變化不大，因而可認(rèn)為坡度對孤立波高大小影響不大。其中，直角臺階地形上的次峰波高較低，可能是因?yàn)榈匦芜^陡，能量損耗所致。

3.2水深影響

考慮直角臺階地形和坡度為1∶30的地形，實(shí)驗(yàn)布置及坐標(biāo)系參照圖 3。深水水深h0=0.2 m，h1/h0值分別取為 0.35、0.40、0.45、0.50，研究在直角臺階地形和斜坡地形上水深對孤立波分裂的影響。

發(fā)生分裂時的波形圖見圖7和圖8。從圖中可以看出，無論是直角臺階地形還是斜坡地形，在深水水深h0一定的情況下，淺水水深h1值越小，孤立波到達(dá)坡頂后，能在更短的距離內(nèi)發(fā)生分裂，這一點(diǎn)恰好與前文分析的原因一致。

圖7　不同水深比（淺水/深水）直角臺階地形上發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ= 1.525，1.825，2.175，2.600 m）

圖9給出了兩種地形下孤立波分裂穩(wěn)定后，主峰（a）與次峰（b）波高大小隨淺水水深變化的趨勢。淺水水深越小，孤立波主、次峰波高越大，這反映出淺水條件下，孤立波的主波峰呈現(xiàn)更強(qiáng)的非線性特征，伴隨這一現(xiàn)象，當(dāng)主波峰增加時，表現(xiàn)為波峰尖銳，波面變窄，其分裂出次波峰的能量傳遞能力更強(qiáng)，因而即使在傳遞同樣多的能量給分裂出來的次峰時，次峰伴隨淺水，比深水的尖銳性也更強(qiáng)，波面也會更窄，有關(guān)這一點(diǎn)，亦可通過前文的圖2反映出來。

圖8　不同水深比（淺水/深水）斜坡地形上發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ=0.800，1.025，1.325，1.700 m）

圖9　分裂穩(wěn)定后分裂波高與水深比（淺水/深水）對應(yīng)關(guān)系

分別取深水水深為h0=0.4 m和h0=0.6 m，仍取h1/h0值為0.35、0.40、0.45、0.50，孤立波波高滿足H=0.18 h0，實(shí)驗(yàn)布置與坐標(biāo)系參照圖1，研究水深對孤立波分裂的影響。圖10和11為直角臺階地形下孤立波分裂時的結(jié)果。將其與圖7對比后發(fā)現(xiàn)，h1/h0以及H/h0一定，h0越小，孤立波達(dá)到坡頂后，能在更短的距離內(nèi)發(fā)生分裂。這反映出淺水條件下，主峰孤立波的非線性更強(qiáng)，能量更容易向次峰轉(zhuǎn)移。

圖10　深水0.4 m，不同水深比（淺水/深水）直角臺階地形孤立波發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ=3.025，3.625，4.325，5.175 m）

圖11　深水0.6 m，不同水深比（淺水/深水）直角臺階地形孤立波發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ=4.775，5.675，6.675，7.900 m）

圖12給出了3種水深下孤立波分裂穩(wěn)定后，主峰（a）和次峰（b）波高大小隨淺水水深變化的趨勢。從圖中可看出，h1/h0以及H/h0一定，h0越大，主峰和次峰波高越小，這反映出在深水條件下，主峰孤立波的非線性不強(qiáng)，與淺水相比，其波面更寬。

考慮直角臺階地形，實(shí)驗(yàn)布置及坐標(biāo)系參照圖1。分別取深水水深為h0=0.2 m和h0=0.4 m，h1/h0值取 0.50，H/h0分別取 0.14、0.16、0.18、0.20，研究波高對孤立波分裂的影響。

發(fā)生分裂時的波形圖見圖13和圖14。從圖中可見，相對入射波高越大，深水水深越小，即孤立波的非線性特征越明顯，孤立波達(dá)到坡頂后，能在更短的距離內(nèi)發(fā)生分裂。這一特征亦與前文分析一致。

圖12　不同深水深下，分裂波高與水深比（淺水/深水）對應(yīng)關(guān)系

以上反映非線性特征對于波浪分裂的影響，這一研究與前文相對水深等同出一撤，非線性越強(qiáng)，主峰孤立波（主孤立波）的波峰越尖銳，即波浪的非線性導(dǎo)致波浪要產(chǎn)生聚集，同時過強(qiáng)的非線性會“轉(zhuǎn)移"，最終導(dǎo)致波浪的“不穩(wěn)定現(xiàn)象”，受波浪的色散性驅(qū)使，不同“頻”的波浪傳播速度不同，因而主峰（主孤立波）和次峰（次孤立波）逐漸分散開來。

圖13　深水深0.2 m，不同入射波高孤立波發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ= 2.375，2.600，2.875，3.225 m）

圖14　深水深0.4 m，不同入射波高孤立波發(fā)生分裂時的波形圖（從左圖到右圖，各波峰距左端坡頂點(diǎn)水平位移分別ζ=4.675，5.175，5.675，6.425 m）

圖15給出了兩種水深下孤立波分裂穩(wěn)定后，主峰（a）和次峰（b）波高大小隨相對入射波高變化的趨勢。從圖中可看出，相對入射波高越大，主峰和次峰波高也越大。同時證明，h1/h0以及H/h0一定，h0越大，主峰和次峰波高越小。

圖15　不同深水深下，分裂波高與相對入射波高對應(yīng)關(guān)系

4　結(jié)論

孤立波的分裂受到其非線性特征的影響。孤立波在由深水向淺水傳播過程中，非線性特征不斷增強(qiáng)，波高會顯著變大，波形變得更尖銳，隨著波浪在非線性作用下的不斷演化，淺水不能抑制能量從低頻向高頻的轉(zhuǎn)移，主峰和次峰會逐漸分散開來。通過本文研究得出如下結(jié)論：

（1）坡度會影響孤立波非線性演化的進(jìn)程，使在更緩坡度上的孤立波能量更易由低頻向高頻轉(zhuǎn)移，孤立波在淺水更容易發(fā)生分裂；但坡度變緩不會明顯增強(qiáng)波浪的非線性特征，故對分裂完成后的主孤立波和次孤立波的波高大小影響不大。

（2）淺水條件下的孤立波與深水相比非線性更強(qiáng)，故無論是深水還是淺水，水深越小，孤立波非線性越強(qiáng)，主峰孤立波的波峰越尖銳，越容易發(fā)生分裂，分裂完成后的主、次峰波高也越大。

（3）波高對孤立波非線性有影響，表現(xiàn)為波高大的，主孤立波非線性越強(qiáng)，主峰孤立波的波峰越尖銳，越容易發(fā)生分裂，分裂完成后的主、次峰波高也越大。

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（本文編輯:袁澤軼）

A numerical study of influences of slope,water depth and wave height on the solitary wave fission

WANG Yun1,LIU Zhong-bo1,2,LU Lin1
（1.State Key Laboratory of Coastal and OffshoreEngineering,Dalian University of Technology,Liaoning 116024,China 2.Transportation Equipment and Ocean Engineering College,Dalian Maritime University,Liaoning 116026,China）

Based on Boussinesq equation,a one-dimensional numerical model is established by using finite difference method and the governing equation is solved with third-order predictor and fourth-order corrector method in the time marching.The model is validated to study the influences of slope,water depth and wave height on locations of wave fission and magnitude of wave height.The results show that fission process is related to non-linear character.The fission process happens more easily at the milder slope,on which the wave non-linear character is slightly enhanced.The solitary wave with larger incoming wave height or smaller water depthwhich includes deep and shallow water depths,has stronger non-linear character and more easily splits into several waves which have larger wave height.

Boussinesq equations;solitary wave;slope;water depth;wave height

呂林，博士。電子郵箱：lulin@dlut.edu.cn。

P731.22

A

1001-6932（2016）03-0286-08

10.11840/j.issn.1001-6392.2016.03.007

2015-05-26；

2015-07-30

國家自然科學(xué)基金（51490673）；遼寧省自然科學(xué)基金（2013020075）；遼寧省教育廳一般項(xiàng)目（L2015062）。

王允 （1991-），男，碩士生，主要從事海底管線沖刷研究。電子郵箱：yun_wang@mail.dlut.edu.cn。