盧樹泉， 曹炳元

（廣州大學 數學與信息科學學院， 廣東 廣州， 510006）

含二次隸屬函數的模糊二次規(guī)劃模型求解

盧樹泉， 曹炳元

（廣州大學 數學與信息科學學院， 廣東 廣州， 510006）

基于一種新定義的可調節(jié)二次隸屬函數， 研究了一類帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃模型， 同時給出了兩種相應的求解方法—擴展的Zimmermann算法和擴展的參數規(guī)劃法。實例表明， 兩類方法均有一定的合理性和有效性。

模糊二次規(guī)劃； 二次隸屬函數； 決策； 有效性

1　二次隸屬函數的構造

在模糊集理論中， 模糊數是用隸屬函數來表示的。針對線性隸屬函數形式固定， 可調節(jié)性差的特點，構造具有二次形式的隸屬函數。

1.1構造函數

設xL為模糊數x~的期望值， 它代表決策者最想要的結果；xU 是決策者認為最大可接受的上限數值。令具有二次形式的隸屬函數為

根據隸屬函數的性質： 當

求解方程（2）、（3）， 得出具含待定參數a的二次隸屬函數

作為某個模糊數的隸屬函數， 它還應該要滿足在區(qū)間［Lx，Ux］嚴格單調下降的條件， 即或。

1.22種隸屬函數的比較

對于二次隸屬函數（4）而言： 當參數a取不同的值時， 盡管確定了二次函數的2點（Lx， 1）和（Ux， 0）， 但是函數的弧度會有很大的區(qū)別， 所以在形式上它是可調節(jié)的。a取不同的值時， 某個可調節(jié)二次隸屬函數的示意圖如圖1所示。

相對于線性隸屬函數， 當確定了 2點（Lx， 1）和（Ux， 0）后， 這條直線就隨之固定了， 其函數圖像如圖 1實線部分所示?？梢?， 線性隸屬函數是二次隸屬函數的特殊情況， 即取a=0時的情形。

圖1　a取不同值時二次隸屬函數示意圖

2　帶有二次隸屬函數的模糊二次規(guī)劃模型求解

模糊規(guī)劃是普通規(guī)劃的外延， 關于模糊線性規(guī)劃的研究已逐步走向成熟， 其中最具有代表性的解法是Zimmermann算法［11］和參數規(guī)劃法［12］。針對帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 提出了2種基于二次隸屬函數的擴展Zimmermann算法和擴展參數規(guī)劃法， 其本質是對線性方法的延伸。

2.1擴展Zimmermann算法

一般地， 帶模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題具有如下的一般形式，

或改寫成向量形式

由于約束條件的模糊性必然導致目標函數的模糊性。為求模糊目標函數在模糊約束下的最優(yōu)解， 可先將模糊目標函數化為約束條件。對應X中的一個模糊集M~， 取隸屬函數為線性隸屬函數

其中z0和z0+d0分別是嚴格遵守約束條件Ax≤b和約束條件放松至Ax≤b+d情況下目標函數的最優(yōu)值。易見， S（ x）和M（ x）是相互矛盾的， 其中一方的增大會引起另一方的減少。同時兼顧模糊目標和模糊約束， Bellman和Zadeh［13］給出了模糊決策D~的概念： 模糊約束隸屬函數和模糊目標隸屬函數交點的最大值， 即

式（10）是一個帶有約束條件的非線性規(guī)劃問題， 可用罰函數等方法轉化為無約束的非線性規(guī)劃求解。擴展Zimmermann算法的主要思想是先將模糊約束集與模糊目標集分別表示成可調節(jié)的二次隸屬函數和線性隸屬函數的形式， 然后給出模糊決策的概念為兩者隸屬函數交點的最大值， 最終得出模糊最優(yōu)解。

2.2擴展參數規(guī)劃算法

所謂的參數規(guī)劃， 是將式（5）所表達的模糊二次規(guī)劃轉化為帶有待定參數θ的規(guī)劃

其中參數θ∈［0，1］， r（θ）的取值可由二次隸屬方程μ（ x）=θ屬于區(qū)間［b， b+d］的根來確定。顯然， 當參數θ確定后， 式（11）便退化為一般形式的凸二次規(guī)劃問題， 所以它的 Kuhn-Tucher必要條件同時也是充分條件。為求解規(guī)劃（11）， 構造拉格朗日函數［14］

這里μ是不等式約束的拉格朗日乘子向量。關于x∈Rn 求極小， 即令▽L（ x，μ）=0， 將所得結果x=代到式（11）有

所以， 根據Lagrange對偶方法得出一個含參數的二次規(guī)劃

擴展參數規(guī)劃法的實質， 是通過約束條件的隸屬函數定義的一個含有參數θ的規(guī)劃， 這個參數表示對限制條件的偏離程度。一旦確定了該參數的取值， 相應地會有一個確定的二次規(guī)劃與之對應。理論上， 由模糊集的表現定理， 整合所有參數在不同情況下的最優(yōu)解便能得出結果。

3　數值例子

考慮帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題

這里d=［2，5］是式（15）每個約束函數最大可接受的上限數值向量。因此， 當a=0.01時， 它們的二次隸屬函數為：

利用Lingo11軟件求得λ=0.53， x1=2.61， x2=1.61， 其最優(yōu)值為zmin=-13.31。與約束條件不添加縮伸時的最優(yōu)值 z0=-12.06相比增加了 -1.25， 這是可行域增大的結果。

由式（11）、（15）可轉化為一個含有參數θ的規(guī)劃min z=或改寫成Lagrange對偶形式

表 1呈現了θ取不同值時， 該參數規(guī)劃的最優(yōu)值情況。為了直觀地說明擴展的Zimmermann算法和擴展的參數規(guī)劃法之間的關系， 利用 Matlab軟件分別作出擴展的Zimmermann算法下關于目標函數的隸屬度直線和θ取不同值時擴展參數規(guī)劃的最優(yōu)值曲線， 如圖2所示。由圖2可知，2條線段交于點（-13.31， 0.53）， 即是擴展Zimmermann的模糊最優(yōu)解。

圖3　a取不同值時擴展參數規(guī)劃的最優(yōu)值曲線

表1　θ取不同值時問題（14）的最優(yōu)值情況

圖2　2種方法的最優(yōu)值曲線

另一方面， 隸屬函數是決策者關于某個模糊概念的直觀判斷， 它的取值情況對最終的模糊判決有著非常大的影響。圖3列出了可調節(jié)二次隸屬函數的參數a取5組（a=0，a=±0.01和a=±0.04）不同值時， 該參數規(guī)劃的最優(yōu)值曲線?？梢钥闯觯?盡管其中有些參數只有細微的波動， 但是它們的最優(yōu)值曲線還是相差較大的， 同時也說明了模糊最優(yōu)解容易受到隸屬函數的影響。

4　結論

本文針對一類帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 提出了一個具有二次形式的隸屬函數， 它與傳統(tǒng)的線性隸屬函數相比更具有可調節(jié)性。基于這種二次隸屬函數， 參照模糊線性規(guī)劃的 Zimmermann算法和參數規(guī)劃法， 平行地給出了2種擴展解法。實例表明， 擴展的Zimmermann算法和擴展的參數規(guī)劃法， 對二次隸屬函數的參數依賴程度高。盡管該參數發(fā)生細微的波動也可能導致最終模糊最優(yōu)解產生較大的變化。事實上， 出現這種情況正是決策者所需要的， 因為待定參數的改變， 直接反映了一個模糊概念隸屬程度的變化， 最終也必然影響模糊判決的好壞。因此， 選擇一個合適的隸屬函數是決策者做科學決策時最為關鍵的一步。

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（責任編校： 劉曉霞）

Solution of fuzzy quadratic programming model with secondary membership function

Lu Shuquan， Cao Bingyuan
（School of Mathematics and Information Sciences， Guangzhou University， Guangzhou 510006， China）

Based on a new definition of secondary adjusted membership function， a class of quadratic programming model with quadratic membership function is studied， and then two corresponding solutions are presented， which extends Zimmmermann algorithm and parameter approach，respectively. The example shows that the methods have certain rationality and validity.

fuzzy quadratic programming； secondary membership function； decision making； effectiveness

O 221

1672-6146（2016）03-0001-05

10.3969/j.issn.1672-6146.2016.03.001

盧樹泉， lusquan@163.com。

2016-01-23

在實際問題中， 非線性規(guī)劃有著十分廣泛的應用。無論是庫存管理、投資組合、工程設計還是經濟研究等領域都離不開特定形式的數學規(guī)劃。但是， 到了真正的應用中， 有些參數可能并不是確定的， 而更多表現出來是模糊性。于是， 一種新的數學規(guī)劃—模糊非線性規(guī)劃［1］應運而生了。

目前， 關于模糊非線性規(guī)劃問題的研究幾乎都集中在模糊二次規(guī)劃上。特別地， 針對具有模糊約束的模糊二次規(guī)劃問題， Cruz［2］擴展了模糊線性規(guī)劃中Zimmermann算法的一套理論， 并應用于求解模糊二次規(guī)劃問題?；趨狄?guī)劃法， Silva等［3-4］分別從原始問題和對偶問題2個角度對給定的α-水平下的普通二次規(guī)劃進行求解， 通過整合這些α-最優(yōu)解得到了模糊最優(yōu)解。另外， 對于帶有模糊系數的模糊二次規(guī)劃問題， Liu等［5-6］應用Zadeh擴展原理將其轉化為一個雙層數學規(guī)劃問題， 并利用非線性規(guī)劃的有關知識進行了簡化。Zhou等［7］則利用線性秩函數的方法來處理變量之間的這種模糊關系， 也給出了一個等價的二次規(guī)劃問題， 其它的求解方法由文獻［8-9］給出。受文獻［10］的啟發(fā)， 現有的許多文獻都是用線性隸屬函數來定義模糊約束集的， 這種類型的函數在形式上雖然簡單， 但是有時并不符合決策者的意愿。為此， 本文先提出了一種具有二次形式的隸屬函數。它與傳統(tǒng)的線性隸屬函數相比， 更具有可調節(jié)性。接著， 針對帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 分別采用擴展的Zimmermann算法和擴展的參數規(guī)劃方法進行求解。最后， 用一個數值例子說明了它們的合理性和有效性。