張　敏，徐藹彥，汪　強(qiáng)，李露露

(西安理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710048)

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Al-4%Cu凝固過(guò)程枝晶生長(zhǎng)的數(shù)值模擬

張敏，徐藹彥，汪強(qiáng)，李露露

(西安理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710048)

改進(jìn)了模擬枝晶生長(zhǎng)常用的二維元胞自動(dòng)機(jī)和有限差分(CA-FD)模型，新模型引入擾動(dòng)函數(shù)來(lái)控制二、三次枝晶的生長(zhǎng)；在枝晶生長(zhǎng)過(guò)程中，將溶質(zhì)濃度明確地分為液相溶質(zhì)濃度和固相溶質(zhì)濃度兩部分；并在溶質(zhì)再分配與擴(kuò)散過(guò)程中采用八鄰位差分以減少網(wǎng)格形狀導(dǎo)致溶質(zhì)擴(kuò)散的各向異性。模擬了Al-4%Cu二元合金過(guò)冷熔體中，單個(gè)和多個(gè)等軸晶沿不同擇優(yōu)方向生長(zhǎng)及單方向和多方向柱狀樹(shù)枝晶競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)過(guò)程中的枝晶形貌、液相溶質(zhì)濃度和固相溶質(zhì)濃度分布情況。模擬結(jié)果表明：擾動(dòng)的引入能夠促使枝晶產(chǎn)生分支，并控制二、三次枝晶的生長(zhǎng)速率；液/固相溶質(zhì)計(jì)算模型能夠準(zhǔn)確地模擬出枝晶生長(zhǎng)過(guò)程中液/固相溶質(zhì)分布；此外改進(jìn)后的模型實(shí)現(xiàn)了枝晶沿任意方向的競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)。

數(shù)值模擬；元胞自動(dòng)機(jī)法；枝晶形貌；溶質(zhì)濃度

金屬材料的性能除與合金元素含量緊密相關(guān)外，還受到其微觀組織的制約，有效掌握過(guò)冷熔體凝固過(guò)程的特征是分析和控制凝固后微觀組織的最佳途徑[1]。過(guò)冷金屬在凝固過(guò)程中常常以樹(shù)枝晶的形式形核并生長(zhǎng)，因此，長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)枝晶生長(zhǎng)規(guī)律的研究受到國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-4]。

然而影響合金凝固微觀組織的因素很多，僅僅通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法研究結(jié)晶過(guò)程不僅耗時(shí)、耗力和耗資，而且很難直接觀察到枝晶生長(zhǎng)的整個(gè)過(guò)程。因此，通過(guò)數(shù)值模擬技術(shù)研究凝固規(guī)律，預(yù)測(cè)顯微組織具有巨大的研究潛力，近幾十年來(lái)，通過(guò)材料領(lǐng)域科研工作者的共同努力，建立了各種各樣的微觀組織模擬方法[5-8]，其中最著名的有相場(chǎng)法(Phase Field Method，PFM)[5]和元胞自動(dòng)機(jī)法(Cellular Automaton Method,CAM)[6]。雖然元胞自動(dòng)機(jī)法運(yùn)用于材料領(lǐng)域相對(duì)于相場(chǎng)法較晚，但其以高效和較強(qiáng)的工程應(yīng)用能力而發(fā)展迅猛。在國(guó)外，Minoru等[9]利用元胞自動(dòng)機(jī)法模擬出了Fe-0.7%C二元合金鑄造過(guò)程中枝晶的生長(zhǎng)。在國(guó)內(nèi)，付振南等[10]建立了1種基于概率捕獲的元胞自動(dòng)機(jī)模型，并順利模擬出鎂合金的枝晶生長(zhǎng)過(guò)程；占小紅等[11]采用對(duì)角線模擬角度法實(shí)現(xiàn)了枝晶沿特定方向生長(zhǎng)，但能夠模擬的枝晶角度有限，且未能實(shí)現(xiàn)枝晶全方位地?fù)駜?yōu)生長(zhǎng)。

本工作對(duì)現(xiàn)有的元胞自動(dòng)機(jī)和有限差分(CA-FD)模型做進(jìn)一步改進(jìn)，使之能夠模擬出Al-4%Cu(質(zhì)量分?jǐn)?shù))合金凝固過(guò)程中等軸晶和柱狀樹(shù)枝晶沿任意方向生長(zhǎng)的枝晶形貌，同時(shí)能夠再現(xiàn)枝晶生長(zhǎng)過(guò)程中液相溶質(zhì)濃度和固相中溶質(zhì)濃度的分布狀態(tài)。

1　數(shù)學(xué)物理模型

1.1枝晶生長(zhǎng)模型

過(guò)冷熔體的二維凝固區(qū)域劃分為均勻的正方形網(wǎng)格，并將溫度、溶質(zhì)濃度等多物理量賦予網(wǎng)格；另外，網(wǎng)格分為3種狀態(tài)，即液相、界面和固相。界面向前推進(jìn)過(guò)程采用Moore鄰域(八鄰胞)捕捉液相網(wǎng)格[12]。

枝晶生長(zhǎng)過(guò)程伴隨著溫度和溶質(zhì)濃度的變化，包括枝晶尖端的穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)和形成分支時(shí)的非穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)兩部分。穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)時(shí)，已形核的枝晶在熱過(guò)冷ΔTt、成分過(guò)冷ΔTc和曲率過(guò)冷ΔTr的作用下不斷捕捉液相而長(zhǎng)大，則生長(zhǎng)界面的總過(guò)冷度為：

(1)

根據(jù)Gibbs-Thompson方程[13]，可建立tn時(shí)刻固/液界面的平衡關(guān)系：

(2)

(3)

采用傳統(tǒng)的尖銳界面模型[14]，界面生長(zhǎng)速度與總過(guò)冷度之間的關(guān)系為：

(4)

式中：μk(θ)為界面動(dòng)力學(xué)系數(shù)。

另外，枝晶生長(zhǎng)時(shí)不僅會(huì)受到生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)各向異性的影響，還會(huì)受到界面能各向異性的制約。界面生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)系數(shù)μ(θ)和Gibbs-Thompson系數(shù)Γ(θ)可表示為：

(5)

(6)

(7)

固相率的增長(zhǎng)是影響過(guò)冷熔體中液/固轉(zhuǎn)變最主要的變量之一，它與界面速率成正比。用式(8)進(jìn)行計(jì)算：

(8)

式中：Δx為網(wǎng)格尺寸；Δt為步長(zhǎng)時(shí)間；G為鄰位網(wǎng)格狀態(tài)參數(shù)；A為擾動(dòng)因子；rand()能夠在[0，1]產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

網(wǎng)格的形狀對(duì)枝晶生長(zhǎng)的方向有很大的影響，為了更好地再現(xiàn)枝晶生長(zhǎng)擇優(yōu)方向的任意性，引進(jìn)鄰位網(wǎng)格狀態(tài)參數(shù)[15]，其值由式(9)確定：

(9)

式中：b為恒定的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)；s′和s″分別為最鄰近的4個(gè)網(wǎng)格和次鄰近的4個(gè)網(wǎng)格的狀態(tài)參數(shù)。如果相鄰的元胞為固相時(shí)，s′和s″值為1，為液相或界面元胞時(shí)，其值為0。

界面元胞從被捕捉開(kāi)始，固相率不斷增加。時(shí)間tn內(nèi)，某一標(biāo)記的界面網(wǎng)格j內(nèi)固相率為：

(10)

1.2溶質(zhì)再分配與擴(kuò)散控制模型

溶質(zhì)再分配過(guò)程是枝晶生長(zhǎng)狀態(tài)與溶質(zhì)場(chǎng)耦合的樞紐，合理有效的溶質(zhì)分配機(jī)制是枝晶生長(zhǎng)研究者追求的目標(biāo)。本文在保證整個(gè)凝固場(chǎng)溶質(zhì)守恒的前提下，針對(duì)界面元胞固液共存現(xiàn)象，提出1種修正的溶質(zhì)再分配方法。

假定凝固過(guò)程中，液/固界面的液相和固相溶質(zhì)濃度滿(mǎn)足：

(11)

(12)

(13)

從界面元胞排出的溶質(zhì)導(dǎo)致枝晶周?chē)合嗳苜|(zhì)濃度升高，使液相元胞間出現(xiàn)較大的濃度梯度，這必然加劇溶質(zhì)的擴(kuò)散。對(duì)于二維非穩(wěn)態(tài)溶質(zhì)擴(kuò)散，采用如下控制方程：

式中：DL，DS分別為液相、固相中溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)。在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，為了消除網(wǎng)格形狀因素對(duì)溶質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程的影響，文中采用八鄰胞的溶質(zhì)擴(kuò)散模型，即：

(16)

(17)

(18)

式中：υmax為枝晶在當(dāng)前時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的最大生長(zhǎng)速率。

本文涉及的Al-Cu合金熱物性參數(shù)見(jiàn)表1，其中，Cu為溶質(zhì)，且溶質(zhì)濃度為質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

表1　Al-Cu合金熱物性參數(shù)

1.3模型的基本假設(shè)

(2)材料的熱物性參數(shù)不變，為一常數(shù)；不考慮熔體流動(dòng)引起的換熱及傳質(zhì)，且假定溶質(zhì)的擴(kuò)散只在同種狀態(tài)下進(jìn)行，即固相與液相之間不存在溶質(zhì)擴(kuò)散；過(guò)冷熔體凝固過(guò)程中，假定液相溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)和固相溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)恒定不變。

2　模擬結(jié)果與分析

2.1單個(gè)等軸晶生長(zhǎng)

為了分析過(guò)冷熔體中枝晶生長(zhǎng)時(shí)溶質(zhì)濃度的變化，將計(jì)算區(qū)域劃分為400×400個(gè)正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為0.5μm。假設(shè)整個(gè)計(jì)算區(qū)域溫度均勻且恒定，Al-4%Cu合金在過(guò)冷度ΔT=20K的作用下開(kāi)始凝固，在計(jì)算區(qū)域中心放置一個(gè)具有擇優(yōu)生長(zhǎng)方向的晶粒。

圖1為0.002s時(shí)枝晶生長(zhǎng)形貌及溶質(zhì)濃度分布，擇優(yōu)取向?yàn)?°。從圖1可以看出，一次枝晶臂沿4個(gè)方向的生長(zhǎng)形貌均勻，一次枝晶臂上有微小的突起，這是二次枝晶臂的雛形。本模型還實(shí)現(xiàn)了液相溶質(zhì)濃度和固相溶質(zhì)濃度的分離，如圖1(b),(c)；圖1(d)為0.002s時(shí)枝晶生長(zhǎng)沿一次枝晶臂的溶質(zhì)濃度分布曲線，可以看出，在過(guò)冷度一定的情況下，枝晶在生長(zhǎng)初期處于非穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)階段，固相中溶質(zhì)濃度逐漸增高，且增加的趨勢(shì)減弱，當(dāng)生長(zhǎng)一段時(shí)間后，固相溶質(zhì)濃度趨于一穩(wěn)定值；而液相溶質(zhì)濃度沿枝晶生長(zhǎng)方向形成一個(gè)圓滑的過(guò)渡區(qū)域，這與金屬凝固基本原理一致。

圖1　單個(gè)等軸晶生長(zhǎng)0.002s模擬結(jié)果(a)枝晶生長(zhǎng)形貌;(b)液相溶質(zhì)濃度分布;(c)固相溶質(zhì)濃度分布;(d)枝晶沿主干臂方向的溶質(zhì)濃度分布曲線Fig.1　Simulation results of single equiaxed growth after 0.002s(a)dendrite morphology;(b)distribution of liquid solute concentration;(c)distribution of solid solute concentration;(d)the curve of solute distribution along the primary arm

枝晶在生長(zhǎng)過(guò)程中，除形成粗大的一次枝晶臂外還會(huì)生長(zhǎng)出參差不齊的二、三次枝晶臂。為了更好地展現(xiàn)枝晶生長(zhǎng)過(guò)程中二、三次枝晶生長(zhǎng)位置的隨機(jī)性，施加一個(gè)隨機(jī)的擾動(dòng)函數(shù)，其擾動(dòng)因子在(0,1)區(qū)間內(nèi)取值。圖2為擇優(yōu)取向?yàn)?°時(shí)不同擾動(dòng)因子作用下0.005s時(shí)枝晶的生長(zhǎng)形貌，可以看出，隨著擾動(dòng)因子的增加，二次枝晶臂數(shù)量不斷增多，且隨著擾動(dòng)因子的增大而變粗；還可以看出，枝晶形貌的對(duì)稱(chēng)性幾乎不隨著擾動(dòng)因子的改變而失穩(wěn)，即模型不會(huì)因?yàn)閿_動(dòng)的施加而失衡。

圖2　不同擾動(dòng)因子作用下枝晶生長(zhǎng)形貌(a)A=0.05;(b)A=0.3Fig.2　Dendrite morphology at different noise(a)A=0.05;(b)A=0.3

圖3為擾動(dòng)因子為0.3時(shí)，不同擇優(yōu)方向枝晶的生長(zhǎng)形貌和液相溶質(zhì)濃度分布，擇優(yōu)方向依次為0°，30°，45°和60°。從圖3(a-1)～(d-1)可以看出，本文的模型能夠很好地實(shí)現(xiàn)枝晶沿不同方向的生長(zhǎng)，在枝晶生長(zhǎng)過(guò)程中，一次枝晶生長(zhǎng)優(yōu)勢(shì)突出，二次枝晶大小沿一次枝晶臂方向程階梯狀變化。從圖3(a-2)～(d-2)可得，在溶質(zhì)濃度再分配與擴(kuò)散過(guò)程中，由于二次枝晶的阻礙，溶質(zhì)富集現(xiàn)象十分明顯，生長(zhǎng)方向不同的二次枝晶臂生長(zhǎng)到一定程度時(shí)，臂與臂間會(huì)形成一個(gè)封閉的區(qū)域，該區(qū)域中的溶質(zhì)因無(wú)法排出而濃度急劇增加，形成多個(gè)高溶質(zhì)濃度的空腔，在空腔中極易孕育形成二次相。

圖3　不同擇優(yōu)取向時(shí)枝晶生長(zhǎng)形貌(1)及液相中溶質(zhì)濃度分布(2)(a)0°;(b)30°;(c)45°;(d)60°Fig.3　Dendrite morphology (1) and distribution of liquid solute concentration (2) at different preferred orientation(a)0°;(b)30°;(c)45°;(d)60°

2.2多等軸晶生長(zhǎng)

為了研究過(guò)冷熔體中Al-4%Cu合金多枝晶的生長(zhǎng)行為。采用500×500個(gè)均勻的正方形網(wǎng)格劃分整個(gè)過(guò)冷熔體，網(wǎng)格的尺寸為0.5μm，初始過(guò)冷度ΔT=15K，溶質(zhì)濃度為4%。凝固開(kāi)始時(shí)，在過(guò)冷熔體中設(shè)定14個(gè)大小相等，擇優(yōu)方向不同的晶粒。在凝固過(guò)程中，假定整個(gè)熔體溫度均勻，冷卻速率為20K/s。

圖4　多個(gè)等軸晶生長(zhǎng)形貌及溶質(zhì)濃度分布(a),(b),(c)t=0.005s;(a′),(b′),(c′)t=0.01sFig.4　Equiaxed dendrite morphology and distribution of solute concentration at different time(a),(b),(c)t=0.005s;(a′),(b′),(c′)t=0.01s

圖4為Al-4%Cu合金凝固過(guò)程中不同生長(zhǎng)階段內(nèi)枝晶生長(zhǎng)形貌和溶質(zhì)濃度分布。由圖4可看出，枝晶有0°，30°，45°和60°4種不同的擇優(yōu)方向。晶粒1，5，8和14的擇優(yōu)方向?yàn)?°，晶粒2，7，10和13的擇優(yōu)方向30°，晶粒3和9擇優(yōu)方向?yàn)?5°，晶粒4，6，11和12的擇優(yōu)方向?yàn)?0°。在枝晶生長(zhǎng)初期，晶粒沿著各自不同的擇優(yōu)方向生長(zhǎng)，相互影響較小，如圖4(a)所示；而在生長(zhǎng)后期后，枝晶相互阻礙形成不對(duì)稱(chēng)的等軸晶，如圖4(a′)中的晶粒1，這是因?yàn)樯L(zhǎng)初期，枝晶生長(zhǎng)排出的溶質(zhì)有限，擴(kuò)散所影響的區(qū)域較??；隨著凝固的進(jìn)行，排除溶質(zhì)不斷累積，擴(kuò)散加強(qiáng)，多個(gè)溶質(zhì)場(chǎng)相互疊加，致使枝晶間相互影響程度加劇。從圖4還可以看出，凝固前期，二次枝晶臂相對(duì)于一次枝晶臂很小，而在凝固后期，由于枝晶間的相互阻礙，一次枝晶臂生長(zhǎng)受限，幾乎停止生長(zhǎng)，此時(shí)，處于有利生長(zhǎng)方向的二、三次枝迅速生長(zhǎng)，部分二次枝晶臂大小甚至超過(guò)了一次枝晶臂，如圖4(a′)中的晶粒2。從圖4(c)可以看出，從枝晶中心沿一次枝晶臂向外，固相溶質(zhì)濃度依次升高，二次枝晶臂內(nèi)溶質(zhì)濃度高于該臂生長(zhǎng)位置處一次枝晶臂內(nèi)的溶質(zhì)濃度，枝晶邊緣處固相溶質(zhì)濃度最高，且各個(gè)晶粒外圍固相溶質(zhì)濃度差異較小。

2.3定向凝固單方向及多方向柱狀樹(shù)枝晶競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)

在凝固過(guò)程中，當(dāng)溫度梯度G滿(mǎn)足特定條件時(shí)，枝晶會(huì)沿一定的方向生長(zhǎng)形成柱狀樹(shù)枝晶。假設(shè)定向凝固溫度梯度G=1000K/m，且溫度梯度垂直于熔體底部。將枝晶生長(zhǎng)區(qū)域劃分為400×400個(gè)正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為1μm。模擬單方向柱狀樹(shù)枝晶生長(zhǎng)時(shí)，在過(guò)冷熔體底部設(shè)定4個(gè)擇優(yōu)方向?yàn)?°晶核；模擬多方向柱狀樹(shù)枝晶生長(zhǎng)時(shí)，假設(shè)過(guò)冷熔體底部為弧狀，在熔體底部預(yù)設(shè)11個(gè)不同擇優(yōu)生長(zhǎng)方向的晶核，相鄰兩晶核間擇優(yōu)生長(zhǎng)方向相差7.5°。

模擬結(jié)果如圖5所示。從圖5(a),(c),(d)可以看出，單方向柱狀樹(shù)枝晶生長(zhǎng)時(shí)，枝晶間激烈地競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)，二次枝晶臂很難擴(kuò)展；液相中溶質(zhì)濃度呈山峰狀分布，兩枝晶距離越近處溶質(zhì)濃度富集越嚴(yán)重；固相中溶質(zhì)濃度分布規(guī)律與等軸晶生長(zhǎng)過(guò)程中的相似。從圖5(b)可以看出，模擬得到多方向柱狀樹(shù)枝晶均垂直于熔體底部，實(shí)現(xiàn)了柱狀樹(shù)枝晶沿任意方向競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)。

圖5　多個(gè)柱狀晶生長(zhǎng)形貌及溶質(zhì)濃度分布(a),(b)枝晶生長(zhǎng)形貌;(c)液相溶質(zhì)濃度;(d)固相溶質(zhì)濃度Fig.5　Columnar dendrite morphology and distribution of solute concentration(a),(b) columnar dendrite morphology;(c)distribution of liquid solute concentration;(d)distribution of solid solute concentration

3　結(jié)論

(1)基于二維枝晶生長(zhǎng)的新模型，有效地再現(xiàn)了單個(gè)和多個(gè)等軸晶沿不同擇優(yōu)方向生長(zhǎng)及單方向和多方向柱狀樹(shù)枝晶競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)過(guò)程中枝晶形貌變化、液相溶質(zhì)濃度和固相溶質(zhì)濃度分布情況。

(2)等軸晶生長(zhǎng)過(guò)程中，擾動(dòng)的引入能夠促使枝晶產(chǎn)生分支，并控制二、三次枝晶生長(zhǎng)；不同擇優(yōu)方向的多個(gè)等軸晶在生長(zhǎng)前期互不干涉，隨著凝固排出溶質(zhì)的累積，枝晶間相互影響加劇，形成不規(guī)則的枝晶形貌。

(3)新模型實(shí)現(xiàn)了柱狀樹(shù)枝晶垂直于弧狀邊界向熔體中心的競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)。

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Numerical Simulation on Dendrite Growth During Solidification of Al-4%Cu Alloy

ZHANG Min,XU Ai-yan,WANG Qiang,LI Lu-lu

(School of Material Science and Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)

A new two-dimensional cellular automata and finite difference (CA-FD) model of dendritic growth was improved, which a perturbation function was introduced to control the growth of secondary and tertiary dendrite, the concentration of the solute was clearly defined as the liquid solute concentration and the solid-phase solute concentration in dendrite growth processes, and the eight moore calculations method was used to reduce the anisotropy caused by the shape of the grid in the process of redistribution and diffusion of solute. Single and multi equiaxed dendrites along different preferential direction, single and multi directions of columnar dendrites of Al-4% Cu alloy were simulated, as well as the distribution of liquid solute concentration and solid solute concentration. The simulation results show that the introduced perturbation function can promote the dendrite branching, liquid/solid phase solute calculation model is able to simulate the solute distribution of liquid/solid phase accurately in the process of dendritic growth, and the improved model can realize competitive growth of dendrite in any direction.

numerical simulation；cellular automaton method；dendritic morphology；solute concentration

張敏(1967-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事焊接成型過(guò)程的力學(xué)行為及其結(jié)構(gòu)質(zhì)量控制焊接和凝固過(guò)程的組織演變行為及其先進(jìn)焊接材料的研究工作，聯(lián)系地址：陜西省西安市金花南路5號(hào)西安理工大學(xué)(710048)，E-mail:zhmmn@xaut.edu.cn.

10.11868/j.issn.1001-4381.2016.06.002

TG292

A

1001-4381(2016)06-0009-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51274162)；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)(2013AA031303)；陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(14JK1539)

2014-05-23;

2015-07-23