吳博峰，徐繼偉

（1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院，西安　710038；2.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安　710072）

基于復(fù)合失效模式的壽命分布檢驗(yàn)方法*

吳博峰1，徐繼偉2

（1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院，西安710038；2.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安710072）

產(chǎn)品往往受隨機(jī)失效和耗損失效兩種模式的雙重影響，因此，構(gòu)造指數(shù)&威布爾分布表征該類產(chǎn)品的失效規(guī)律。首先，用圖檢驗(yàn)法對該類產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行初步檢驗(yàn)；其次，研究了該類產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)的極大似然估計(jì)的求解方法，進(jìn)一步用伽方檢驗(yàn)方法對壽命分布類進(jìn)行了檢驗(yàn)；最后，通過工程仿真例子說明了該方法的具體操作流程，最終驗(yàn)證了方法的正確性。

復(fù)合失效模式，圖檢驗(yàn)法，極大似然估計(jì)，擬合優(yōu)度檢測

0　引言

1　指數(shù)&威布爾復(fù)合分布模型的圖檢驗(yàn)法

1.1指數(shù)&威布爾復(fù)合分布模型的構(gòu)造

由于本文研究產(chǎn)品的壽命可能受隨機(jī)失效和耗損失效的雙重影響，且兩者互相獨(dú)立，構(gòu)造產(chǎn)品的可靠性分布可表述為下式：

由壽命分布可見當(dāng)η→0時(shí)，產(chǎn)品的可靠性分布無限趨于指數(shù)分布，即產(chǎn)品的隨機(jī)失效完全占據(jù)主導(dǎo)地位；而當(dāng)→0時(shí)，產(chǎn)品的可靠性分布無限趨于威布爾分布；其余情況下，產(chǎn)品的壽命即為受隨機(jī)失效和耗損失效的兩方面影響的復(fù)合分布。類似地，進(jìn)一步可構(gòu)造其余復(fù)合分布的模型。由于引言分析顯示指數(shù)&威布爾分布在工程應(yīng)用中更具有代表性和普遍性，能表征或擬合大部分的失效規(guī)律本文僅以此為代表進(jìn)行研究，其余情況可類似處理。

1.2基于產(chǎn)品定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)的分布檢驗(yàn)

產(chǎn)品定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)指從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n臺產(chǎn)品投入試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)前r個(gè)失效產(chǎn)品的失效時(shí)間，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為t1，t2，…，tr，1≤r≤n。通過圖檢驗(yàn)法對產(chǎn)品的分布類型進(jìn)行檢驗(yàn)。這里，首先構(gòu)造累計(jì)可靠度函數(shù)：

既然已經(jīng)假定產(chǎn)品的可靠性受兩種不同的失效現(xiàn)象獨(dú)立影響，那么，可將失效數(shù)據(jù)進(jìn)行以下對數(shù)變換：

6）無論春季嫁接還是夏季嫁接，嫁接時(shí)最后一道捆綁的扎帶要纏繞固定在接穗芽子的上部，也就是接穗頂部，這個(gè)小小的綁扎技巧，避免了因嫁接后解除塑料扎帶不及時(shí)帶來的扎帶勒入木質(zhì)部的隱患。見圖1。

在此，若η→0，將累計(jì)失效分布函數(shù)代入，并將數(shù)據(jù)填入對數(shù)坐標(biāo)表上，若數(shù)據(jù)呈現(xiàn)為一條直線，則可認(rèn)為產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，并通過坐標(biāo)斜率得到產(chǎn)品的壽命指標(biāo)，或者根據(jù)最小二乘估計(jì)得的估計(jì)值。

否則，進(jìn)一步進(jìn)行對數(shù)變換：

將累計(jì)可靠度函數(shù)帶入即可用威布爾圖分析法判定產(chǎn)品的壽命是否果真服從威布爾分布，并進(jìn)一步找到壽命指標(biāo)的形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η。或用最小二乘估計(jì)得到參數(shù)的估計(jì)值。

當(dāng)以上兩種情況均不能判定產(chǎn)品的壽命分布時(shí)，則可判定產(chǎn)品服從指數(shù)&威布爾復(fù)合分布或可用指數(shù)&威布爾分布來近似。

2　指數(shù)&威布爾復(fù)合分布模型的可靠性估計(jì)

由以上分析可知圖檢驗(yàn)法在大樣本情況下能給出粗略的檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)值，但同時(shí)可能存在較大的誤差，且在并不服從指數(shù)&威布爾分布時(shí)還必須用其作近似處理，在某些情況下適用性差。因此，在并不服從指數(shù)分布或威布爾分布時(shí)，進(jìn)一步用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)分析。首先研究基于壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體參數(shù)極大似然估計(jì)。由定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr，1≤r≤n構(gòu)造產(chǎn)品的似然函數(shù)：

作對數(shù)變換

則根據(jù)極大似然估計(jì)法可列出如下似然方程組：

記以上3個(gè)似然方程左側(cè)為f1，f2，f3。有如下引理。

引理：上述似然方程存在唯一解

證明：既然認(rèn)為產(chǎn)品的失效是由隨機(jī)失效和耗損失效獨(dú)立造成的，那么假設(shè)t1，t2，…，tr中有p個(gè)失效時(shí)間產(chǎn)生于隨機(jī)失效，記為t11，t12，…，t1p，而有q個(gè)產(chǎn)生于耗損失效，記為t21，t22，…，t2q，其中p+q=r。這里t11，t12，…，t1p，t21，t22，…，t2q只是假定存在但不確切知道的。由文獻(xiàn)［1］，根據(jù)t11，t12，…，t1p、t21，t22，…，t2q能得到參數(shù)，η，m的唯一解，證畢。

同理，對威布爾分布，其失效率為：

又由威布爾圖分析過程知，m＜m'，其中m'為將所有失效數(shù)據(jù)均擬合為威布爾分布的最小二乘估

3　基于可靠性估計(jì)的χ2　擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)方法

而落在［si，si+1），i=1，2，…，m內(nèi)的失效個(gè)數(shù)為r1，r2，…，rm，那么可以用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)總體是否服從指數(shù)&威布爾分布。具體過程為：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)R.A.Fisher定理，若總體服從指數(shù)&威布爾分布，那么以上統(tǒng)計(jì)量服從自由度為m-4的χ2分布，于是可以用χ2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)總體的分布規(guī)律。

4　數(shù)值仿真算例

電連接器的失效往往受溫度、濕度、機(jī)械應(yīng)力等綜合因素的影響。因此，電連接器的失效極可能不僅僅是隨機(jī)失效或耗損失效的單一作用。假設(shè)某型電連接器的失效分布函數(shù)為

隨機(jī)抽取120件該型電連接器進(jìn)行壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)到80件電連接器失效為止，通過蒙特卡羅仿真法得到該電連接器的失效數(shù)據(jù)為

用圖估計(jì)法檢驗(yàn)產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)并不服從指數(shù)分布和威布爾分布，此處略去過程，于是，進(jìn)一步假設(shè)總體服從指數(shù)&威布爾分布。按第2節(jié)的方法對壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行總體的極大似然估計(jì)，估計(jì)得（）=（0.001 04，0.000 002 1，1.98）。構(gòu)造10個(gè)區(qū)間，根據(jù)仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造的區(qū)間為［0，50］、［50，100］、［100，150］、［150，200］、［200，250］、［250，300］、［300，350］、［350，400］、［400，450］、［450，500］

上述區(qū)間內(nèi)估計(jì)分布的離散概率密度函數(shù)

P（10）=［0.065 5 0.119 2 0.083 1 0.107 4 0.102 0 0.096 8 0.091 9 0.127 2 0.082 8 0.138 6］；

而每個(gè)區(qū)間內(nèi)的失效數(shù)為

N［10］=［5 10 6 5 6 9 8 12 5 14］

檢查，于是判定該總體服從指數(shù)&威布爾分布。這個(gè)仿真算例同時(shí)驗(yàn)證了本文所提出方法的正確性和可操作性。

5　結(jié)論

針對產(chǎn)品受多種失效模式共同影響的情形，本文構(gòu)造了指數(shù)&威布爾壽命分布模型。并研究了壽命數(shù)據(jù)的一般分布可靠性檢驗(yàn)方法。首先，用圖分析法對壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)分布檢驗(yàn)和威布爾分布檢驗(yàn)，這兩種檢驗(yàn)方法均無法作出判定時(shí)，進(jìn)一步構(gòu)建了基于極大似然估計(jì)的的分布類型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，并進(jìn)一步對可靠性分析做出評價(jià)。本文最后通過工程仿真案例說明了該方法的可用性和有效性。該方法適用于復(fù)雜失效模式產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)快速評價(jià)過程。

［1］JOHN S.Weibull component reliability-preduction in the presence of masked data［J］.IEEE Transactions on Reliability，1996，45：229-232.

［2］張萌，陸山，楊揚(yáng).截尾情形下基于屏蔽數(shù)據(jù)的部件可靠性分析［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2012，27（1）：137-144.

［3］盛驟.基于隱蔽的系統(tǒng)成敗型數(shù)據(jù)的元件可靠性的極大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，16（4）：107-109.

［4］張鐵巖，王承民，孫秋野，等.一類基于改進(jìn)Weibull分布模型電力電纜壽命評估方法［J］.中國工程科學(xué)，2008，10 （10）：42-46.

［5］曹晉華，程侃著.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［6］茆詩松.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2006.

Life Distribution Hypothesis Testing Method Based on Complex Failure Mode

WU Bo-feng1，XU Ji-wei2
（1.School of XING ZHI，Xi'an University of Finance and Economics，Xi'an 710038，China；2.School of Automation，Northwest Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

Product life is often affected by both random failure mode and degradation failure mode，thus this paper constructs the Exponential&Weibull failure distribution to reflect this failure mode.Firstly，a figure test method is used to preliminary inspect of the life data of the products；secondly，this paper researches the lifetime datas of the product by maximum likelihood estimation method，thirdly，gamma-square test is used to determinate the for life distributions of the product；Finally，simulation example is applied to show the concrete operational procedures of this method，and verificate of the correctness of this method.

complex failure modes，fig testing method，MLE，gamma-square test

TB114.3

A

1002-0640（2016）07-0168-03

2015-06-15

2015-07-12
*

國家青年科學(xué)基金（61201321）；福建省教育廳A類科技基金資助項(xiàng)目（JA12375）

吳博峰（1983-），男，福建安溪人，碩士，講師。研究方向：可靠性理論與應(yīng)用、應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)。