卞世博，張 熠

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院；b.公共經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200433）

信用債券是債券的一大類，是依靠債券發(fā)行者的信用為基礎(chǔ)發(fā)行的、除國(guó)債和中央銀行票據(jù)之外的、非國(guó)家信用的固定收益類金融工具，主要包括：企業(yè)債、公司債、中期票據(jù)、短期融資券、可轉(zhuǎn)債、可分離債及資產(chǎn)支持證券等。信用債券是企業(yè)融資和金融市場(chǎng)投資的重要工具，其特殊的地位與性質(zhì)已經(jīng)逐步引起政府的高度重視。在相關(guān)政策的支持下，信用債券在中國(guó)正步入快速發(fā)展的黃金時(shí)期，市場(chǎng)規(guī)模己經(jīng)從2000年底的不足500億擴(kuò)展到2014 年底的超過10 萬億。隨著信用債券市場(chǎng)的迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)相繼出現(xiàn)了20 多個(gè)以信用債券為主要投資對(duì)象的信用債券型基金，如博時(shí)信用債券型基金、銀華信用債券型基金、招商信用債券型基金、國(guó)泰信用債券型基金以及匯添富信用債券型基金等。

目前，關(guān)于信用債券的理論研究主要集中在定價(jià)領(lǐng)域，對(duì)于信用債券最優(yōu)投資策略的研究尚屬于起步階段。Korn等［1］以及Kraft等［2］率先研究了信用債券的最優(yōu)投資策略，他們采用Morton［3］的結(jié)構(gòu)化模型對(duì)信用債券進(jìn)行定價(jià)，以彈性和久期作為控制變量，通過求解HJB方程，得到了最優(yōu)投資策略。在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上，Wise等［4］在投資組合中引入了違約相關(guān)性，在離散時(shí)間下得到了最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資策略；Zagst等［5］研究了投資者如何對(duì)不同國(guó)家的主權(quán)債券（存在違約風(fēng)險(xiǎn)）進(jìn)行最優(yōu)配置的問題；Jobst等［6］考慮了投資者存在負(fù)債的情形，利用多情景下的隨機(jī)規(guī)劃方法來求解優(yōu)化問題。

還有學(xué)者在Jarrow 等［7］的簡(jiǎn)約化模型框架下，對(duì)此問題進(jìn)行研究。Bielecki等［8］利用隨機(jī)控制方法，研究了投資者對(duì)單個(gè)信用債券、股票及銀行存款的最優(yōu)配置問題，分析了信用債券的跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與最優(yōu)投資策略之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［9-12］中從隨機(jī)跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、隨機(jī)利率、隨機(jī)違約強(qiáng)度以及隨機(jī)回收率等方面對(duì)文獻(xiàn)［8］中的研究進(jìn)行了拓展。文獻(xiàn)［13-14］中則利用鞅方法分別研究了固定利率和隨機(jī)利率下投資者對(duì)單個(gè)信用債券的最優(yōu)投資問題。文獻(xiàn)［15-18］中放棄了各信用債券之間的違約相互獨(dú)立的假設(shè)，分析了投資者投資于信用債券組合時(shí)，信用債券之間的聯(lián)合違約及違約傳染對(duì)最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資策略的影響。

此外，Meindl等［19］在投資模型中引入了交易費(fèi)用，利用滾動(dòng)時(shí)域控制方法和蒙特卡洛模擬求解出投資者對(duì)信用債券的最優(yōu)持有。Biagin等［20-21］采用局部風(fēng)險(xiǎn)最小化方法，求解出了可違約權(quán)益的最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資策略。Capponi等［22-23］在信用債券定價(jià)模型中引入了機(jī)制轉(zhuǎn)換，在此基礎(chǔ)上，利用隨機(jī)控制方法研究了信用債券的最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資策略。

目前，國(guó)內(nèi)的信用債券型基金多以開放式運(yùn)作［24］。但上述有關(guān)信用債券最優(yōu)投資策略的研究，均是以投資者的投資策略為自融資策略展開的，即假設(shè)投資者在投資期限內(nèi)，除了初始財(cái)富外并無額外的資金進(jìn)出。這一關(guān)鍵性的假設(shè)顯然不適合開放式信用債券型基金的投資策略。鑒于此，本文放松自融資策略的假設(shè)，研究開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資問題，為開放式信用債券型基金的投資管理提供指導(dǎo)，同時(shí)豐富和完善信用債券最優(yōu)投資策略的理論研究。

1 市場(chǎng)投資環(huán)境

假設(shè)金融市場(chǎng)是一個(gè)無摩擦、無套利的完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，金融資產(chǎn)可以被連續(xù)性交易。在市場(chǎng)上，所有投資者都是價(jià)格接受者，即單個(gè)投資者的投資決策并不能改變金融資產(chǎn)的價(jià)格。假設(shè)存在一個(gè)完備的概率空間（Ω，G，Q）。Q是真實(shí)概率P的等價(jià)鞅概率測(cè)度（風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度）。令τ為概率空間上的一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，表示信用債券的違約時(shí)間。假設(shè)Q（τ=0）=0，Q（τ＞0）＞0。定義一個(gè)右連續(xù)過程H，H（t）=1｛τ≤t｝，其中，1｛τ≤t｝為示性函數(shù)。

假設(shè)開放式信用債券型基金的投資集為信用債券和銀行存款。下面將對(duì)這兩類資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程以及基金的財(cái)富動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行描述。

1.1 各資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程

設(shè)一個(gè)信用債券的到期日為T1，票面價(jià)值為1，違約時(shí)間為τ。當(dāng)τ∈（T1，∞）時(shí)，債券不發(fā)生違約，投資者于到期日收回債券的票面價(jià)值。當(dāng)τ∈（0，T1）時(shí)，債券違約，債券的市場(chǎng)價(jià)值將變?yōu)?，但投資者可以按照債券違約前的市場(chǎng)價(jià)值收回部分投資［25］。由此可得概率Q下信用債券的價(jià)格為

式中：r為無風(fēng)險(xiǎn)短期利率；h Q為過程τ的風(fēng)險(xiǎn)中性違約強(qiáng)度；ι為違約損失率，假設(shè)它們均為常數(shù)。

對(duì)式（1）利用伊藤定理，可得概率Q下信用債券價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程：

式中，補(bǔ)償跳躍鞅過程MQ（t）滿足

假設(shè)在概率Q下銀行存款滿足如下動(dòng)態(tài)過程：

1.2 財(cái)富的動(dòng)態(tài)過程

假設(shè)開放式信用債券型基金的資金凈流入為一個(gè)隨機(jī)過程，并滿足

式中：κ為期望凈流入率；在固定利率條件下，資金凈流入的隨機(jī)性主要受信用債券收益的波動(dòng)影響，波動(dòng)率為σ。

基金的初始金額x＞0，投資期限為［0，T］，T＜T1；投 資 策 略π（t）=（πp（t），1-πp（t））′，πp（t）為基金投資于信用債券的份額，1-πp（t）為投資于銀行存款的份額。令Xπ（t）表示該投資組合，則Xπ（t）應(yīng)滿足如下動(dòng)態(tài)過程：

將式（2）、（3）代入式（5），可得

式中，Xπ（0）=x。可以發(fā)現(xiàn)，由于C（t）dt的存在，使得開放式信用債券型基金的投資策略不再是自融資策略。此時(shí)，未來資金凈流入的現(xiàn)值期望將會(huì)對(duì)開放式信用債券型基金的投資策略產(chǎn)生重要的影響［26］。

定義1參照卞世博［27］，定義資金凈流入的現(xiàn)值期望為

假設(shè)D（0）=d，其中EQ為風(fēng)險(xiǎn)中性概率Q的期望。則D（t）可以表示為C（t）的函數(shù)，即

式中，θ=κ-r。

證明見附錄A。

對(duì)式（7）進(jìn)行微分，并利用式（4），可得

定義2參照卞世博［27］，定義開放式信用債券型基金的財(cái)富過程為

對(duì)式（9）進(jìn)行微分，并利用式（6）、（8），可得

可以發(fā)現(xiàn)，折現(xiàn)的財(cái)富動(dòng)態(tài)過程是一個(gè)鞅過程：

由此可知，

由于開放式信用債券型基金是在真實(shí)概率P下進(jìn)行投資決策的，故需要將概率測(cè)度從風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q轉(zhuǎn)化為真實(shí)概率測(cè)度P。在無套利市場(chǎng)假設(shè)下，由Girsanov定理1）具體證明詳見Kusuoka［28］可知，存在一個(gè)Radon-Nikodym 密度鞅過程Z（t）=dQ/dP，使得

式中：EP為真實(shí)概率P的期望；Z（t）則應(yīng)滿足條件EP（Z（T*））=1。

同時(shí)，

其中：μ=h P/h Q，μ為跳躍風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格；h P為真實(shí)概率P的違約強(qiáng)度；

是真實(shí)概率P的鞅。

2 最優(yōu)投資策略

開放式信用債券型基金通過動(dòng)態(tài)調(diào)整投資策略，以實(shí)現(xiàn)基于最終財(cái)富的期望效用最大化。令U（v）為開放式信用債券型基金的效用函數(shù)，J（v）為實(shí)施最優(yōu)投資策略π*后的最大化效用，則開放式信用債券型基金所面臨的最優(yōu)化問題為：

下面利用鞅方法來求解此問題。

假設(shè)效用函數(shù)U是嚴(yán)格遞增且凹的函數(shù)，則效用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)U′是嚴(yán)格遞減且連續(xù)的，因而存在一個(gè)嚴(yán)格遞減且連續(xù)的反函數(shù)I（Y），使得

定義U的對(duì)偶函數(shù)

則當(dāng)V=I（Y）時(shí)，取最大值，即

當(dāng)且僅當(dāng)V=I（Y）時(shí)，上式為等式。

將Y（v）看作最優(yōu)化問題約束條件的拉格朗日乘數(shù)，可以將帶約束條件的最優(yōu)化問題式（13）轉(zhuǎn)化為無約束條件的最優(yōu)化問題，即

對(duì)式（15）利用式（14）的結(jié)果，可得

當(dāng)且僅當(dāng)

上式為等式。此時(shí)V（T）為最優(yōu)的最終財(cái)富。

進(jìn)一步，假設(shè)開放式信用債券型基金的效用函數(shù)為冪效用函數(shù)，滿足U（V）=lnV。

此時(shí)，U′的反函數(shù)為

利用式（12）、（16）和式（17），可得

從而可得

將式（20）代入式（17），并利用式（18），可得最優(yōu)的最終財(cái)富：

對(duì)式（20）進(jìn)一步整理，可得

命題1令v為開放式信用債券型基金的初始財(cái)富，V（T）為T時(shí)刻的最終財(cái)富，在冪效用函數(shù)下，開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資策略為

證明見附錄B。

由式（22）可以直觀地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略為跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ的增函數(shù)，違約損失率ι的減函數(shù)。該策略還受資金凈流入的波動(dòng)率σ的影響，σ越大，說明資金凈流入的波動(dòng)就越大，基金為了避險(xiǎn)會(huì)減少對(duì)信用債券的持有。開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略與投資時(shí)刻密切相關(guān)，但無法直接看出，其隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，將在下一節(jié)通過數(shù)值模擬的方式對(duì)此進(jìn)行分析。

3 數(shù)值模擬

為了使結(jié)果更加直觀，本節(jié)用數(shù)值模擬的方式，來討論開放式信用債券型基金最優(yōu)投資策略的一些性質(zhì)，重點(diǎn)考察最優(yōu)投資策略與信用債券的跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、違約損失率以及剩余投資期限之間的關(guān)系。數(shù)值分析中的具體參數(shù)2）有關(guān)信用債券相關(guān)參數(shù)的取值參照了Driessen［29］：

μ—跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，取值1～3

ι—違約損失率，取值0.1～1

r—無風(fēng)險(xiǎn)利率，取值0.03

κ—期望凈流入率，取值0.06

σ—資金凈流入波動(dòng)率，取值0.01

T-t—剩余投資期限，取值0～20

由圖1可以直觀地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略是跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ的增函數(shù)。在保持其他變量不變的情況下，隨著跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ的加大，基金將持有更多的信用債券。這從直覺上也不難理解，跳躍風(fēng)險(xiǎn)μ越大，說明市場(chǎng)對(duì)違約風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償也就越大，信用債券的收益也就越高，對(duì)基金越具吸引力，因而會(huì)增加對(duì)其的持有。開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略是違約損失率ι的減函數(shù)。在其他變量不變時(shí)，信用債券的違約損失率ι越高，信用債券違約后基金能收回的投資成本就越低，為了避險(xiǎn)，基金會(huì)減少對(duì)信用債券的持有。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)違約損失率ι較高時(shí)，基金對(duì)信用債券的持有對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ不是很敏感；但是當(dāng)違約損失率ι較低時(shí)，信用債券的最優(yōu)持有對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ的變化就變得較為敏感，跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ一個(gè)很小的擴(kuò)大，會(huì)大幅增加基金對(duì)信用債券的持倉比重。這可能是因?yàn)楫?dāng)違約損失率ι較高時(shí)，基金主要考慮的是信用債券所蘊(yùn)含的投資風(fēng)險(xiǎn)；而當(dāng)違約損失率ι較低時(shí)，基金主要考慮的是信用債券的投資收益。

圖1 信用債券的最優(yōu)投資策略與跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、違約損失率

圖2 信用債券的最優(yōu)投資策略與跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、剩余投資期限

圖2說明了跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ、剩余投資期限與信用債券最優(yōu)投資策略的關(guān)系。由圖2可以清楚地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略是剩余投資期限的增函數(shù)，隨著剩余投資期限的增長(zhǎng)，基金會(huì)增加對(duì)信用債券的持有。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剩余投資期限較短時(shí)，基金對(duì)信用債券的持有對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ不是很敏感；但是當(dāng)剩余投資期限較長(zhǎng)時(shí)，信用債券的最優(yōu)持有對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)μ的變化就變得較為敏感。這可能是因?yàn)楫?dāng)剩余投資期限較長(zhǎng)時(shí)，基金會(huì)選擇更積極的投資策略，對(duì)信用債券的收益更為看重；而隨著投資期限的臨近，基金會(huì)選擇相對(duì)保守的投資策略，更多地會(huì)考慮信用債券所蘊(yùn)含的風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié)語

以往對(duì)信用債券最優(yōu)投資策略的研究，均是基于投資者的自融資策略展開的。本文放松了這一假設(shè)，研究了開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資問題。假設(shè)開放式信用債券型基金的資金凈流入為一個(gè)隨機(jī)過程，基金的投資目標(biāo)為基于最終財(cái)富的期望效用最大化，研究了基金如何對(duì)信用債券以及銀行存款進(jìn)行最優(yōu)投資。通過假設(shè)基金的效用函數(shù)為冪效用函數(shù)，利用鞅方法得到了最優(yōu)投資策略的解析解。結(jié)果表明：開放式信用債券型基金對(duì)信用債券的最優(yōu)投資策略是跳躍風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)以及剩余投資期限的增函數(shù)；是違約損失率以及資金凈流入波動(dòng)率的減函數(shù)。

附錄A

式（7）的證明

證明由定義1可知，

由Shreve［30］可知，獨(dú)立于Ft，條件期望可以轉(zhuǎn)化為無條件期望，故可得

由式（4）可知，

對(duì)式（A4）求期望，可得

式中，θ≡κ-r。

由Fubini定理可得

將式（A6）代入式（A2），則可得到式（7）。

附錄B

命題1的證明

證明由式（21）可知，

由Girsanov定理可知，

對(duì)式（B1）利用伊藤定理，可得

將式（B3）～（B5）代入式（B2），可得

將式（B6）與式（11）比較即可得到命題1。