李玲玉，郭亞軍，易平濤

（東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110167）

在綜合評價過程中，對評價數(shù)據(jù)的無量綱化處理是一項重要的基礎(chǔ)性工作。到目前為止，研究與應(yīng)用最多的是線性的無量綱化方法，且大部分是從多種無量綱化方法相互比較［1］的角度進行分析，試圖尋找最優(yōu)的無量綱化方法［2-8］。為進一步改進無量綱化方法的處理結(jié)果，文獻［3，9］中在常用的線性無量綱化方法的基礎(chǔ)上，分別提出了更為合理的極標(biāo)復(fù)合法的復(fù)合無量綱化方法和改進的歸一化法。而通過已有研究可知，每種無量綱化方法各有其特點。文獻［5］中從無量綱化方法自身計算公式出發(fā)，分析了它們的特點及對綜合評價值的影響，發(fā)現(xiàn)選用不同的無量綱化方法得出的評價結(jié)論往往不一致。文獻［10］中對幾種常用的線性無量綱化方法的穩(wěn)定性進行分析，在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的無量綱化方法。而文獻［11］中討論了在綜合評價模型及權(quán)重系數(shù)給定的情況下，綜合評價結(jié)果（或排序）關(guān)于評價指標(biāo)類型一致化、評價指標(biāo)無量綱化方法的敏感性問題，首次指出綜合評價值的大小不僅取決于權(quán)重系數(shù)，還取決于無量綱化方法的選擇。

綜上所述，無量綱化方法的選取直接決定了評價結(jié)果的可信性。本文在已有研究基礎(chǔ)上，進一步構(gòu)建了無量綱化方法的選取原則，并通過隨機模擬仿真的方法，對各種原則進行了分析。然后，以拉開檔次法為例，尋找最佳的無量綱化方法，期望能夠最大程度體現(xiàn)被評價對象的差異以及提升該方法的穩(wěn)定性。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，線性比例法（分母取最小值mj）是最適合拉開檔次法的無量綱化方法。

1 選取無量綱化方法的原則

1.1 選取無量綱化方法的3個原則

在選取無量綱化方法時，不單要考慮無量綱化方法的性質(zhì)，還需將無量綱化方法同特定的綜合評價方法結(jié)合來考慮，才能得出適合于該綜合評價方法的最佳無量綱化方法。

文獻［13］中對幾種無量綱化方法的優(yōu)劣進行了比較，發(fā)現(xiàn)多種無量綱化方法得出結(jié)論不一致的原因是有時忽略了線性無量綱化方法的變異信息不變性這一性質(zhì)。若不具備變異信息不變性，則無量綱化處理前后的數(shù)據(jù)將具有不同的密集程度，必然影響綜合評價結(jié)果。因此，下面給出無量綱化方法的變異性原則，該原則是為了盡可能地保留無量綱化處理前后數(shù)據(jù)之間的差異。

（1）變異性原則。選用無量綱化方法，應(yīng)盡量保留指標(biāo)數(shù)據(jù)所包含的變異信息（即指標(biāo)數(shù)據(jù)無量綱化前后變異系數(shù)保持不變）［13］。

通常，綜合評價的最終目標(biāo)是拉開各被評價對象之間的差距。而使用不同的無量綱化方法進行預(yù)處理，綜合評價結(jié)果的分散程度也會不同，因此，在滿足原則（1）的前提下，給出差異性原則。

（2）差異性原則。選用無量綱化方法，應(yīng)盡量體現(xiàn)被評價對象s1，s2，…，sn之間的差異，即選擇使y1，y2，…，y n的離差平方和最大的無量綱化方法［12］。

理論上，給定一組評價數(shù)據(jù)，增加一個極端對象（指標(biāo)值非常小或非常大），原有被評價對象之間的綜合排序應(yīng)具有一致性。對于權(quán)重與評價數(shù)據(jù)無關(guān)的評價方法（即主觀賦權(quán)方法）這一結(jié)論完全成立，但是對于某些客觀綜合評價方法，如拉開檔次法、離差最大化方法、均方差法等，評價結(jié)果受無量綱化方法和賦權(quán)方法的雙重影響，該結(jié)論則不一定成立。本文將增加極端對象前后的綜合排序的一致性程度稱為評價方法的穩(wěn)定性，評價方法固定，可以得到使評價方法穩(wěn)定性最好的無量綱化方法，對應(yīng)如下穩(wěn)定性原則。

（3）穩(wěn)定性原則。選取無量綱化方法，應(yīng)使評價方法的穩(wěn)定性最好，即極端對象對評價結(jié)果影響越小越好。

1.2 3個原則的分析思路

（1）變異性原則。無量綱化處理之后的數(shù)據(jù)應(yīng)保留原始數(shù)據(jù)的變異信息。這里用變異系數(shù)來衡量指標(biāo)數(shù)據(jù)的變異信息，其計算公式為

式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)差；μ為均值。

該原則是從保證數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，以盡量使參與評價的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)具有相同的離散程度，在進行驗證時比對無量綱化處理前后數(shù)據(jù)的變異系數(shù)。在選取無量綱化方法時，該原則為首要原則。除特殊目的須采用特定無量綱化方法外，凡是不滿足變異性原則的無量綱化方法，可以不再進行其他原則的驗證。

（2）差異性原則。無量綱化方法的選取，應(yīng)使被評價對象的評價值y1，y2，…，y n的離差平方和最大，即

式中：y i為第i（i=1，2，…，n）個被評價對象的評價值；為評價值的平均值。

無量綱化方法的選取不能脫離評價方法本身，該差異性原則就是將無量綱化方法用于所選定的評價方法，以突出被評價對象之間的差異為目標(biāo)，由于衡量差異性原則的公式同拉開檔次法的目標(biāo)函數(shù)相似，故對拉開檔次法而言，該原則盡可能地突出了目標(biāo)函數(shù)（式A4）的作用。不同點在于，目標(biāo)函數(shù)（式A4）求出的是權(quán)重向量，而式（2）則是在用多種無量綱化方法對原始數(shù)據(jù)進行處理后，求出相應(yīng)權(quán)重，再進行集結(jié)求得綜合評價值以及評價值向量的離差平方和，最后選出離差平方和最大的評價值對應(yīng)的無量綱化方法。

（3）穩(wěn)定性原則。本文用Spearman相關(guān)系數(shù)來衡量增加極端對象前后原有被評價對象之間排序的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)越大，對應(yīng)的無量綱化方法使得拉開檔次法的評價結(jié)果越穩(wěn)定。Spearman相關(guān)系數(shù)的計算公式［14］為

式中，（x-y）表示增加極端對象前后原有被評價對象排序值之差。

該原則從保證方法內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，分析方法自身的穩(wěn)定性。

2 仿真分析

選取7種常用的線性無量綱化方法：標(biāo)準(zhǔn)化處理法、極值處理法、向量規(guī)范化法、歸一化處理法、線性比例法mj、線性比例法M j和線性比例法（均值）（線性比例法的計算公式為為特殊點，在本文分別取列最小值mj、列最大值M j和列均值），采用數(shù)值仿真方法，以拉開檔次法為例（見附錄）對選取無量綱化方法的原則進行分析。

2.1 變異性分析

根據(jù)原則（1），依據(jù)變異性原則設(shè)置如下數(shù)值仿真過程：

（1）設(shè)置仿真次數(shù)cnt；

（2）隨機產(chǎn)生n行m列原始評價數(shù)據(jù)；

（3）分別用6種無量綱化方法進行數(shù)據(jù)預(yù)處理；

需要說明的是，標(biāo)準(zhǔn)化處理法處理之后的數(shù)據(jù)列均值為0，計算變異系數(shù)時結(jié)果無窮大，因此不對該方法進行仿真。

（4）計算每一種無量綱化方法處理后數(shù)據(jù)的變異系數(shù)；

（5）將處理后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的變異系數(shù)進行比較，計算對應(yīng)項差值的平方和。將仿真2 000次與10 000次的結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差和均值進行比較，仿真結(jié)果如表1所示。

表1 各無量綱化方法變異信息仿真結(jié)果

由表1可見，用向量規(guī)范化法、歸一化處理法和線性比例法（當(dāng)x′分別取m j、M j和均值時）分別進行無量綱化處理后的數(shù)據(jù)變異系數(shù)，與原始數(shù)據(jù)變異系數(shù)對應(yīng)項相減的平方和，經(jīng)過多次仿真得到的結(jié)果無論是標(biāo)準(zhǔn)差還是均值都為0。說明向量規(guī)范化法、歸一化處理法和線性比例法（當(dāng)x′分別取m j、M j和均值時）均保留了原始數(shù)據(jù)的變異信息；而極值處理法沒有保留原始變異信息。此外，不同仿真次數(shù)對仿真結(jié)果的影響不大，因此，將仿真次數(shù)均設(shè)定為2 000次。

2.2 差異性分析

根據(jù)原則（2），為了驗證哪種無量綱化方法處理后綜合評價值y1，y2，…，y n的離差平方和最大，使用Excel軟件及其VBA 編程進行數(shù)值仿真，設(shè)置仿真步驟：

（1）設(shè)置仿真次數(shù)cnt；

（2）隨機產(chǎn)生n×m矩陣A數(shù)據(jù)（假設(shè)都為極大型指標(biāo)）；

（3）分別用7種線性無量綱化方法對矩陣A進行處理；

（4）采用拉開檔次法對7種無量綱化處理后的信息矩陣進行求解；

（5）計算每種無量綱化得到的評價值的離差平方和，并按離差平方和由大到小進行排序，得到一組序值；

（6）循環(huán)cnt次，計算所有序值的平均值。

不同被評價對象個數(shù)與指標(biāo)數(shù)目下均仿真2 000次，結(jié)果如表2所示。

表2 各無量綱化方法對應(yīng)的離差平方和排序值仿真結(jié)果

由表2仿真結(jié)果可見，在拉開檔次法中使用線性比例法mj進行無量綱化處理得到的最大離差平方和基本上是7種無量綱化方法中最大的。盡管采用標(biāo)準(zhǔn)化處理法與線性比例法mj進行無量綱化后得到的綜合評價值的離差平方和排序偶爾會變動，即標(biāo)準(zhǔn)化處理法得到的綜合評價值的離差平方和偶爾會大于線性比例法mj的離差平方和，但總體趨勢仍然是線性比例法mj能使被評價對象之間的整體差異最大。

分析表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在用拉開檔次法進行綜合評價時，各種無量綱化方法處理后得到的綜合評價值的離差平方和從大到小排序為：線性比例法mj＞標(biāo)準(zhǔn)化處理法＞線性比例法（均值）＞極值處理法＞線性比例法M j＞向量規(guī)范法＞歸一化處理法。

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)原則（3），分析各種無量綱化方法下拉開檔次法的穩(wěn)定性，設(shè)置仿真步驟：

（1）設(shè)置循環(huán)次數(shù)cnt；

（2）產(chǎn)生評價矩陣，隨機指定n行m列的原始評價數(shù)據(jù)矩陣，即A=［x i j］n×m；

（3）分別用7種線性無量綱化方法對矩陣A進行處理；

（4）采用拉開檔次法對7種無量綱化處理后的信息矩陣進行求解，計算各被評價對象的排序結(jié)果；

（5）增加一個被評價對象。按照

（極端對象各值距離各指標(biāo)的最大值t個步長，步長為0.2σj，第1個極端對象由各指標(biāo)的最大值組成）；或者按照

的方式增添單個被評價對象（設(shè)置極端對象各值距離各指標(biāo)的最小值t個步長，步長為0.2σj，第1個極端對象由各指標(biāo)的最小值組成），得到B=［x i+1，j］（n+1）×m；

（6）對數(shù)據(jù)矩陣B重復(fù)（3）～（4）；

（7）用Spearman's等級相關(guān)系數(shù)衡量原有被評價對象兩次評價排序的相關(guān)性；

（8）仿真cnt次，計算并保存Spearman相關(guān)系數(shù)的平均值。

從最大值方向加入極端對象，仿真2 000次，各種無量綱化方法的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 從最大值方向增加極端對象時Spearman相關(guān)系數(shù)隨步長t的變化

由圖1可知：①無論評價數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，線性比例法mj使得拉開檔次法的穩(wěn)定性最好；②評價數(shù)據(jù)服從均勻分布時，除線性比例法mj外，被評價對象的極端程度對結(jié)果的干擾程度不明顯；③數(shù)據(jù)服從均勻分布時，線性比例法mj對拉開檔次法的穩(wěn)定性影響明顯優(yōu)于其他方法。

從最小值方向加入極端對象，仿真2 000次，各種無量綱化方法的仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可知：①無論評價數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，線性比例法mj使得拉開檔次法的穩(wěn)定性最好；②隨著極端對象到最小值的距離增大，方法的穩(wěn)定性有下降的趨勢。

由以上仿真結(jié)果可知，無論評價數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，都可以得到線性比例法m j，使得拉開檔次法的穩(wěn)定性最好的結(jié)論。

3 結(jié)論

在3個原則下進行了相應(yīng)的仿真，分別得出以下結(jié)論：

（1）針對原則（1），通過仿真可知，向量規(guī)范化法、歸一化處理法和3 種線性比例法（分別為m j、M j和）保留了原始數(shù)據(jù)變異信息。

圖2 從最小值方向增加極端對象時Spearman秩相關(guān)系數(shù)隨步長t的變化

（2）針對原則（2），在拉開檔次法中應(yīng)用7種無量綱化方法，得到的綜合評價值的離差平方和按從大到小排序為：線性比例法mj＞標(biāo)準(zhǔn)化處理法＞線性比例法（均值）＞極值處理法＞線性比例法M j＞向量規(guī)范法＞歸一化處理法。

采用各種無量綱化方法分別對原始數(shù)據(jù)進行預(yù)處理時，因為它們的計算公式不同，得到的無量綱的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差也會不同。處理后的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越大，綜合評價結(jié)果的離差平方和也越大。

（3）針對原則（3），在拉開檔次法中應(yīng)用7種無量綱化方法，采用線性比例法mj能夠極大地提升拉開檔次法的穩(wěn)定性，這是無量綱化方法與拉開檔次法求權(quán)重的交互影響得到的結(jié)果。

綜合上述3條結(jié)論，得出適合于拉開檔次法的最佳無量綱化方法為線性比例法mj。

4 結(jié)語

本文構(gòu)建了選取無量綱化方法的3個原則，然后以拉開檔次法為例，對3個原則進行了仿真分析。最后，得出線性比例法mj（mj≠0）是適合于拉開檔次法的最佳無量綱化方法的結(jié)論。本文的研究思路可為其他綜合評價方法選取無量綱化方法的研究提供參考，以解決評價者面對眾多無量綱化方法無從選擇的難題。

附錄

拉開檔次法簡介

拉開檔次法［12］是從整體上盡可能體現(xiàn)各被評價對象之間差異的綜合評價方法，其原理如下：

設(shè)x1，x2，…，xm為極大型指標(biāo)（即指標(biāo)取值越大越好），取其線性函數(shù)為被評價對象的綜合評價函數(shù)，即

式中：w=（w1，w2，…，w m）T是m維待定正向量（其作用相當(dāng)于權(quán)系數(shù)向量）；x=（x1，x2，…，x m）T為被評價對象的指標(biāo)向量。如將第i個被評價對象Oi的m個無量綱化后的觀測值x i1，xi2，…，xim代入式（1），即得

則式（2）可寫為y=Aw。

確定權(quán)重系數(shù)向量w的準(zhǔn)則是求指標(biāo)向量X的線性函數(shù)wTX，使此函數(shù)對n個被評價對象取值的分散程度或方差盡可能大。

而變量y=wTx按n個被評價對象取值構(gòu)成樣本的方差為

顯然，對w不加限制時，式（3）可取任意大的值。這里限定wTw=1，求式（3）的最大值，即選擇w，使得