陳云龍

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最小值問題的解題思考

陳云龍

我們會經(jīng)常遇見一些求最小值的考題，如求線段長度之和的最小值、三角形周長的最小值或利用最小值求點(diǎn)的坐標(biāo)問題.解決這類問題主要是利用幾何結(jié)論，如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等.下面和同學(xué)們一起分享2015年中考數(shù)學(xué)試題中部分求最小值問題的解決方法.

例1（2015·武漢）如圖1，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是_______.

圖1

【分析】此題是通過作圖找出M，N關(guān)于直線OB，OA的對稱點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)之間，線的圖像上，若△PAB為直角三角形，則滿段最短”的線段公理解決問題，具有代表性.

圖2

解：作點(diǎn)M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+ PQ+QN的最小值.根據(jù)軸對稱的定義可知：

∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，

∴△ONN′為等邊三角形，

△OMM′為等邊三角形，

∴OM′=OM=1，N′O=NO=3，

∠N′OM′=30°+60°=90°，

∵在Rt△M′ON′中，M′O=1，N′O=3，

M′N′2=M′O2+N′O2，

【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是利用公理“兩點(diǎn)之間線段最短”來求解，分別作出點(diǎn)M，N關(guān)于直線OB，OA的對稱點(diǎn)M′，N′.因此必須掌握軸對稱有關(guān)概念、線段公理、等邊三角形相關(guān)性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn).同學(xué)們必須具備解題思路清晰、勇于實(shí)踐、敢于探索的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

例2（2015·南寧）如圖3，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°，點(diǎn)N是弧MB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上的一動點(diǎn).若 MN=1，則△PMN周長的最小值為（）. A.4B.5C.6D.7

圖3

【分析】作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′，連接MN′、NN′、ON′、ON，由兩點(diǎn)之間線段最短可知MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長值最小時的所求點(diǎn).根據(jù)點(diǎn)N是弧MB的中點(diǎn)可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′為等邊三角形，由此可得出結(jié)論.

圖4

解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′，

連接MN′，NN′，ON′，ON.

∵N、N′關(guān)于AB對稱，

∴MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長最小時的所求點(diǎn)，

∵N是弧MB的中點(diǎn)，

∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，

∴∠MON′=60°，

∴△MON′為等邊三角形，

∴MN′=OM=4，

∴△PMN周長的最小值為4+1=5.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題要我們求三角形周長的最小值，而M，N為定點(diǎn)，因此MN=1為定值，所以要求△PMN周長的最小值就是要求出PM+PN的最小值.我們不難想到用線段公理來解決問題.解題的關(guān)鍵是作出點(diǎn)N關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于點(diǎn)P′，利用軸對稱的性質(zhì)，此時P′M+P′N最小.本題把求三角形周長最小值問題轉(zhuǎn)化為求線段和最小值問題，解答此題思路要清晰，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng).

（1）求k的值；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖5

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)，以及AB=3BD求出點(diǎn)D坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k的值；

（2）直線y=3x與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；

解：（1）∵A（1，3），∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，∴BD=1，∴D（1，1），

將點(diǎn)D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：k=1.

（2）由（1）知，k=1，

（3）如圖6，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，

圖6

設(shè)直線C′D的解析式為：y=mx+n，

【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識點(diǎn)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式，用解方程組的思想方法解決問題，直線與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)求法等.熟練掌握待定系數(shù)法，作已知點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)并利用線段公理求最小值問題是解決本題的關(guān)鍵.此題可進(jìn)行變式訓(xùn)練，如在x軸上確定一點(diǎn)N，使△NCD周長最小等.

同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，要開動腦筋、潛心鉆研、善于積累，不斷提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué)）