劉瀟（山東科技大學(xué)，山東青島 266590）

淺析太陽影子定位的數(shù)學(xué)模型

劉瀟
（山東科技大學(xué)，山東青島 266590）

目前，相機(jī)的應(yīng)用非常普遍，從圖像或視頻中估算經(jīng)緯度是目前計算機(jī)視覺領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題之一。本文通過對問題的層層深入分析，引入太陽方位角、時角的概念，建立了物體與影子長度及太陽高度角之間的三角函數(shù)關(guān)系，而太陽高度角與緯度，太陽赤緯角和時角有關(guān)，所以確定了影子長度關(guān)于各個參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型，并分析了影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律。通過對某地直桿影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行分析，建立了數(shù)學(xué)模型來確定直桿所處的地理位置。

影子定位 數(shù)學(xué)模型 matlab軟件 拋物線擬合

1 概述

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)的一種方法。本文主要主要解決了兩個問題：

（1）本文通過引入各種與影子長度有關(guān)的參數(shù)，建立了一天中影子長度關(guān)于各個參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型，并分析了影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律。

（2）在太陽下豎立一根直桿，用相機(jī)錄下直桿的影子變化，通過分析影子的變化規(guī)律來確定直桿所在的地點(diǎn)。

本文中所用到的數(shù)學(xué)符號列表如表1。

2 建立影子長度變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

表1

在探討影子長度與各因素之間的關(guān)系時，忽略陽光在大氣中的折射而引起的角度變化。由于光在同種均勻物質(zhì)中延直線傳播，所以當(dāng)光遇到不透明的物體時，就會在物體后面形成影子。物體形成影子的示意圖如圖1。

由三角形關(guān)系有：

H為太陽高度角，對于地球上的某個地點(diǎn)，太陽高度角是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，專業(yè)上講太陽高度角是指某地太陽光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角。由于地球的自轉(zhuǎn)，造成太陽東升西落，太陽高度角在一日內(nèi)不斷發(fā)生變化。太陽高度角隨著地方時和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯（與太陽直射點(diǎn)緯度相等）以δ表示，觀測地地理緯度用φ表示（太陽赤緯與地理緯度都是北緯為正，南緯為負(fù)），地方時（時角）以 Ω表示，有太陽高度角的計算公式：

式中，N表示積日，即日期在一年內(nèi)的順序號；INT表示取整，即最終結(jié)果只保留整數(shù)部分即可，根據(jù)（3）、（4）、（5）、（6）式即可求得太陽赤緯。經(jīng)過以上分析，影子長度關(guān)于各個參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型為：

由以上數(shù)學(xué)模型可知影響影子長度變化的參數(shù)為物體的高度L、物體所處的緯度 φ、太陽赤緯 δ以及物體所處地方的時角 Ω。對以上各參數(shù)分別求偏導(dǎo)得：

由以上對于各個參數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)，運(yùn)用matlab對各偏導(dǎo)進(jìn)行分析，我們可以得出影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律如下：

（1）當(dāng)物體所處地點(diǎn)，日期以及所處地方的地方時都確定的條件下，物體的高度越高，在太陽照射下產(chǎn)生的影子越長。

（2）對于一個確定的物體，其高度是定值，當(dāng)它所處的日期，以及所處地方的地方時都確定的條件下，它所處地方的緯度距離當(dāng)時太陽直射點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)時，物體在太陽下形成的影子越長。

（3）對于一個高度確定的物體，當(dāng)它所處的緯度以及地方時確定時，當(dāng)太陽赤緯最小時即太陽赤緯為-23°26＇，南回歸線以南地區(qū)的地區(qū)影子長度達(dá)到最小，北回歸線以北地區(qū)影子長度達(dá)到最大；隨著太陽赤緯角的增大，南回歸線以南地區(qū)影子長度增長，北回歸線以北地區(qū)影子長度縮短。

（4）對于一個確定高度的物體，當(dāng)它所處的緯度以及太陽赤緯確定時，即緯度與日期確定時，物體在一天中不同時刻形成影子的長度關(guān)于地方時的正午十二點(diǎn)呈對稱關(guān)系，在早上天將亮和傍晚天將黑時影子最長，從早上隨著時間的推移，影子不斷變短，并且縮短速度越來越慢，在正午十二點(diǎn)時影子長度最短，由中午到傍晚，影子長度又不斷拉長，拉長速度越來越快。

3 由影子頂點(diǎn)坐標(biāo)變化求直桿所在地點(diǎn)

設(shè)固定直桿所在地點(diǎn)的經(jīng)緯度為（φ，λ），以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面 xoy為平面，直桿影長端點(diǎn)坐標(biāo)記為 （x， y），記錄在一段時間內(nèi)影子端點(diǎn)的多個坐標(biāo) （x1， y1）， （x2，y2）...（xn，yn），則影子長為

影子長是隨著時間變化的，利用在一段時間內(nèi)不同時刻記錄的影子長度，對影子長度與時間進(jìn)行拋物線擬合，得到影子長度與時間的函數(shù)關(guān)系如下：

接下來引入太陽方位角［1］的概念確定固定直桿所在地的緯度，太陽方位角即太陽所在的方位，指太陽光線在地平面上的投影與當(dāng)?shù)刈游缇€的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽光下的陰影與正南方的夾角。方位角以目標(biāo)物正北方向?yàn)榱?，順時針方向逐漸變大，其取值范圍是0°～360°。因此太陽方位角一般是以目標(biāo)物的正北方向?yàn)槠鹗挤较?，以太陽光的入射方向?yàn)榻K止方向，按順時針方向所測量的角度［2］。設(shè)太陽方位角為A則有

TT為真太陽時，TC為北京時間，CL為經(jīng)度修正，如果地方子午圈在北京子午圈的東邊，則為正，反之為負(fù)，QE 為時差。

綜上，我們可以得到固定直桿所在地點(diǎn)經(jīng)緯度的數(shù)學(xué)模型為：

4 結(jié)語

在太陽下豎立一根直桿，用相機(jī)拍攝下直桿影子變化的視頻。Matlab軟件工具箱中自帶的函數(shù)可以方便讀取AVI 文件的相關(guān)屬性和數(shù)據(jù)，利用這些屬性和數(shù)據(jù)可以提取出視頻文件中的任何一幀。然后針對每一幅圖像，采用二值化處理圖像求出分割閾值，進(jìn)而求出最優(yōu)閾值，進(jìn)而求出影子的長度，利用所建立的數(shù)學(xué)模型對影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行處理，即可確定出直桿所處的地理位置。

［1］王國安.太陽高度角和日出日落時刻太陽方位角一年變化范圍的計算.氣象與環(huán)境科學(xué)，第30卷增刊:第163頁，2007年9月.

［2］汪和平.太陽方位角的公式求解及其應(yīng)用.中國數(shù)學(xué)，2008年第9 版.高中版.

劉瀟（1994—），女，本科在讀，研究方向：機(jī)械設(shè)計制造及其自動化，就職于山東科技大學(xué)。