王秀梅

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思維訓(xùn)練營/思想方法
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

把握時(shí)機(jī) 體驗(yàn)過程

王秀梅

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是在數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中解決問題的根本想法，是分析問題、解決問題的金鑰匙，是數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和升華，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，能提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)，提高分析問題、解決問題的能力，以便于更好地為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù).統(tǒng)計(jì)作為研究、收集、整理、分析數(shù)據(jù)的一門學(xué)科，在實(shí)際操作中常會(huì)運(yùn)用以下數(shù)學(xué)思想方法.

一、把握絕佳時(shí)機(jī)，滲透分類思想

分類是一種非常重要的思想方法.通過分類可以把復(fù)雜的問題化為簡單而熟悉的問題進(jìn)行解決.只是在分類時(shí)要注意選擇正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，力爭做到不重不漏.

例1一組數(shù)據(jù)-1，0，3，5，x的極差是7，那么x的值可能有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】應(yīng)分兩種情況：

（1）當(dāng)x為最大值時(shí)，則x-（-1）=7，解得x=6；

（2）當(dāng)x為最小值時(shí)，則5-x=7，解得x=-2. 故x的值有2個(gè)，應(yīng)選擇B.

【答案】B.

【點(diǎn)撥】此題易忽視“x為最小值”這種情況，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

二、注重過程體驗(yàn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思維策略.通過抽象思維和形象思維相結(jié)合，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性和深刻性.

例2為了解學(xué)生對心理健康知識(shí)的掌握程度，某校從800名在校學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名進(jìn)行問卷調(diào)查，并按“優(yōu)秀”“良好”“一般”“較差”四個(gè)等級統(tǒng)計(jì)，繪制成如下的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

程度　　頻數(shù)　　頻率優(yōu)秀　60　0.3良好　100　a一般　b　0.15較差　c　0.05

請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：

（1）求頻數(shù)分布表中a、b、c的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）請你估計(jì)該校學(xué)生對心理健康知識(shí)掌握程度達(dá)到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù).

【分析】（1）由頻數(shù)（率）分布表知，優(yōu)秀的頻數(shù)60，頻率0.3，根據(jù)頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系可求抽樣的總?cè)藬?shù)，從而求得良好的頻率a為0.5，一般的頻數(shù)b為30，較差的頻數(shù)c為10.

（2）根據(jù)頻數(shù)分布表可知優(yōu)秀學(xué)生的頻率為0.3，該校有800名學(xué)生，即可估計(jì)出該校學(xué)生對心理健康知識(shí)掌握程度達(dá)到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù).

解：（1）∵抽樣的總?cè)藬?shù)為60÷0.3=200，

∴a=100÷200=0.5，b=200×0.15=30，c= 200×0.05=10.

根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全分布直方圖：

（2）∵800×0.3=240（人），

∴該校學(xué)生對心理健康知識(shí)掌握程度達(dá)到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù)估計(jì)為240人.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的知識(shí)，能夠讀懂圖表中的數(shù)據(jù)是關(guān)鍵，同學(xué)們要深刻理解數(shù)形結(jié)合的思想，并根據(jù)各頻數(shù)之間、各頻率之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解題.

三、建立知識(shí)聯(lián)系，滲透整體思想

已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)或方差，求與之相關(guān)的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)或方差時(shí)，常常需要結(jié)合平均數(shù)或方差的定義，運(yùn)用整體思想解決.

例3如果數(shù)據(jù)x1、x2、x3的平均數(shù)是2，那么數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均數(shù)是_______.

【分析】因?yàn)閤1、x2、x3的平均數(shù)是2，所以x1+x2+x3=6，要求數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均數(shù)，只要利用平均數(shù)的定義，整體代入求解.

【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，如果每個(gè)數(shù)據(jù)都放大或縮小相同的倍數(shù)后再同減去一個(gè)數(shù)，其平均數(shù)也有相對應(yīng)的變化.

四、產(chǎn)生自然需求，滲透統(tǒng)計(jì)思想方法

統(tǒng)計(jì)是一種數(shù)學(xué)思想，也是認(rèn)識(shí)客觀事物、描述生活現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的一種方法.由于它與實(shí)際生活聯(lián)系密切，因此也成為中考的熱點(diǎn).其實(shí)這類問題并不難，只要把握好概念間的相互聯(lián)系以及概念的靈活應(yīng)用，問題就會(huì)迎刃而解.

例4某校有21名同學(xué)參加比賽，預(yù)賽成績各不相同，要取前11名參加決賽，小穎已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進(jìn)入決賽，只需再知道這21名同學(xué)成績的（）.

A.最高分B.中位數(shù)

C.極差D.平均數(shù)

【分析】一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).小穎想知道自己能否進(jìn)入決賽，只要知道她的預(yù)賽成績所在的位置是在第11位之前或之后即可.而排列以后的第11位同學(xué)的成績正好是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).故她只要知道這21名同學(xué)成績的中位數(shù)即可.

【答案】B.

【點(diǎn)撥】本題考查了統(tǒng)計(jì)學(xué)最基本的定義，涉及數(shù)據(jù)的平均水平等相關(guān)的內(nèi)容.

例5在某項(xiàng)針對18～35歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調(diào)查中，設(shè)一個(gè)人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為m，規(guī)定：當(dāng)m≥10時(shí)為A級，當(dāng)5≤m＜10時(shí)為B級，當(dāng)0≤m＜5時(shí)為C級.現(xiàn)隨機(jī)抽取30個(gè)符合年齡條件的青年人開展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調(diào)查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下：

（1）求樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率；

（2）試估計(jì)1 000個(gè)18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù).

【分析】（1）先將數(shù)據(jù)分組整理，再計(jì)算頻率；

（2）根據(jù)（1）中求出的頻率，乘總?cè)藬?shù)便求得答案.

解：（1）將30個(gè)數(shù)據(jù)分組整理如下表：

分組　　頻數(shù)　　頻率A級（m≥10）　15 B級（5≤m＜10）　11 C級（0≤m＜5）　4合計(jì)　30

由15÷30=50%，得樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率為50%.

（2）1 000×50%=500（人），所以估計(jì)1 000個(gè)18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)為500人.

【點(diǎn)撥】統(tǒng)計(jì)與概率問題是中考試題中的必考題型之一，對于統(tǒng)計(jì)類問題，關(guān)鍵是數(shù)據(jù)的整理、描述與分析，常見的問題是統(tǒng)計(jì)圖表，本題一改常態(tài)，沒有考查圖表，但解題時(shí)，自己列表整理數(shù)據(jù)，能使數(shù)據(jù)更容易統(tǒng)計(jì)計(jì)算.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）