浙江省寧波市北侖明港中學(xué)　(315806)

甘大旺

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琴生不等式的類別與運(yùn)用

浙江省寧波市北侖明港中學(xué)(315806)

甘大旺

琴生(Jensen，1859 ～ 1925)在丹麥的納克斯考出生，跟隨做地產(chǎn)經(jīng)理的父親在瑞典度過大部分童年時(shí)光，17歲考進(jìn)瑞典的哥本哈根科技學(xué)院，沒有拿到大學(xué)文憑就跟隨父母返回了丹麥，隨后自學(xué)數(shù)學(xué)，22歲至65歲在電話公司從事技術(shù)工作，是一位成功的電訊工程師.琴生利用業(yè)余時(shí)間鉆研數(shù)學(xué)，其中流傳至今的研究成果是以凹凸函數(shù)為基礎(chǔ)的“琴生不等式”.

若f(x)在D內(nèi)下凹上凸(即對(duì)于任意x∈D都有二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0)且連續(xù)，則就把上面的“≤”替換成“≥”.

琴生不等式的加權(quán)形式：若f(x)在區(qū)間D內(nèi)是上凹下凸的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意的n(≥2)個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn∈D，及μ1、μ2、…、μn∈R+(其中μ1+μ2+…+μn=1)，則恒有不等式f(μ1x1+μ2x2+…+μnxn) ≤μ1f(x1)+μ2f(x2)+…+μnf(xn)(其中“≤”當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取“=”)；

若f(x)在D內(nèi)是下凹上凸的連續(xù)函數(shù)，則就把上面的“≤”替換成“≥”.

下面例談琴生不等式的簡潔運(yùn)用，并說明琴生不等式的幾何意義，使讀者能夠樂于選用并且還善于運(yùn)用琴生不等式.

(A)q=rp

(C)p=rq

圖1

于是，函數(shù)f(x)區(qū)間(0，s)內(nèi)是上凹下凸的函數(shù)，則運(yùn)用琴生不等式得

例3(2011年湖北高考?jí)狠S題)設(shè)bk(k=1，2，…，n)均為正數(shù)，若b1+b2+…+bn=1，證明：

綜合(1)、(2)得，原連接不等式正確.

補(bǔ)注：①此題是2005年全國高考?jí)狠S題的改編題；②這里兩次構(gòu)造的函數(shù)，都是用分析法所牽引出來的，這優(yōu)于命題組提供的引理鋪墊式的證法；③這里兩次運(yùn)用到琴生不等式，其第一次幾何意義涉及凹凸函數(shù)圖像的內(nèi)接凸邊形的加權(quán)重心，第二次幾何意義類似于例2，請(qǐng)讀者畫出兩個(gè)示意圖.

為了既盡量節(jié)省篇幅又要展現(xiàn)琴生不等式的實(shí)用價(jià)值，下面列舉用琴生不等式所能簡潔解決的4道題目及提示，把解答過程留給讀者完成.

提示：由琴生不等式和淘汰法，推測二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0，構(gòu)造f(x)=2x-1，填2047.

3.(2012年湖北高考末尾題改編題)給出一個(gè)命題：“設(shè)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2”.將上述命題推廣到一般形式，并加以證明.

提示：推廣命題為——“若a1、a2、…、an(其中n≥2)為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1、b2、…、bn為正有理數(shù)，且b1+b2+…+bn=1，n≥2，則a1b1anbn…anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn”.證法類似于例3.

4.(1)在△ABC中，求證：

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1；

(2) (第20屆伊朗奧數(shù)題)已知正數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2+xyz=4，證明：x+y+z≤3.

[1]何先俊，羅偉.曲線凹凸性在高考選擇題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014(9)：61-63.

[2]甘大旺.高考數(shù)學(xué)150專題[M].湖北教育出版社，2015：297-298.