浙江省寧波市北侖明港中學(xué) (315806)
甘大旺
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琴生不等式的類別與運(yùn)用
浙江省寧波市北侖明港中學(xué)(315806)
甘大旺
琴生(Jensen,1859 ~ 1925)在丹麥的納克斯考出生,跟隨做地產(chǎn)經(jīng)理的父親在瑞典度過大部分童年時(shí)光,17歲考進(jìn)瑞典的哥本哈根科技學(xué)院,沒有拿到大學(xué)文憑就跟隨父母返回了丹麥,隨后自學(xué)數(shù)學(xué),22歲至65歲在電話公司從事技術(shù)工作,是一位成功的電訊工程師.琴生利用業(yè)余時(shí)間鉆研數(shù)學(xué),其中流傳至今的研究成果是以凹凸函數(shù)為基礎(chǔ)的“琴生不等式”.
若f(x)在D內(nèi)下凹上凸(即對(duì)于任意x∈D都有二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0)且連續(xù),則就把上面的“≤”替換成“≥”.
琴生不等式的加權(quán)形式:若f(x)在區(qū)間D內(nèi)是上凹下凸的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意的n(≥2)個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn∈D,及μ1、μ2、…、μn∈R+(其中μ1+μ2+…+μn=1),則恒有不等式f(μ1x1+μ2x2+…+μnxn) ≤μ1f(x1)+μ2f(x2)+…+μnf(xn)(其中“≤”當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取“=”);
若f(x)在D內(nèi)是下凹上凸的連續(xù)函數(shù),則就把上面的“≤”替換成“≥”.
下面例談琴生不等式的簡潔運(yùn)用,并說明琴生不等式的幾何意義,使讀者能夠樂于選用并且還善于運(yùn)用琴生不等式.
(A)q=r
p
(C)p=rq
圖1
于是,函數(shù)f(x)區(qū)間(0,s)內(nèi)是上凹下凸的函數(shù),則運(yùn)用琴生不等式得
例3(2011年湖北高考?jí)狠S題)設(shè)bk(k=1,2,…,n)均為正數(shù),若b1+b2+…+bn=1,證明:
綜合(1)、(2)得,原連接不等式正確.
補(bǔ)注:①此題是2005年全國高考?jí)狠S題的改編題;②這里兩次構(gòu)造的函數(shù),都是用分析法所牽引出來的,這優(yōu)于命題組提供的引理鋪墊式的證法;③這里兩次運(yùn)用到琴生不等式,其第一次幾何意義涉及凹凸函數(shù)圖像的內(nèi)接凸邊形的加權(quán)重心,第二次幾何意義類似于例2,請(qǐng)讀者畫出兩個(gè)示意圖.
為了既盡量節(jié)省篇幅又要展現(xiàn)琴生不等式的實(shí)用價(jià)值,下面列舉用琴生不等式所能簡潔解決的4道題目及提示,把解答過程留給讀者完成.
提示:由琴生不等式和淘汰法,推測二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0,構(gòu)造f(x)=2x-1,填2047.
3.(2012年湖北高考末尾題改編題)給出一個(gè)命題:“設(shè)a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2”.將上述命題推廣到一般形式,并加以證明.
提示:推廣命題為——“若a1、a2、…、an(其中n≥2)為非負(fù)實(shí)數(shù),b1、b2、…、bn為正有理數(shù),且b1+b2+…+bn=1,n≥2,則a1b1anbn…anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn”.證法類似于例3.
4.(1)在△ABC中,求證:
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1;
(2) (第20屆伊朗奧數(shù)題)已知正數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2+xyz=4,證明:x+y+z≤3.
[1]何先俊,羅偉.曲線凹凸性在高考選擇題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2014(9):61-63.
[2]甘大旺.高考數(shù)學(xué)150專題[M].湖北教育出版社,2015:297-298.