安徽省太和中學(xué)　孫恒啟

追及問題中錯解分析

安徽省太和中學(xué)孫恒啟

在運(yùn)動學(xué)中，追及問題是比較容易出錯的，尤其在我們初學(xué)的時候，總是不經(jīng)意間就陷入題目所設(shè)置的“陷阱”中。結(jié)合平時的學(xué)習(xí)，我們一起來探討一下關(guān)于追及過程中勻減速直線運(yùn)動的問題。

一、追及和相遇

1.定義：指同一時刻到達(dá)同一位置。

2.兩個關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，則相遇時位移相等。二是相遇物體的運(yùn)動時間也存在一定的關(guān)系：若物體甲、乙同時出發(fā)，運(yùn)動時間相等；若甲比乙早出發(fā)Δt，則運(yùn)動時間關(guān)系為t甲=t乙+Δt。

要使兩物體相遇，就必須同時滿足位移關(guān)系和運(yùn)動時間關(guān)系。

3.一個條件：兩者速度相等，這往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。

例1甲、乙兩輛汽車在一條平直的公路上同向行駛，甲在前，乙在后，甲的速度為v1=8 m/s，乙的速度為v2=16 m/s，當(dāng)兩車相距為L=8 m時，甲車突然以a1=2 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動，同時乙車立即剎車，為了避免兩車相撞，乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

分析解答本題時要注意相遇的條件：當(dāng)乙車追上甲車時，若兩車的速度恰好相等，則乙車剎車時加速度為最小值。再根據(jù)位移關(guān)系求出時間，根據(jù)速度相等條件求出加速度。

解設(shè)乙車剎車時加速度的最小值為a2，當(dāng)乙車追上甲車且兩車的速度恰好相等時，經(jīng)過的時間為t，此時兩車的速度為v，

根據(jù)位移關(guān)系，有s2-s1=L①，

對甲，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，

對乙，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，

有s2=v2t-③，

又因為v=v1-a1t④，

v=v2-a2t⑤，

由①、②、③、④、⑤并代入數(shù)據(jù)，解得：a2=6 m/s2。

乙車的加速度至少為6 m/s2。

點(diǎn)評本題是追及問題，關(guān)鍵是尋找臨界條件。

拓展1對于例1，若L=16 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=16 m，即可求得a=4 m/s2，即乙車的加速度至少為4 m/s2。

拓展2對于例1，若L=32 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=32 m，即可求得a=3 m/s2，即乙車的加速度至少為3 m/s2。

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，拓展2的答案不妥。結(jié)合拓展1分析可知，對甲而言，4 s時已經(jīng)停了，對乙來說，則需要s方能停止。究其原因，是出現(xiàn)了反向加速運(yùn)動的情況，與實際情況不符，不符合題意。

對于拓展2的正確解答：

設(shè)乙車剎車時加速度的最小值為a2。當(dāng)乙車追上甲車速度恰好相等時，經(jīng)過的時間為t，此時兩車的速度為v。

根據(jù)位移關(guān)系，

有s2-s1=L①，

對甲，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，

有v21=2a1s1②，

對乙，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，

有v22=2a2s2③，

根據(jù)圖像亦可得到同樣的結(jié)論。

例1圖

拓展2圖

分析如圖，例1圖所示陰影部分的面積表示L=8 m，速度相等時剛好相遇，如果乙的加速度小些，則相遇時乙的速度仍大于甲的速度，不符合題意，即乙車的加速度至少為6 m/s2。

拓展1圖所示陰影部分的面積表示L=16 m，速度相等且為零時剛好相遇，如果乙的加速度小些，則乙追上甲時乙的速度仍大于0，而此時甲剛好停止，不符合題意，即乙車的加速度至少為4m/s2。

拓展2圖所示陰影部分的面積表示L=32 m，甲的速度為0時乙不可能追上甲，因此必須當(dāng)乙剛好追上甲時速度也是0才符合題意，即乙車的加速度至少為

如何利用追及中的“兩關(guān)系、一條件”是避免錯誤的核心內(nèi)容，被追及的物體做勻減速直線運(yùn)動時一定要注意“停而復(fù)返”和“停而止”的問題，相信結(jié)合圖像分析能使我們更充分地理解。通過下面的例題，再來感受一下這一思想的巧妙之處。

例2如圖，A、B兩物體相距為s=7 m，物體A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以vA=4 m/s的速度向右勻速運(yùn)動。而物體B此時的速度vB=10 m/s，方向向右，由于摩擦力的作用向右做勻減速運(yùn)動，加速度為a=-2 m/s2，那么物體A追上物體B所用的時間為（）。

A.7 s B.8 s C.9 s D.10 s

例2圖

拓展對于例2，若改“由于摩擦力的作用”為“在外力和摩擦力的作用下”，其他條件不變則應(yīng)選哪一項？

我們可以看到原題是“停而止”，而拓展則是“停而復(fù)返”，故答案分別為B和A。

通過這樣的學(xué)習(xí)我們以后的學(xué)習(xí)中一定要注意多角度、多方法、多情景、多拓展地分析和解決運(yùn)動學(xué)類的題目。?