劉宣亮，江文超

（華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州　510640）

·數(shù)學(xué)·

一類具有非線性發(fā)生率的生態(tài)-流行病模型分析

劉宣亮，江文超

（華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510640）

對僅在捕食者中傳播且具有非線性發(fā)生率的一類生態(tài)-流行病進(jìn)行了研究.考慮了系統(tǒng)解的有界性、邊界平衡點與正平衡點的存在條件及穩(wěn)定性；利用分支理論與方法討論了正平衡點的Bogdanov-Takens分支產(chǎn)生的條件，得到了相應(yīng)的鞍結(jié)點分支曲線、Hopf分支曲線和同宿分支曲線；對正平衡點的Hopf分支，討論了分支的方向及穩(wěn)定極限環(huán)的存在性.

生態(tài)-流行病模型；非線性發(fā)生率；穩(wěn)定性；分支

【引用格式】劉宣亮，江文超.一類具有非線性發(fā)生率的生態(tài)-流行病模型分析［J］.北華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，17（3）: 281-289.

1　引　言

近幾十年來，種群動力學(xué)和傳染病動力學(xué)得到了廣泛的研究，作為種群生態(tài)學(xué)與傳染病動力學(xué)的一種結(jié)合，考慮疾病在相互作用的種群之間傳播的生態(tài)-流行病模型也引起了人們越來越多的關(guān)注［1-9］.文獻(xiàn)［2-3］對疾病僅在食餌中傳播，且疾病發(fā)生率為雙線性的情形進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［4］進(jìn)一步考慮了疾病發(fā)生率為非線性的情形，研究了其豐富的動力學(xué)性質(zhì).本文研究如下疾病僅在捕食者中傳播，只有易感捕食者捕食食餌，且疾病發(fā)生率為非線性的一類捕食者-食餌模型:

其中:S，I分別表示捕食者中易感者和染病者的密度；x表示食餌的密度；r表示食餌的內(nèi)稟增長率；k表示食餌種群的環(huán)境容納量；mxS為功能性反應(yīng)函數(shù)；ε為轉(zhuǎn)化率；d表示捕食者的死亡率；b0I2S表示疾病的非線性發(fā)生率；c表示染病者的自然死亡率.所有參數(shù)都為正常數(shù).

2　解的有界性

（ⅰ）若X（t）≥1對任意的t≥0都成立，則當(dāng)t→+∞時，（X（t），S（t），I（t））→（1，0，0）；

（ⅱ）若存在一個t0≥0使得X（t0）＜1成立，則當(dāng)t＞t0時，有X（t）＜1成立；

（ⅲ）如果X（0）＜1，那么對任意的t＞0，有X（t）＜1成立.

（?。┤鬤（t）≥1對任意的t≥0都成立，從系統(tǒng)（2）中的前兩個方程可以得到

于是當(dāng)X（t0）＜1時，對t＞t0，有X（t）＜1成立.

（ⅲ）當(dāng)X（0）＜1時，利用（ⅱ）的證明過程可知對任意的t＞0，有X（t）＜1成立.證畢.

引理2存在一個M＞0，使得當(dāng)t充分大時，系統(tǒng)（2）的初值位于內(nèi)的任一解（X（t），S（t），I（t））滿足

0≤Y（t）≤exp（-min｛a2a3，a4｝（t-t*））Y（t*）+M［1-exp（-min｛a2a3，a4｝（t-t*））］，而上式右端當(dāng)t→+∞時極限為M，所以系統(tǒng)（2）的所有從中出發(fā)的解是最終正向有界的.證畢.

3　平衡點及其穩(wěn)定性

3.1邊界平衡點及其穩(wěn)定性

由系統(tǒng)（2）容易得到以下邊界平衡點E0（0，0，0），E10（1，0，0），E20（a3，a0（1-a3）/a1，0）.系統(tǒng)（2）在平衡點E0處的特征值為a0，-a2a3，-a4，因此E0為不穩(wěn)定的.在平衡點E10處的特征值為-a0，a2（1-a3），-a4，當(dāng)a3＞1時，E10是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)a3＜1時，E10是不穩(wěn)定的.當(dāng)a3＜1時，在內(nèi)E20存在，系統(tǒng)（2）在E20處的特征方程為

其特征值皆為負(fù)實部，故E20是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2當(dāng)a3＞1時，平衡點E10在內(nèi)除坐標(biāo)平面X=0外是全局漸近穩(wěn)定的.

證明:當(dāng)a3＞1時，系統(tǒng)（2）在內(nèi)只有E0，E10兩個平衡點.取0＜ε＜a3-1，對初值位于內(nèi)且不在坐標(biāo)平面X=0上的解（X（t），S（t），I（t）），由引理1知，存在T＞0，當(dāng)t＞T時，0＜X（t）＜1+ε，則，于是=0.故系統(tǒng)（2）的極限方程為

對于極限方程的解（X（t），I（t））（注意到X（t）＞0），當(dāng)t→+∞時，有（X（t），I（t））→（1，0）.于是由極限系統(tǒng)理論［1］，當(dāng)t→+∞時，有（X（t），S（t），I（t））→（1，0，0）.故平衡點E10在內(nèi)除坐標(biāo)平面X=0外是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

3.2正平衡點及其穩(wěn)定性

容易得到正平衡點（X，S，I）的I坐標(biāo)滿足方程:

由于f（0）＞0，因此方程f（I）=0必有一負(fù)根I1.當(dāng)a3≥1時，方程（3）無正根，下設(shè)a3＜1.記

則有

當(dāng)a0＜a*0時，f（Ib）＞0，方程f（I）=0無正根；當(dāng)a0=a*0時，f（Ib）=0，方程f（I）=0有一個正根（二重根）I0=Ib；當(dāng)a0＞a*0時，f（Ib）＜0，方程f（I）=0有兩個正根I2，I3，不妨設(shè)I2＜I3，即0＜I2＜Ib＜I3.

在?3+內(nèi)，當(dāng)a3＞1時或當(dāng)a3＜1，a0＜a*0時，系統(tǒng)（2）沒有正平衡點；當(dāng)a3＜1，a0=a*0時系統(tǒng)（2）有唯一的正平衡點當(dāng)a3＜1，a0＞a*0時，系統(tǒng)（2）有兩個正平衡點

關(guān)于M2（X2，S2，I2）的穩(wěn)定性有如下結(jié)論:

定理3當(dāng)a3＜1，a0＞a*0時，系統(tǒng)（2）在正平衡點M2（X2，S2，I2）處是不穩(wěn)定的.

證明:系統(tǒng)（2）在M2（X2，S2，I2）處的特征方程為

4　正平衡點的分支

本節(jié)討論在正平衡點處的Bogdanov-Takens分支和Hopf分支.由于計算較繁瑣，計算過程中使用了數(shù)學(xué)軟件Maple.

4.1Bogdanov-Takens分支

當(dāng)a3＜1，a0=a*0時，系統(tǒng)（2）有唯一的正平衡點M0（X0，S0，I0）.記

在條件a0=a*0，a4=a*4下，容易得到系統(tǒng)（2）在正平衡點M0處有兩個零特征值.下面利用文獻(xiàn)［10］中的方法來討論在M0附近的Bogdanov-Takens分支.

我們選取a0，a4為分支參數(shù)來研究.將系統(tǒng)（2）記為

其中Z=（X，S，I）T，U=（a0，a4）T.記Z0=（X0，S0，I0）T，U0=（a*0，a*4）T，則F（Z0，U0）=0，DF（Z0，U0）的特征值為0，0，-b1，其中

記矩陣

又設(shè)P-1=（q1，q2，q0），則

其中

從而利用文獻(xiàn)［10］中的公式和記號，經(jīng)計算得到

其中

最后利用文獻(xiàn)［11］中關(guān)于Bogdanov-Takens分支的結(jié)論，可得:

（?。┯邪敖Y(jié)點分支曲線:SN=｛（λ1，λ2）:4aβ1-β22=0｝；

（ⅱ）有Hopf分支曲線:H=｛（λ1，λ2）:β1=0，β2＜0｝；

（ⅲ）有同宿軌分支曲線:HL=｛（λ1，λ2）:25aβ1+6β22=o（β22），β2＜0｝.

相應(yīng)分支曲線為

4.2Hop f分支

當(dāng)a3＜1，a0＞a*0時，系統(tǒng)（2）有兩個正平衡點M2，M3，其中M2不穩(wěn)定.下面討論系統(tǒng)（2）在M3處的Hopf分支.

令v1=X-X3，v2=S-S3，v3=I-I3，則系統(tǒng)（2）可寫為

其中

矩陣A1的特征方程為

其中

由于2a*0I30=a1a2a4，又a0＞a*0，I3＞I0，可知γ=X3S3（2a0I33-a1a2a4）＞0，故方程（7）必有一個負(fù)根.如果特征方程（7）有純虛根iω0（ω0＞0），將λ=iω0代入方程（7）中，可得αβ-γ=0，即Δ≡a0a1a2X23S3+ a0a24X3-2a24I23-a20a4X23=0.設(shè)有a*1＞0，當(dāng)a1=a*1時，Δ=0，β＞0，即當(dāng)a1=a*1時，方程（7）有一對純虛根 ±iω0，ω0=又設(shè)λ=μ（a1）+iω（a1）為方程（7）的一個復(fù)根，代入方程（7），可得

方程（9）兩邊對a1求導(dǎo)，利用μ（a*1）=0，ω（a*1）=ω0，可得

如果μ'（a*1）≠0，則產(chǎn)生Hopf分支的橫截性條件滿足.

下面討論Hopf分支的方向.

其中

通過變換z=y1+i y2，y3=u，把方程（10）變?yōu)閺?fù)數(shù)形式

其中

不妨設(shè)方程（11）在原點附近的中心流形可以表示為

其中

利用一階Lyapunov系數(shù)的計算公式［11］:

可以得到一階Lyapunov系數(shù)l1（0）.由于一般參數(shù)下l1（0）的表達(dá)式太長，不易討論其正負(fù)，我們略去l1（0）的具體表達(dá)式，下面取一組特定參數(shù)值來討論原系統(tǒng)的Hopf分支的方向.

［1］馬知恩.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［2］Chattopadhyay J，Arino O.A predator-preymodelwith disease in the prey［J］.Nonlinear Analysis，1999，36（6）:747-766.

［3］Xiao Y，Chen L.Analysis of a three species eco-epidemiologicalmodel［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，258（2）:733-754.

［4］ Liu X L.Bifurcation of an eco-epidemiological model with a nonlinear incidence rate［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218（5）:2300-2309.

［5］幸玲，劉宣亮.具飽和傳染率的一類捕食者-食餌模型的分析［J］.南京師大學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，34（3）:25-31.

［6］Sasmal K M，Chattopadhyay J.An eco-epidemiological system with infected prey and predator subject to theweak Allee effect［J］. Mathematical Biosciences，2013，246（2）:260-271.

［7］Bate A M，Hilker FM.Complex dynamics in an eco-epidemiologicalmodel［J］.Bull Math Biol，2013，75（11）:2059-2078.

［8］王淑璠，馬智慧，李文龍，等.具有庇護(hù)所效應(yīng)的生態(tài)流行病模型［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，49（5）: 703-708.

［9］童姍姍，連冬艷，馬戈.一類含有避難所和收獲的生態(tài)流行病模型的穩(wěn)定性［J］.北華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，17（1）:15-19.

［10］Carrillo F，Verduzco F.Analysis of the Takens-Bogdanov bifurcation on m-parameterized vector fields［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2010，20（4）:995-1005.

［11］Kuznetsov Y.Elements of applied bifurcation theory［M］.New York:Springer，1998.

【責(zé)任編輯：伍林】

Analysis of an Eco-Epidemiological Model with a Nonlinear Incidence Rate

Liu Xuanliang，Jiang Wenchao
（ School of Mathematical Sciences，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

An eco-epidemiological model with a nonlinear incidence rate in the predator is considered.We analyze the boundedness of solutions and stability of equilibria.By using bifurcation methods and techniques，we study the Bogdanov-Takens bifurcation near a positive equilibrium，and obtain a saddle-node bifurcation curve，a Hopf bifurcation curve and a homoclinic bifurcation curve. The direction of Hopf bifurcation and the existence of a stable limit cycle near a positive equilibrium are also discussed.

eco-epidemiological model； nonlinear incidence rate； stability； bifurcation

O175.14

A

1009-4822（2016）03-0281-09

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.03.001

2016-02-26

國家自然科學(xué)基金項目（11572127）.

劉宣亮（1965-），男，博士，副教授，主要從事動力系統(tǒng)及其應(yīng)用研究，E-mail:liuliang@scut.edu.cn.