●鄧　城

(增城中學(xué)　廣東廣州　511300)

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平面向量基本定理的教學(xué)困境和應(yīng)對(duì)策略*

●鄧城

(增城中學(xué)廣東廣州511300)

通過(guò)教學(xué)中的習(xí)題測(cè)評(píng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“平面向量基本定理”的理解和應(yīng)用上存在較大問(wèn)題，經(jīng)過(guò)對(duì)教材中向量知識(shí)編排結(jié)構(gòu)的梳理和對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的把握，提出了突破平面向量基本定理的教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)策略.

平面向量基本定理；基底；轉(zhuǎn)化；遷移

1　問(wèn)題的提出

平面向量基本定理說(shuō)明了平面中的任一向量都可以用2個(gè)不共線的向量線性表示，定理的形式化表達(dá)展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，它的出現(xiàn)也使得向量能夠真正地作為一種工具來(lái)準(zhǔn)確描述現(xiàn)實(shí)世界中的“量”.可見(jiàn)，高中數(shù)學(xué)必修4的“平面向量”這一章節(jié)的核心內(nèi)容就是“平面向量的基本定理”[1]，它為整個(gè)向量的內(nèi)容起到承前啟后的作用.平面向量基本定理本身的確是容易理解的，但是否意味著學(xué)生都能很好地掌握呢？筆者選取了一組題目考查學(xué)生的掌握情況.

圖1 圖2 圖3

通過(guò)學(xué)生的作業(yè)反饋發(fā)現(xiàn):第1)小題絕大多數(shù)學(xué)生都能做對(duì)，第2)小題也只有小部分學(xué)生做錯(cuò)，但第3)小題只有不到一半的學(xué)生做對(duì)，第4)小題和第5)小題做對(duì)的更是寥寥無(wú)幾.

2　對(duì)教學(xué)時(shí)間和安排的反思

學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的掌握情況不好，是否是因?yàn)榻虒W(xué)用時(shí)不夠?單就“平面向量的基本定理”這一課程內(nèi)容來(lái)說(shuō)，只需要1個(gè)課時(shí)就足夠了，但其反映的思想和要求以及學(xué)生獲得的能力卻不是一蹴而就的，學(xué)生對(duì)它的掌握需要一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程.由于高一第2學(xué)期要上完《數(shù)學(xué)4》和《數(shù)學(xué)5》，教學(xué)時(shí)間緊，有些教師為了趕進(jìn)度，再加上簡(jiǎn)單地認(rèn)為平面向量基本定理夠“簡(jiǎn)單”，一個(gè)課時(shí)就搞定“平面向量的基本定理”和“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”(甚至更多內(nèi)容)，課堂教學(xué)中對(duì)平面向量基本定理的產(chǎn)生缺乏足夠的舉例鋪墊，和盤(pán)托出結(jié)論，舉1～2個(gè)例題就算完成教學(xué)任務(wù)了.像這樣的教學(xué)“快餐”學(xué)生自然是消化不良的，一碰到難題就不知所措了.如此縮短課時(shí)固不可取，但是延長(zhǎng)時(shí)間在那里“磨”也是不切實(shí)際的.

稍微熟悉教材就可以發(fā)現(xiàn):平面向量基本定理在“向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”中已經(jīng)涉及到，例如課本上的例7就要求用a，b表示某些向量，課后習(xí)題也有類似題目，只不過(guò)沒(méi)有點(diǎn)明其中隱藏的平面向量基本定理.可以說(shuō)它為“平面向量的基本定理”的自然出現(xiàn)作了鋪設(shè).而其后的“平面向量的數(shù)量積”中許多問(wèn)題需要用到基本定理的應(yīng)用.基于“平面向量的基本定理”承前啟后的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為優(yōu)化該內(nèi)容的教學(xué)需要站在整個(gè)章節(jié)的角度通盤(pán)考慮，將平面向量基本定理的教學(xué)滲透到前后的內(nèi)容中去.

3　突破平面向量基本定理的教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)策略：一明一暗2條線

明線是在“向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)向量用2個(gè)不共線向量進(jìn)行表示的方法，打好基礎(chǔ)；在“平面向量的基本定理”中強(qiáng)化各種向量表示方法，形成能力；在“平面向量的數(shù)量積”中注意平面向量基本定理的遷移運(yùn)用，完善思想.暗線是遵循“從特殊到一般，從一般再到特殊”的教學(xué)思路，讓學(xué)生在特殊與一般之間體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.1巧設(shè)鋪墊，打好基礎(chǔ)

在“向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”中，可以在課本例7的基礎(chǔ)上再設(shè)置幾個(gè)向量分解的例題，如：

變式1若D為BC邊上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)時(shí)如何表示？

變式2若D為BC邊上的n等分點(diǎn)呢？

3.2典例訓(xùn)練，強(qiáng)化技能

通過(guò)前面特殊向量分解的鋪墊，學(xué)生對(duì)“平面向量的基本定理”中任一向量的分解應(yīng)該是非常清楚的，對(duì)定理的感性認(rèn)識(shí)不成問(wèn)題，困難在于落實(shí)到對(duì)復(fù)雜圖形背景下向量的有效準(zhǔn)確分解時(shí)，學(xué)生還不熟練，甚至心理上很沒(méi)底.因此教師可以設(shè)置一些中等難度的向量分解題型，強(qiáng)化一般向量分解的訓(xùn)練，當(dāng)然更重要的是對(duì)學(xué)生碰到問(wèn)題時(shí)給予必要的引導(dǎo)，并重視問(wèn)題解決后的反思總結(jié).

圖4

師：那大家能一下看出怎么表示嗎？

生：前面講過(guò)的方法2，即用三角形法則將向量先用其他向量表示，再繼續(xù)轉(zhuǎn)化為用a，b表示.

……

3.3遷移應(yīng)用，完善思想

我們常說(shuō)數(shù)學(xué)教學(xué)是為遷移而教[2]，在教授“平面向量的數(shù)量積”后要讓學(xué)生善于利用平面向量定理來(lái)解決向量中的各種問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生利用平面向量基本定理來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想，形成新的一種數(shù)學(xué)技能.

例如有些題目表面上問(wèn)的是數(shù)量積怎么求，但實(shí)際上考查的是平面向量基本定理的應(yīng)用.

(2012年天津市數(shù)學(xué)高考試題)

另外，對(duì)定理的特殊情形進(jìn)行討論研究有助于對(duì)定理的更深刻理解，也才能真正讓學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用做到揮灑自如、恰到好處！例如：

這個(gè)性質(zhì)是平面向量基本定理的特殊情況，在高考試題中出現(xiàn)了好多次.但是很多學(xué)生在做題時(shí)不記得有這個(gè)特殊性質(zhì)，費(fèi)了很多時(shí)間才用其他方法做出來(lái).究其原因還是對(duì)平面向量基本定理的特殊情況認(rèn)識(shí)不夠.

[1]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)4(必修)[M].北京：人民教育出版社,2007:60-65.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2006:257-260.

[3]陳重陽(yáng).也談向量法解決立體幾何問(wèn)題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(9)：17-20.

*收文日期：2016-05-12；2016-06-15

廣州市教育科研協(xié)作基地資助項(xiàng)目“課堂教學(xué)改革科研基地”(14XZ19)

鄧城(1983-)，男，廣東梅州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

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1003-6407(2016)08-01-03