●周筆崇　施剛良

(德清縣第三中學(xué)　浙江德清　313201)

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再談?wù)憬呖贾械膱A錐情結(jié)*

——以2道2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科卷填空題為例

●周筆崇施剛良

(德清縣第三中學(xué)浙江德清313201)

通過(guò)對(duì)2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科卷這2道填空題多種解法的探究，揭示出2道試題的共同本質(zhì)：圓錐模型，高考試題的價(jià)值得到淋漓盡致的體現(xiàn).

試題解答；本質(zhì)透視；特殊化；圓錐模型

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在培養(yǎng)學(xué)生的觀察判斷能力、空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算推理能力等方面具有不可替代的重要性.因此，也就理所當(dāng)然地成為數(shù)學(xué)高考?？汲Ｐ碌摹皩檭骸?

1　試題呈現(xiàn)

例1如圖1，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是______.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

圖1 圖2

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題)

評(píng)注立體幾何小題形式靈活、敘述簡(jiǎn)潔，學(xué)生通過(guò)給定的圖形可以清楚地理解題目的意思.文、理科卷都是考查最值問(wèn)題，這類題屬于壓軸題，對(duì)學(xué)生的要求比較高.學(xué)生可以從綜合幾何和向量幾何這2個(gè)方面加以解決，通過(guò)立體幾何這個(gè)載體，能有效地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

2　試題解答

圖3

法國(guó)偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家蘇菲說(shuō)過(guò)：代數(shù)無(wú)非是寫(xiě)出來(lái)的幾何，幾何無(wú)非是畫(huà)出來(lái)的代數(shù).研究立體幾何問(wèn)題，我們完全可以遵照蘇菲的說(shuō)法，從坐標(biāo)法和綜合幾何這2個(gè)方面來(lái)實(shí)施，這樣可以使得學(xué)生更加深刻地理解立體幾何的本質(zhì).

例1的2種解法如下：

PB2=(x-1)2+y2+z2=AB2=4,

(1)

(2)

2式相減，得

將之代入式(2),整理得

(3)

圖4

解法2依題意，如圖4，分別取AP，AC的中點(diǎn)E，H，聯(lián)結(jié)BE,DE,BH，則可以證明AP⊥面BDE，也即面APC⊥面BDE.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，于是

例2的2種解法如下：

圖5

解法1與例1類似，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線AC與BD′所成角的余弦用未知點(diǎn)D′的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后求出最大值，具體過(guò)程略，留給有興趣的讀者.

下面給出純向量解法：

解法2依題意，如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，聯(lián)結(jié)ED′,EB，再過(guò)點(diǎn)B作BR⊥DE，垂足為R,從而

解到這里筆者還是意猶未盡，總感覺(jué)還有什么東西沒(méi)有揭示出來(lái).立體幾何的本質(zhì)問(wèn)題就是幾何問(wèn)題，從這個(gè)思路出發(fā)，可以揭示這2道試題的共同本質(zhì).

3　本質(zhì)透視

著名數(shù)學(xué)家赫斯滕斯和索布齊克曾說(shuō)過(guò)：沒(méi)有代數(shù)的幾何是啞巴，沒(méi)有幾何的代數(shù)是瞎子.由于我們沒(méi)有看清立體幾何錯(cuò)綜復(fù)雜的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，就會(huì)感覺(jué)立體幾何很難，找不到切入點(diǎn)，就像一個(gè)瞎子一樣，摸不清準(zhǔn)確的方向.如果能看透問(wèn)題的本質(zhì)，形勢(shì)就一片明朗.而看透這2個(gè)立體幾何試題的本質(zhì)，還是要靠立體幾何本身呈現(xiàn)的信息.

例1中題干“BP=BA=BC”暗示著我們可以聯(lián)想圓錐模型，如圖6，BA,BC是2條固定的母線，∠BAC是圓錐B-O這2條母線所成角的最大角，而B(niǎo)P是在動(dòng)的母線，由此我們可以找到解題的突破口，即此題的幾何本質(zhì)已浮出水面.要使VP-BCD達(dá)到最大，只要VB-PCD達(dá)到最大即可，而借助圓錐模型我們發(fā)現(xiàn)：三棱錐B-PCD的高是已知的即為BO，而△PCD面積的最大值上面已經(jīng)算過(guò)，借助這個(gè)模型，此題基本可以“秒殺”.

圖6 圖7

例2中提供的信息：已知平面四邊形ABCD，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′.這個(gè)信息非常關(guān)鍵，因?yàn)樗€是會(huì)讓我們聯(lián)系到圓錐模型(而且是雙圓錐模型)[1]，如圖7,通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可知：

這也是圓錐模型的重要信息.過(guò)點(diǎn)B作l∥AC，此時(shí)，點(diǎn)D′在圓錐的底面上轉(zhuǎn)動(dòng)，它在直線l上的投影點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)H.而直線AC與BD′所成角為∠D′BH，于是

探究到這里我們發(fā)現(xiàn)，例1和例2的“祖宗”都是同一個(gè)：圓錐，以這個(gè)模型為背景在2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題和文科第7題同樣考過(guò)[1].只是表述的方式不同，本質(zhì)都是一樣的.透過(guò)現(xiàn)象看透問(wèn)題的本質(zhì)，這是我們研究數(shù)學(xué)的最高境界.

4　2點(diǎn)體會(huì)

4.1培養(yǎng)學(xué)生從特殊情況看問(wèn)題

2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的難度與2015年相當(dāng)，文科難度較大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的考查要求較高，社會(huì)上再次議論紛紛.例1可以從筆者提供的2種解法入手，但考后通過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都不是這樣解決的，特別是解法1，運(yùn)算量極大.學(xué)生通過(guò)取特殊位置把點(diǎn)D直接取AC的中點(diǎn)H，此時(shí)高的最大值即為BH，馬上就可以秒殺！關(guān)于例2，筆者給出了2種向量法：一種建系法，一種純向量法.但文科生不學(xué)空間向量，因此這2種解法對(duì)他們來(lái)說(shuō)根本想不到.學(xué)生當(dāng)然還是可以從特殊位置出發(fā)將答案做出來(lái)，通過(guò)估計(jì)當(dāng)點(diǎn)D′轉(zhuǎn)到點(diǎn)F時(shí)，所成異面直線的夾角最小，余弦值達(dá)到最大，照樣秒殺！當(dāng)然，學(xué)生從特殊位置處理問(wèn)題，求得答案還是要冒一定的風(fēng)險(xiǎn).

這需要我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)實(shí)踐中，不斷地給學(xué)生滲透特殊化的思想.很多數(shù)學(xué)題目，特別是選擇題、填空題都可以用特殊值或特殊位置法解決，但是要真正掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還是要將特殊轉(zhuǎn)化成一般，達(dá)到特殊與一般互相轉(zhuǎn)化.

4.2培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)

從2015年和2016年的浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何小題我們可以發(fā)現(xiàn)，利用圓錐模型的思想解決問(wèn)題是多么重要[1].如果學(xué)生能抓住這個(gè)模型，這些題可以“秒殺”，也就不會(huì)認(rèn)為它們是“難題”了.2016年的立體幾何小題延續(xù)了2015的考法，由此我們感嘆命題者對(duì)圓錐這個(gè)模型的情結(jié)有多深！在立體幾何的教學(xué)中，要不斷地滲透模型化的思想.隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的熏陶，學(xué)生就會(huì)很自然地利用模型來(lái)解決問(wèn)題，做到以不變應(yīng)萬(wàn)變，這才是學(xué)生要學(xué)到的真本領(lǐng).

[1]宋文泉，施剛良.浙江高考中的圓錐情結(jié)——透視高考立體幾何命題的本質(zhì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8):47-48.

*收文日期：2016-06-12；2016-07-05

周筆崇(1978-)，男，海南儋州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

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1003-6407(2016)08-40-03