●李玉榮

(金陵中學(xué)河西分?！〗K南京　210019)

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蘭利問題的“姊妹”問題*

●李玉榮

(金陵中學(xué)河西分校江蘇南京210019)

數(shù)學(xué)解題研究是數(shù)學(xué)教師的職責(zé)．通過構(gòu)造等邊三角形求解“蘭利問題”，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，遷移數(shù)學(xué)解題方法，從而解決網(wǎng)絡(luò)上提供的蘭利問題的幾道“姊妹”問題．

蘭利問題；構(gòu)造；等邊三角形；多題歸一

圖1

例1如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠C=20°,點(diǎn)D,E分別為邊BC,AC上的點(diǎn)，若∠CAD=20°，∠CBE=30°,求∠ADE的大小．

這是一道保守估計(jì)也有上百年歷史的數(shù)學(xué)問題，其最初的來源現(xiàn)在已無法考證.1922年，英國數(shù)學(xué)家蘭利在《數(shù)學(xué)公報(bào)》上發(fā)表了一篇題為《一個問題》的文章，詳細(xì)介紹了這個問題，這可能是該問題第一次正式出現(xiàn)在公眾的視野里，因此它也被人們稱為“蘭利問題”．第一次看到“蘭利問題”，不少人以為不過是一道角度計(jì)算題，常常僅僅去尋找角度上的數(shù)量關(guān)系，將所求角設(shè)為x，再列方程但卻無法提供任何有用的信息．事實(shí)上，蘭利問題遠(yuǎn)沒有那么簡單，以至于很多人都把這個問題稱為“史上最難的初等幾何問題”．

圖2

此題在2008年被選為全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題，文獻(xiàn)[1]提供的參考答案中添加了2條平行線，構(gòu)造了2個等邊三角形，使用了全等三角形、相似三角形等知識求出了結(jié)果，解法冗長、繁瑣，引發(fā)了筆者的思考，能改進(jìn)解法或有更簡潔的解法嗎？雖然20°,80°不是特殊角，但是它們的差為60°是我們熟悉的特殊角，使我們能聯(lián)想到等邊三角形，從而找到解題的突破口．

另解如圖2，在BC上取點(diǎn)F，使AF=AB，聯(lián)結(jié)EF，由AC=BC，∠C=20°,知

從而

∠FAB=180°-2∠ABC=20°,

故

∠EAF=60°.

因?yàn)?/p>

∠CBE=30°，

所以

∠ABE=50°，

于是 ∠AEB=180°-∠CAB-∠ABE=

50°=∠ABE，

從而AB=AE=AF，即△AEF為等邊三角形，因此

EF=AF，∠AFE=60°.

又

∠DAF=∠DAB-∠FAB=40°,

∠ADF=∠C+∠CAD=40°，

得

DF=AF=EF，

由

∠EFD=180°-∠AFE-∠AFB=40°，

知

故∠ADE=∠EDF-∠ADF=70°-40°=30°．

此解法的關(guān)鍵是構(gòu)造了等邊△AEF，這突發(fā)的解題靈感如果僅僅是一個“孤法”，其價值就不大了．然而，筆者近期有幸見到幾道問題求解，似曾相似的問題情境(筆者將其稱為蘭利問題的姊妹問題)再次激發(fā)了征服難題的欲望，所幸的是經(jīng)過潛心思考，借助方法的遷移，筆者成功地解決了問題，在此與大家分享．

例2如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，∠ACD=20°，∠ABE=10°,求∠DEB的度數(shù)．

分析拿到此題，筆者立刻聯(lián)想到例1，嘗試在AC上取點(diǎn)N，使BN=BC，再在AB上取點(diǎn)M，使BM=BN，構(gòu)造出等邊△BMN，接著聯(lián)結(jié)ME，試圖證明ME=MN，卻無從入手，解題陷入困境．但同時筆者發(fā)現(xiàn)若ME=MN，可得ME=AE，那么，能否改為先作ME=AE，再逐步得到等邊△BMN呢？文獻(xiàn)[3]給出了下面的解法:

圖3 圖4

解如圖4，在AB上取點(diǎn)M，使ME=AE，則

∠AME=∠A=20°.

由AB=AC，∠A=20°,知

因?yàn)?/p>

∠ABE=10°，

所以

∠MEB=∠AME-∠ABE=10°，

故

BM=ME.

在AC上取點(diǎn)N，使MN=MB=ME，則

∠MNE=∠MEN=∠A+∠AME=40°，

于是

∠EMN=180°-2×40°=100°，

從而∠BMN=180°-∠EMN-∠AME=60°，

故△BMN為等邊三角形，從而BN=BM，∠MNB=60°.又

∠BNC=180°-∠MNB-∠MNE=80°=∠BCN,

得

BC=BN=BM，

進(jìn)而

因?yàn)椤螹DC=∠A+∠ACD=40°=∠MEC，

所以點(diǎn)E,D,M,C共圓，∠DEC=∠BMC=50°.

由∠BEC=∠A+∠ABE=30°，

得

∠DEB=∠DEC-∠BEC=50°-30°=20°．

評注此題是文獻(xiàn)[2]的“蘭利問題”變式而成，其提供的解法借助“蘭利問題”的圖形及輔助線，通過2次三角形相似求解，解答的“長度”非同一般.而筆者不是先構(gòu)造“蘭利問題”的圖形，而是先作ME=AE，再逐步得到“蘭利問題”的圖形，求解過程較為簡潔．

例3如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,點(diǎn)D,E分別在BC,AC上，∠CAD=40°，∠ABE=20°,求∠DEB的度數(shù)．

分析與例1和例2相比，此題圖形有了較大變化，但圖中∠BAD=80°及∠ABE=20°還是引發(fā)了筆者的聯(lián)想──構(gòu)造等邊三角形，嘗試在BE上取點(diǎn)M，使BM=AM，得到∠MAD=60°,只要證明AM=AD，即可證明△MAD為等邊三角形.但如何證明AM=AD，卻無從入手，解題陷入困境．但同時筆者發(fā)現(xiàn)AD是△ABD的一條邊，且∠ABD=30°，于是可作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，構(gòu)造等邊三角形，從而解決問題．

解由AB=AC，∠A=120°,知

∠ABC=∠C=30°.

因?yàn)?/p>

∠CAD=40°,

所以

∠BAD=80°.

圖5 圖6

如圖6，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BN，DN，則

BN=BA，DN=DA，∠BND=∠BAD=80°，

∠ABN=2∠ABC=60°,

故△BAN為等邊三角形,AN=AB，∠BAN=∠BNA=60°，從而

∠DAN=∠DNA=20°.

在BE上取點(diǎn)M,使

∠BAM=∠ABM=20°，

則

MA=MB.

聯(lián)結(jié)MD，則

△ABM≌AND(SAS)，

從而

AM=AD.

因?yàn)椤螦ME=∠BAM+∠ABM=40°，

所以

AM=AE，

又

∠MAD=∠BAC-∠BAM-∠CAD=60°,

知△MAD為等邊三角形，從而

AD=AM=AE，

于是

故

∠DEB=∠AED-AEB=70°-40°=30°．

評注此題證明△MAD為等邊三角形時，也可以考慮證明MD=AM=BM，即證明點(diǎn)M是△ABD的外心.注意到AM=BM，且

∠AMB=140°，∠ADB=∠CAD+∠C=70°,

則

∠AMB=2∠ADB，

因此點(diǎn)D一定在以M為圓心、MA為半徑的圓上(注：并沒有現(xiàn)成的定理可用，但用反證法可以證明，教師理解，學(xué)生不宜)，于是MD=AM．

例4如圖7，D為正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠DBC=42°，∠DCB=12°,求∠DAC的度數(shù)．

分析此題以正三角形為背景，設(shè)置簡潔，通常易想到用旋轉(zhuǎn)法求解，但嘗試無果．題設(shè)中∠DBC=42°，∠DCB=12°,它們的差為30°，依然引發(fā)了筆者的聯(lián)想——構(gòu)造等邊三角形，嘗試在∠DBC內(nèi)作∠MBC=12°，再將△BMC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BEA和正△BME，進(jìn)而問題得解．

圖7 圖8

解如圖8，在DC上取點(diǎn)M，使得∠MBC=∠DCB=12°，則MB=MC.將△BMC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，聯(lián)結(jié)CE,DE,ME，則△BME為等邊三角形，從而

EM=BM=MC=BE=EA，

∠EBD=∠MBD=30°，

得

△BDM≌△BDE(SAS)，

即

DE=DM.

又

△BEC≌△AEC(SSS)，

得

∠BEC=∠AEC=78°，

∠BCE=∠ACE=30°，

從而

∠MEC=∠MCE=30°-12°=18°，

于是∠DEM=∠DME=∠MCE+∠MEC=36°.

因?yàn)椤螦CD=∠ACB-∠DCB=48°,

∠AED=∠AEC+∠MEC+∠DEM=132°,

所以

∠ACD+∠AED=180°，

從而點(diǎn)A,E,D,C共圓，故

∠DAC=∠DEC=36°+18°=54°．

或許“蘭利問題”還有更多的“姊妹問題”，合理地利用題目的特定條件構(gòu)造等邊三角形,為問題的解決打開了突破口，解決了一道題還要聯(lián)系類似的題，看看有沒有共同的規(guī)律？這其實(shí)是“多題歸一”，也是數(shù)學(xué)解題反思的重要內(nèi)容之一．“好的題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都成串生長，找到了一個以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的”，波利亞的經(jīng)典比喻帶給我們的教學(xué)啟示：教師要通過自己的親身示范，有意識地引導(dǎo)學(xué)生對做過的習(xí)題進(jìn)行分類、歸類，總結(jié)出解某類數(shù)學(xué)題的策略，特別是解題模塊，達(dá)到“就題論法”的程度，那么，不論是教師還是學(xué)生，都能夠在這個過程中不斷地積累數(shù)學(xué)的素養(yǎng)以及加深對數(shù)學(xué)的理解．

[1]2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題及參考答案[J]．中國數(shù)學(xué)教育:初中版，2008(4):68-69．

[2]李艷娜.“蘭利問題”求解的多種途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué):初中版，2016(1):82-83．

[3]李玉榮.也談幾道題的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué):初中版，2016(4):91-92．

*收文日期：2016-04-11；2016-05-12

李玉榮(1963-)，男，江蘇句容人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-48-03