劉修恒，呂　鑫，戚榮志，劉　璇，馬鴻旭

（河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院 江蘇 南京　211100）

基于小波和過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

劉修恒，呂鑫，戚榮志，劉璇，馬鴻旭

（河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院 江蘇 南京211100）

提出基于過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自回歸模型的組合預(yù)測(cè)方案。首先，采用二進(jìn)正交小波變換對(duì)原始時(shí)間序列分解和重構(gòu)，分離出原始序列中的高頻部分和低頻部分；然后對(duì)低頻部分構(gòu)建過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)低頻部分采用自回歸模型；最后將兩種模型的預(yù)測(cè)值疊加，得到原序列的預(yù)測(cè)值。

小波分解；非平穩(wěn)時(shí)間序列；過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；自回歸；預(yù)測(cè)

在現(xiàn)實(shí)生活中，非平穩(wěn)和非線性的時(shí)間序列隨處可見(jiàn)，我們并不清楚動(dòng)力系統(tǒng)變量是如何相互作用的，也不清楚它們?nèi)绾沃湎到y(tǒng)的演化的，但這些變量的時(shí)頻性是不相同的。模型的好壞對(duì)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)影響巨大，因?yàn)樗兄匾睦碚撘饬x和很大的應(yīng)用情景。

現(xiàn)如今，世界各地的專家和學(xué)者對(duì)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)和辨識(shí)從不同方面進(jìn)行研究。對(duì)于傳統(tǒng)基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，其方法與結(jié)論的性能取決于樣本的數(shù)量，然而實(shí)際情況中，樣本的數(shù)量往往是有限的，這就使得傳統(tǒng)基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法無(wú)法取得很多的效果。由于強(qiáng)大的函數(shù)逼近能力與學(xué)習(xí)能力，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較多地應(yīng)用到時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，但是因?yàn)檩斎氲耐剿矔r(shí)性的特點(diǎn)，因此人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于序列中真實(shí)存在的時(shí)間累積效應(yīng)難以表達(dá)。過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由于其在傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)之上增加了一個(gè)時(shí)間聚合運(yùn)算算子，因此過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以充分體現(xiàn)序列中的時(shí)間累積效應(yīng)。

如何提取原始序列中的低頻和高頻信息并建立模型和序列中的時(shí)間累積效應(yīng)如何表達(dá)是有趨向性均值的非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)的重要問(wèn)題。二進(jìn)正交小波對(duì)這種時(shí)間序列有著較好的適應(yīng)性[2，8-9]，對(duì)低頻的分離作用及有著較好應(yīng)用能力的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，為了解決這類預(yù)測(cè)問(wèn)題，文中提出基于小波變換的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自回歸的組合預(yù)測(cè)模型。

1　預(yù)測(cè)原理及方法

1.1過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上與傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似，時(shí)變函數(shù)是兩種網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別。由于在傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上多了時(shí)間聚合算子，因此過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能充分體現(xiàn)原始序列中實(shí)際存在的時(shí)間累積效應(yīng)。

1.1.1過(guò)程神經(jīng)元

聚合、激勵(lì)、加權(quán)組成了過(guò)程神經(jīng)元，圖1是其結(jié)構(gòu)圖。對(duì)于過(guò)程神經(jīng)元來(lái)說(shuō)，其輸入和權(quán)皆為時(shí)變函數(shù)，這就使得其不僅有空間上的聚合，還有對(duì)時(shí)間的聚合。

圖1　過(guò)程神經(jīng)元Fig.1　Process neural

1.1.2過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖2為具有一個(gè)隱層的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。其中隱層是有過(guò)程神經(jīng)元組成。

圖2　3層過(guò)程神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)Fig.2　Three layer process neural networks

網(wǎng)絡(luò)輸出：

其中，wij（t）是第一層（輸入層）的第i個(gè)神經(jīng)元到第二層（隱層）的第j個(gè)神經(jīng)元的權(quán)函數(shù)，vj是第二層（隱層）第j個(gè)神經(jīng)元到第三層（輸出層）神經(jīng)元的連接權(quán)，τ、θj分別是輸出層和隱層的閾值，f（·）、g（·）分別是隱層、輸入層的激勵(lì)函數(shù)，[0，T]為采樣間隔。取，g（x）=x，τ=0，網(wǎng)絡(luò)輸出變?yōu)?/p>

1.1.3時(shí)變函數(shù)的展開(kāi)

過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值及輸入皆為時(shí)序函數(shù)，取正交基函數(shù)為{d1（t），d2（t），…，dL（t）}，此正交基可以為小波基函數(shù)，三角基函數(shù)等.將時(shí)變函數(shù)輸入和權(quán)按照一定的精度要求在此選擇的正交基上進(jìn)行有限展開(kāi)，得到，，有

則輸出變?yōu)?/p>

取樣本：X（t）={x1（t），x2（t），…，xn（t），d}，則其誤差函數(shù)：因此運(yùn)算得到了簡(jiǎn)化，其中參數(shù)、vj、θj都是定量值，并且以上參數(shù)是輸出y和誤差函數(shù)E的自變量。

1.2二進(jìn)正交小波變換的Mallat算法

1.2.1分解算法

若將設(shè)為10原始信號(hào)，則由小波變換的Mallat分解算法，有：

其中:G和H分別為高通濾波器和低通濾波器；1j和hj為原始信號(hào)在分辨率2-j下的低頻信息和高頻信息；最大的層數(shù)為J。最終原始信號(hào)分解為h1，h1，h3，…，hJ和1J。

因?yàn)樵撔〔ǚ纸獠捎枚槿〉男问剑沟妹看蔚姆纸?，信?hào)的長(zhǎng)度就會(huì)減少一半，但是最后的輸出長(zhǎng)度和原始信號(hào)長(zhǎng)度一致，而且信號(hào)長(zhǎng)度的減少對(duì)于預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)是不精確的，因此需要采用小波重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)。

1.2.2重構(gòu)算法

通過(guò)上一步，使得誤差函數(shù)公式中的時(shí)序變化量沒(méi)有了，

其中:H*和G*是對(duì)偶算子；j=J-1，J-2，….，0。

對(duì)小波Mallat分解后的信號(hào)利用式（4）重構(gòu)采，這樣信號(hào)個(gè)數(shù)可以增加。對(duì)h1，h2，h3，…，hJ和1J分別進(jìn)行重構(gòu)，得到H1，H2，H3，…，HJ和LJ，有

其中:H1:{h1，1，h1，2，…}，…，HJ:{h1，1，h1，2，…}為重構(gòu)高頻信號(hào)；LJ:{1J，1，1J，2，…}為重構(gòu)低頻信號(hào)。

1.3基于Mallat算法的PNN-AR預(yù)測(cè)方法

采用二進(jìn)正交小波變換對(duì)原始時(shí)間序列分解和重構(gòu)，分離出原始序列中的高頻部分和低頻部分；然后對(duì)低頻部分構(gòu)建過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)低頻部分采用自回歸模型；最后將兩種模型的預(yù)測(cè)值疊加，得到原序列的預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)模型框架如圖3所示。

圖3　基于Mallat算法的Process-AR預(yù)測(cè)框架Fig.3　Process-AR prediction framework based on Mallat algorithm

令Xt:{X1，X2，…}為原始時(shí)間序列，對(duì)其進(jìn)行小波Mallat分解以及對(duì)各層分解信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得到

其中:H1:{h1，1，h1，2，…}，…，HN:{hN，1，hN，2，…}為重構(gòu)高頻信號(hào)；LN:{1N，1，1N，2，…}為重構(gòu)低頻信號(hào)。有：

若已知{ti|i≤M}時(shí)刻的Xi值，用其來(lái)預(yù)測(cè)k步以后的值，則需要解XM+k，即

由于H1，H1，H3…HN可近似被當(dāng)成平穩(wěn)的時(shí)間序列，可分別對(duì)其建立 AR（p）模型，并對(duì)h1，M+k，h2，M+k，…，hh，M+k進(jìn)行預(yù)測(cè)。其預(yù)測(cè)步驟如下：

1）對(duì)Hj建立自回歸模型AR（p），根據(jù)已有的h*j，M+k的值對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其中，1≤j≤N，i≤M；

2）檢驗(yàn)上述模型的適用性；

3）利用適用性最好的AR（p）進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到hj，M+k的預(yù)測(cè)值

由于低頻信號(hào)LN具有長(zhǎng)期趨勢(shì)和非線性的特點(diǎn)，可以利用過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)低頻信號(hào)進(jìn)行建立預(yù)測(cè)模型。根據(jù)上述過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理，其具體步驟如下:

1）對(duì)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)、各層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)進(jìn)行設(shè)定，即確定網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)；

2）對(duì)網(wǎng)絡(luò)各層的激勵(lì)函數(shù)進(jìn)行確定；

3）根據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇一個(gè)合適的正交基函數(shù)θj，1=1，2，…，L，同時(shí)設(shè)定其個(gè)數(shù)；

4）根據(jù)選定的正交基函數(shù)展開(kāi)所有樣本

5）給網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ε、s=0、θj賦于初始值（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m；1=1，2，…，L）

6）對(duì)誤差精度ε、最大迭代次數(shù)M，累積迭代次數(shù)s=0，學(xué)習(xí)速率初始值η進(jìn)行指定

7）對(duì)所有樣本都按照如下步驟進(jìn)行操作：

①取樣本集中的樣本1=1，2，…，L，從而可以得到該樣本內(nèi)元素Li（t），i=1，2，…，n在正交基函數(shù)上的展開(kāi)系數(shù)a1i，1= 1，2，…，L；

②利用式（1）、（2）計(jì)算輸出y以及誤差函數(shù)E的值；

8）當(dāng)E<ε或s>M時(shí)轉(zhuǎn)9），否則轉(zhuǎn)7）。

9）輸出學(xué)習(xí)結(jié)果，結(jié)束。

2　預(yù)測(cè)實(shí)例

水文數(shù)據(jù)是一種用于判別和比較預(yù)測(cè)方法以及具有趨向性特點(diǎn)的非平穩(wěn)的時(shí)間序列，如圖4所示。利用六合水庫(kù)的日水位數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)文中提出的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證，并將其與單純的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型比較。首先對(duì)原始序列利用db4小波進(jìn)行2層分解與重構(gòu)，然后使用PNN-AR（過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和AR組合模型）進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用均方誤差（Relative error）和平均相對(duì)誤差（Mean relative error）兩個(gè)性能指標(biāo)來(lái)對(duì)預(yù)測(cè)模型的性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。

六合水庫(kù)日水位預(yù)測(cè)，選取六合水庫(kù)1995年之后的共4018條日水位數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型。原始時(shí)間序列如圖4所示。

圖4　原始時(shí)間序列Fig.4　The original time series

圖5　重構(gòu)后高頻和低頻信號(hào)Fig.5　The reconstructed high frequency and low frequency signal

前3978條水位數(shù)據(jù)被選取作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后40條水位數(shù)據(jù)被用作測(cè)試數(shù)據(jù)。PNN-AR模型、過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示，其中過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均為輸入層節(jié)點(diǎn)為10，隱層節(jié)點(diǎn)為6，輸出節(jié)點(diǎn)為1。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6和表1所示。

圖6　預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.6　The results of prediction

表1　誤差對(duì)比Tab.1　Error comparison

從圖6和表1可以得出：PNN-AR的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度，從而說(shuō)明該方法比單獨(dú)使用過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力較強(qiáng)，預(yù)測(cè)效果較好，能充分?jǐn)M合低頻和高頻信息。

3　結(jié)束語(yǔ)

文中將小波變換[9-11]和過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于非平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。首先根據(jù)趨向性非平穩(wěn)時(shí)間序列具有的非線性、波動(dòng)性和確定性等3個(gè)特性，采用二進(jìn)正交小波變換對(duì)原始時(shí)間序列分解和重構(gòu)，分離出原始序列中的高頻部分和低頻部分；然后利用對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列具有較好預(yù)測(cè)能力的統(tǒng)計(jì)推斷建模，并結(jié)合過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)對(duì)均值具有非平穩(wěn)特性的時(shí)間序列的精確預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)表明，該方法是這類非平穩(wěn)時(shí)間序列的有效預(yù)測(cè)方法，對(duì)進(jìn)一步解決實(shí)際工程問(wèn)題具有良好的應(yīng)用前景。

[1]熊沈蜀，周兆英.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模中的理論研究[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998（8）:26-31.

[2]張坤，郁湧，李彤.基于小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的股票價(jià)格模型[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2009（23）:5496-5498.

[3]Zhang G P，Qi M.Neural Network Forecasting for Seasonal and Trend Time Series[J].European J of Operational Research，2005，160（2）:501-514.

[4]何新貴，梁久禎.過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的若干理論問(wèn)題[J].中國(guó)工程科學(xué)，2000，2（12）:40-44.

[5]許少華，何新貴.基于函數(shù)正交基展開(kāi)的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2004，27（5）:645-650.

[6]何新貴，許少華.輸入輸出均為時(shí)變函數(shù)的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及應(yīng)用[J].軟件學(xué)報(bào)，2003，14（4）:164-169.

[7]許少華，何新貴，李盼池.一類用于連續(xù)過(guò)程逼近的過(guò)程神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用[J].信息與控制，2004，33（1）:116-119.

[8]張晗，王霞.基于小波分解的網(wǎng)絡(luò)流量時(shí)間序列建模與預(yù)測(cè)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012（8）:3134-3136.

[9]李欣.小波變換和模糊凸集投影相結(jié)合的圖像復(fù)原方法研究[J].電子設(shè)計(jì)工程，2015（18）：182-184.

[10]郜憲錦.基于小波變換的MSK信號(hào)碼速率盲估計(jì)[J].電子科技，2015（5）:140-142.

[11]趙德明.小波變換和曲波變換的圖像邊緣檢測(cè)新算法[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2015（13）:53.

Time series prediction model based on wavelet and process neural network

LIU Xiu-heng，LV Xin，QI Rong-zhi，LIU Xuan，MA Hong-xu
（College of Computer and Information，Hohai University，Nanjing 211100，China）

A time series prediction method based on AR and process neural network PPN-AR was proposed.By Binary orthogonal wavelet transform，the non-stationary time series were decomposed into a low frequency signal and several high frequency signals.The low frequency was predicted with process neural network，and the high frequency signals were predicted with auto-regression models.The prediction result of the original time series was the superimposition of the respective prediction.

mallat decomposition；non-stationary time series；process neural network；autoregressive；prediction

TN-9

A

1674－6236（2016）01-0009-03

2015-09-10稿件編號(hào)：201509079

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目 （61272543）；國(guó)家科技支撐計(jì)劃 （2013BAB06B04）；中國(guó)華能集團(tuán)公司總部科技項(xiàng)目（HNKJ13-H17-04）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK20130852）；江蘇省博士后科研資助計(jì)劃（1401001C）

劉修恒（1992—），男，安徽阜陽(yáng)人，碩士研究生。研究方向：數(shù)據(jù)挖掘。