張亞輝　趙　軍

(91267部隊　福州　350600)

ZHANG Yahui　ZHAO Jun

(No.91267 Troops of PLA, Fuzhou　350600)

?

含裂紋故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性特性分析*

張亞輝趙軍

(91267部隊福州350600)

針對含有初始彎曲轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運行過程中出現(xiàn)的裂紋故障問題，建立了含有裂紋故障的轉(zhuǎn)子分析模型，推導(dǎo)了其運動微分方程。采用數(shù)值方法分析研究裂紋深度、初始彎曲對系統(tǒng)振動的影響。結(jié)果表明：隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)發(fā)生倒分岔現(xiàn)象提前；當(dāng)考慮初始彎曲時，系統(tǒng)響應(yīng)在臨界轉(zhuǎn)速附近的混沌區(qū)域比不考慮時增大，且隨裂紋深度增大變化緩慢。并進一步研究分析了初始彎曲量對系統(tǒng)振動特性的影響。論文的研究工作能夠更加真實地模擬出實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特征，更好地為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運動和故障的診斷提供理論參考。

裂紋; 轉(zhuǎn)子系統(tǒng); 非線性振動

ZHANG YahuiZHAO Jun

(No.91267 Troops of PLA, Fuzhou350600)

Class NumberTB561；U661.42

1　引言

轉(zhuǎn)子是航空和船用汽輪機組的關(guān)鍵部件，其工作環(huán)境非常惡劣，長期處于高溫介質(zhì)中高速旋轉(zhuǎn)，逐漸形成疲勞裂紋源進而擴展，裂紋會導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸剛度降低，從而引起轉(zhuǎn)子橫向振動幅值變大，形成運行故障進而影響機組正常工作，嚴重影響飛機和船舶在航率和安全性。引起轉(zhuǎn)子異常振動或振動過大的原因有很多，轉(zhuǎn)軸裂紋是主要原因之一[1]。

工程實際中，轉(zhuǎn)子的彈性軸有時會存在一定的初始彎曲，即彈性軸在不受力的情形下其軸線并不是一條理想的直線。造成轉(zhuǎn)子初始彎曲的原因各不相同，有制造安裝誤差的問題，也有運行中熱效應(yīng)等問題。轉(zhuǎn)子的彈性軸出現(xiàn)彎曲后，必然引起相應(yīng)的質(zhì)量偏心，造成轉(zhuǎn)子的動擾度增加，機組的振動加劇，甚至能引發(fā)轉(zhuǎn)子與靜子之間的碰摩[2]。

甕雷，楊自春等[3～4]分析研究了氣流激振力作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動特性。張韜、孟光[5]分析了具有初始彎曲和剛度不對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)，得到了參數(shù)對系統(tǒng)分叉和混沌響應(yīng)的影響。林富生，孟光[6]以飛行器內(nèi)等速運動的同時存在初始彎曲和橫向裂紋的轉(zhuǎn)子軸為研究對象，分析研究了飛行器機動飛行對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。

以上文獻都是基于簡單的模型分析初始彎曲對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，而工程實際中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非常復(fù)雜，為了更進一步研究初始彎曲對裂紋轉(zhuǎn)子振動特性的影響，本文綜合考慮了非線性油膜力以及裂紋交叉剛度，建立了含初始彎曲的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)。通過數(shù)值仿真，分析研究了初始彎曲和裂紋深度對系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

2　系統(tǒng)動力學(xué)方程

本文以含有裂紋故障的對稱剛性油膜支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)作為研究對象，忽略扭轉(zhuǎn)振動和陀螺力矩，只考慮轉(zhuǎn)子的橫向振動，如圖1所示，研究在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下的非線性動態(tài)響應(yīng)。其中O1、O2分別為軸承內(nèi)瓦和轉(zhuǎn)子幾何中心，O3為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；轉(zhuǎn)子兩端由半徑為R、長為L的滑動軸承支承，m1、c1和m2、c2分別為轉(zhuǎn)子在軸承處和圓盤處的等效集中質(zhì)量和結(jié)構(gòu)阻尼，e為圓盤的質(zhì)量偏心，F(xiàn)x、Fy為非線性油膜力[7]。

圖1　油膜支承裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

2.1裂紋剛度模型

轉(zhuǎn)子軸在無裂紋時的剛度為k0,kxx為x方向的剛度；kxy、kyx為x,y方向交叉的剛度；裂紋在ξ方向和η方向的剛度變化量為kξ和kη；ω為轉(zhuǎn)速；β為不平衡量與裂紋法向的夾角。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣無量綱形式可表示為[8]

圖2　轉(zhuǎn)子裂紋軸橫斷面示意圖

(1)

(2)

開閉函數(shù)當(dāng)a/R<0.5時采用GASCH的鉸鏈彈簧模型，a/R≥0.5時采用MAYES提出的裂紋模型[9]，開閉函數(shù)表達式如下：

(3)

2.2轉(zhuǎn)子運動微分方程

只考慮系統(tǒng)的橫向振動，忽略扭轉(zhuǎn)振動和陀螺力矩，則在非線性油膜力作用下考慮初始彎曲的含

裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程的無量綱運動微分方程如下：

3　仿真結(jié)果與分析

鑒于本文運動微分方程具有強非線性特征，采用四階龍格庫塔方法研究分析參數(shù)變化時系統(tǒng)的各種動力學(xué)現(xiàn)象，獲取不同參數(shù)變化下的振動響應(yīng)，進而給出在非線性油膜力作用下含有初始彎曲的轉(zhuǎn)子在裂紋故障時的振動分岔圖、軸心軌跡和Poincare截面圖。

本文轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的主要參數(shù)為：m1=4.0kg，m2=32.1kg，R=25mm，L=12mm，μ=0.018pa·s，c1=1050N·s/m、c2=2100N·s/m、k=2.5×106N/m，b=0.11mm，氣流激振力的參數(shù)選取如下：ρ0=11.8kg/m3，RT=0.5m，RB=0.37m，β1=35°，β2=40°，ζ=0.83，δ=1.2×10-3m，V=200m/s。系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速為ω0=882.5rad/s。

3.1裂紋深度對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

裂紋深度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生不同的影響。如圖3和圖4所示，分別給出了初始彎曲量為λ=0.3時，在非線性油膜力作用下不考慮和考慮初始彎曲時不同裂紋深度下裂紋轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的振動響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速ω變化的分岔圖。圖3為不考慮初始彎曲的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔圖，與文獻[10]中的分岔圖類似，但文獻采用的是余弦波模型，雖然考慮了裂紋之間的開閉的過度過程，但沒能較好地反映裂紋的常開與常閉階段，這與實際情況也是不相吻合的。

圖3　無初始彎曲時不同裂紋深度系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

本文采用的模型可以綜合考慮裂紋深度對裂紋軸剛度的影響，能夠更加準確地說明含裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨裂紋深度變化的動力學(xué)響應(yīng)。從圖3可以看出，在轉(zhuǎn)速比較低時，無量綱裂紋深度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)影響較小，而對臨界轉(zhuǎn)速和超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域的動力學(xué)特性影響比較大。對比圖3(a)、3(b)和3(c)可以看出，隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)發(fā)生倒分岔現(xiàn)象提前，臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域的混沌區(qū)域逐漸減??；由圖3(b)和3(c)可以看出系統(tǒng)在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域出現(xiàn)周期8和較長的周期3運動，且系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域的分岔圖演變?yōu)閮蓷l自相似的軌跡。

圖4　含初始彎曲時不同裂紋深度系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

由圖4可以看出，隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)發(fā)生倒分岔現(xiàn)象提前，臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域的混沌區(qū)域也逐漸減小，但相對無初始彎曲時變化不大；在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域出現(xiàn)周期8和較長的周期2運動。對比圖3和圖4可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著無量綱裂紋深度的增加，在考慮初始彎曲時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)在臨界轉(zhuǎn)速附近的混沌區(qū)域比不考慮初始彎曲時增大，隨裂紋深度變化較無初始彎曲時變化緩慢，這主要是由于初始彎曲的存在使得系統(tǒng)的響應(yīng)復(fù)雜化。因此，進一步研究初始彎曲對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響，是很有必要且十分有意義的。

3.2初始彎曲量對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

為了進一步研究初始彎曲量對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，以初始彎曲量λ作為控制參數(shù)，研究其變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。圖5給出了無量綱裂紋深度a/R=1.0、轉(zhuǎn)速ω=1050rad/s時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨初始彎曲量變化的響應(yīng)分岔圖。由圖可以看出，隨著初始彎曲量的增大，在油膜力和轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心作用下裂紋故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的非線性特征。

圖5　無量綱裂紋深度a/R=1.0時振動響應(yīng)隨初始彎曲量變化圖

在初始彎曲量較小時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期4運動，如圖6(a)所示，系統(tǒng)的軸心軌跡為4條交叉曲線，在Poincare截面上表現(xiàn)為4個離散的點。隨著初始彎曲量的增大，轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)演變?yōu)橹芷?運動，如圖6(b)所示，系統(tǒng)的軸心軌跡為8條交叉曲線，在Poincare截面上表現(xiàn)為8個離散的點。隨著初始彎曲量的進一步增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)過周期性分岔進入混沌運動，當(dāng)λ=0.512時，系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的周期12運動，如圖6(c)所示，Poincare截面上為12個離散的單點，軸心軌跡為有限條曲線。之后又進入復(fù)雜的混沌運動。

圖7給出了無量綱裂紋深度a/R=0.7、轉(zhuǎn)速ω=1050rad/s時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨初始彎曲量變化的響應(yīng)分岔圖，由圖可以看出系統(tǒng)的響應(yīng)在初始彎曲量λ=0.629附近出現(xiàn)短暫的周期12運動外，都處于混沌運動狀態(tài)。圖8為不同初始彎曲量下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖和Poincare截面圖。對比圖5、6和圖7、8可以看出：在無量綱裂紋深度較小時，系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)主要受初始彎曲的影響，系統(tǒng)響應(yīng)除了出現(xiàn)短暫的周期12運動外，基本上處于混沌運動狀態(tài)；隨著無量綱裂紋深度的增加，無量綱裂紋深度導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)特性逐漸變得明顯，在不同的初始彎曲量下系統(tǒng)的響應(yīng)交替出現(xiàn)周期運動和混沌運動。

圖6　裂紋深度a/R=1.0不同初始彎曲時轉(zhuǎn)子軸心軌跡和Poincare截面圖

圖7　無量綱裂紋深度a/R=0.7時振動響應(yīng)隨初始彎曲量變化圖

圖8　裂紋深度a/R=1.0不同初始彎曲時轉(zhuǎn)子軸心軌跡和Poincare截面圖

4　結(jié)語

本文建立了在非線性油膜力和轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心作用下，考慮初始彎曲的含有裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析模型，推到了系統(tǒng)的運動微分方程，通過數(shù)值仿真方法分析了在不同裂紋深度和初始彎曲量對系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響，得出如下結(jié)論：

1) 隨著無量綱裂紋深度的增加，在轉(zhuǎn)速較低時，無量綱裂紋深度對系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)影響較小，而對轉(zhuǎn)速在臨界轉(zhuǎn)速和超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域的動力學(xué)特性影響較大，且系統(tǒng)發(fā)生倒分岔現(xiàn)象提前；當(dāng)考慮初始彎曲時，系統(tǒng)響應(yīng)在臨界轉(zhuǎn)速附近的混沌區(qū)域比不考慮時增大，且隨裂紋深度增大變化緩慢，這主要是由于初始彎曲的存在使得系統(tǒng)的響應(yīng)復(fù)雜化。

2) 進一步研究分析了初始彎曲量對系統(tǒng)振動特性的影響，結(jié)果表明：在無量綱裂紋深度較小時，系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)主要受初始彎曲的影響，系統(tǒng)響應(yīng)除了出現(xiàn)短暫的周期12運動外，基本上處于混沌運動狀態(tài)；隨著無量綱裂紋深度的增加，無量綱裂紋深度導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)特性逐漸變得明顯，在不同的初始彎曲量下系統(tǒng)的響應(yīng)交替出現(xiàn)周期運動和混沌運動。

本文考慮了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在實際中存在的初始彎曲，能夠更加真實地模擬出實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特征，更好地為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運動和故障的診斷提供理論參考。

[1] 趙常興.汽輪機組技術(shù)手冊[M].北京：中國電力出版社，2007.

[2] 黃文虎,夏送波.旋轉(zhuǎn)機械非線性動力學(xué)設(shè)計基礎(chǔ)理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[3] 甕雷,楊自春,曹躍云.汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔研究[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報，2015，27(5)：52-57.

[4] 甕雷,楊自春,曹躍云.汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下含裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性研究[J].振動與沖擊,2016,35(5):89-95.

[5] 張韜，孟光.具有初始彎曲和剛度不對稱的轉(zhuǎn)子碰摩現(xiàn)象分析[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2002，36(6)：844-848.

[6] 林富生，孟光.飛行器內(nèi)含橫向裂紋的初始彎曲轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性研究[J].振動工程學(xué)報，2004，17(s)：16-18.

[7] 楊積東，徐培民，聞邦椿.裂紋轉(zhuǎn)子分岔、混沌行為研究[J].固體力學(xué)學(xué)報，2002，23(1)：115-119.

[8] LI Ruqiang,LIU Yuanfeng. Simulation of crack diagnosis of rotor based on multi-scale singular-spectrum analysis[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2006,19(2):282-285.

[9] 曾復(fù)，吳昭同，嚴拱標.裂紋轉(zhuǎn)子的分岔與混沌特性分析[J].振動與沖擊，2000，19(1)：40-42.

[10] 李振平，金志浩，徐培民，等.含橫向裂紋的彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動力學(xué)研究[J].振動工程學(xué)報，2003，16(4)：468.471.

Nonlinear Characteristics of the Rotor-Bearing System with A Crack*

The dynamic model of a rotor system with crack fault is established. Considering the initial bend deformation of the rotor, and the movement differential equation is deduced. The effects of crack depth and the initial bending on the rotor system are analyzed using numerical methods. The results indicate that the phenomenon of the bifurcation happen in advance when the dimensionless depth of crack increase. And the response with initial bending is bigger than without initial bending, and the system response changes slowly with the depth of crack increase. And the effect of initial bending on the system is also analyzed in this paper. It indicates that the research on this paper can offer better theoretical reference for the fault diagnosis and safely running of rotor system.

crack, rotor system, nonlinear vibration

2016年2月13日,

2016年3月17日

張亞輝，男，工程師，研究方向：裝備技術(shù)保障。趙軍，男，碩士，助理工程師，研究方向：裝備技術(shù)保障。

TB561；U661.42

10.3969/j.issn.1672-9730.2016.08.047