衛(wèi)　軍，李松林，董榮珍，劉曉春，吳志強

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙　410075)

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考慮殘余變形影響的混凝土疲勞損傷本構模型*

衛(wèi)軍?，李松林，董榮珍，劉曉春，吳志強

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙410075)

從分析混凝土材料的基本損傷機制出發(fā)，考慮疲勞荷載作用下混凝土的損傷累積和殘余變形，推導了由Helmholtz自由能表示的混凝土本構方程，根據(jù)變分原理建立了基于能量的混凝土疲勞損傷本構模型.并根據(jù)疲勞過程中殘余變形的發(fā)展規(guī)律，定義了物理意義明確的殘余變形影響因子，并將其與混凝土變形模量損傷因子一同融入混凝土疲勞損傷本構模型中，為混凝土疲勞行為的計算機分析提供了一種更為精確、簡化的混凝土疲勞本構模型.試驗數(shù)據(jù)和數(shù)值算例的對比誤差不超過3%，從而驗證了該模型的準確性與適用性.

混凝土；殘余變形影響因子；疲勞行為；疲勞損傷本構模型；模型驗證

疲勞是指在低于靜載強度的循環(huán)荷載作用下材料所發(fā)生的性能劣化乃至失效[1].混凝土隨著疲勞加載歷程的進行，內部微裂縫不斷發(fā)展，損傷不斷積累.研究表明，隨著疲勞次數(shù)增加，彈性模量不斷降低，總變形逐漸增大，其中不可恢復的殘余變形部分亦不斷增加，這些都是混凝土材料在疲勞過程中非線性行為的顯著特征[2].如何在混凝土疲勞性能研究中全面考慮這些非線性特性，以實現(xiàn)對混凝土及預應力混凝土構件的疲勞性能演變的全過程分析，一直都是研究者和工程界感興趣的問題.

近年來，有研究者以實際重復加載過程中測量的殘余應變和疲勞破壞時極限殘余應變之比作為損傷變量建立了疲勞損傷演化方程[3].有研究者基于疲勞剛度退化、疲勞強度退化與疲勞殘余變形演變規(guī)律，提出了疲勞累積失效全過程的數(shù)值分析方法[4].有研究者考慮混凝土疲勞過程中殘余應變的影響，結合混凝土靜力單軸受壓本構關系，推導了混凝土疲勞損傷后的等效單軸受壓應力應變關系[5].有研究者根據(jù)疲勞等效累積原則和混凝土疲勞殘余應變的計算理論，推導出基于殘余應變的混凝土疲勞損傷模型[6].有研究者建立了混凝土棱柱體的非均質細觀數(shù)值模型, 引入彈塑性本構關系, 對混凝土的受壓性能進行了數(shù)值試驗,揭示了混凝土的非線性破壞機理[7].這些研究大大推進了混凝土疲勞非線性分析的研究進程，但現(xiàn)有的模型中有些非線性特性考慮不夠簡明、具體，大多分析過程較繁瑣、費時費力.

為了在混凝土疲勞的計算機分析中更加直觀、明確地考慮其非線性特性的影響，亟需構建一種物理意義明確、更為簡化的混凝土疲勞本構模型.本文分析了損傷累積和殘余變形的影響，定義了具有明確物理意義的殘余變形影響因子，結合變形模量損傷因子，建立了基于能量的混凝土疲勞損傷本構模型，試圖揭示混凝土的疲勞損傷演變機理及其疲勞受力行為演化規(guī)律.

1　混凝土疲勞損傷本構模型

1.1疲勞損傷本構模型的構建

由混凝土循環(huán)應力-應變曲線可以看出混凝土疲勞過程是一個損傷不斷累積的過程，此過程也是一個不可逆的熱力學過程，如圖1所示.

圖1中，εc(N)為混凝土循環(huán)加載N次后的總應變；εcr(N)為混凝土循環(huán)加載N次后的殘余應變；E(N)為混凝土循環(huán)加載N次后的彈性模量，E0為混凝土的初始彈性模量.

圖1　混凝土疲勞循環(huán)應力-應變曲線Fig.1　Fatigue cyclic stress-strain curve of concrete

混凝土疲勞損傷的過程中，若不考慮熱量的耗散，僅考慮等溫的純粹力學過程，混凝土的Helmholtz自由能ψ為應變ε和損傷變量D的狀態(tài)函數(shù)[8]：

(1)

式中：ε為應變；D為損傷變量.

基于熱力學的推導可以得到以Helmholtz自由能表示的混凝土材料本構方程基本形式[9]：

(2)

經典的損傷力學認為材料的損傷只與彈性變形有關，然而損傷還造成材料不可恢復的塑性變形，在材料損傷過程中的總應變可以寫成彈性應變和塑性應變之和[9]：

ε=εe+εp.

(3)

式中：εe為彈性應變；εp為塑性應變.

假定彈性與塑性Helmholtz自由能不耦合[10]，因此，疲勞過程混凝土的Helmholtz自由能分解成彈性和塑性兩部分：

(4)

若用C(D)代表混凝土N次疲勞損傷后的卸載剛度，那么彈性Helmholtz自由能可以定義為：

(5)

剛度退化由損傷導致，而損傷是不可逆的，因此C(D)為損傷變量D的非遞增函數(shù).對于初始無損傷狀態(tài)C(D)=E0，那么

(6)

混凝土N次疲勞后的彈性Helmholtz自由能用損傷變量表示：

(7)

由式(2)可得：

(8)

將式(3)和(7)代入式(8)得混凝土的受壓損傷本構模型：

(9)

式中：εp為塑性變形，疲勞荷載作用下為殘余變形εcr.

于是混凝土的疲勞損傷本構模型為：

(10)

式中：σc(n)≤σ0，σ0為初始加載時的應力值；εc(N)為循環(huán)荷載作用N次后的峰值應變；εcr(N)為循環(huán)荷載作用N次后的殘余應變.

式(10)即為混凝土的疲勞損傷本構模型，能很好地考慮混凝土在疲勞荷載作用下的損傷累積和殘余變形等非線性因素.

1.2模型參數(shù)的確定

1.2.1變形模量損傷因子

式(10)確定了混凝土的疲勞損傷本構模型，下面對模型中參數(shù)的具體取值進行簡化和確定.

D(N)為考慮混凝土疲勞過程剛度衰減的變形模量損傷因子：

(11)

1.2.2殘余變形影響因子

根據(jù)文獻[11]的試驗結果，混凝土在疲勞過程中的殘余應變和最大應變具有相同的三階段發(fā)展規(guī)律，其比值能很好地反映混凝土在疲勞過程的變形特征，將其比值定義為混凝土疲勞殘余變形影響因子，即：

(12)

式中：εcr(N)為循環(huán)荷載作用N次后的殘余應變；εc(N)為循環(huán)荷載作用N次后的總應變.

將式(11)和(12)代入式(10)得到：

(13)

式(13)即為混凝土疲勞損傷本構模型，在殘余變形影響因子確定的情況下，結合變形模量損傷因子，即可得到混凝土塑性損傷本構模型.該模型能夠全面考慮混凝土殘余變形和剛度退化對混凝土疲勞受力行為的影響，物理意義明確，可以方便地用于混凝土疲勞全過程的計算機分析.

2　模型驗證

2.1試驗驗證

利用文獻[12]中材料參數(shù)，根據(jù)式(13)確定相應的應力應變關系，與文獻[12]中試驗數(shù)據(jù)對比分析，如圖2所示.

應變/ε圖2　疲勞應力應變曲線Fig.2　Fatigue stress-strain curve

由圖2可看出，文中確定的混凝土疲勞損傷本構模型與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，隨著疲勞加載的進行，混凝土強度減小，彈性模量降低，變化規(guī)律與實際基本相符.

2.2數(shù)值算例

為了進一步驗證混凝土疲勞損傷本構模型，本文以文獻[13]中經受疲勞作用的混凝土棱柱體試塊力學行為演變作為算例，驗證混凝土疲勞損傷本構模型的準確性.

試塊尺寸70 mm×70 mm×210 mm；強度等級C15；實測抗壓強度fcm=14.35 MPa；疲勞制度：σmax=0.84fcm，σmin=0.1fcm；應力幅σ=0.74fcm.

2.2.1基本參數(shù)的取值

[11]中殘余應變和最大應變的計算公式，確定混凝土的殘余變形影響因子：

(14)

N≤0.1Nf；

(15)

εc(N)=εc(0.1Nf)+

0.1Nf

(16)

式中：εc,max,εc,min分別為循環(huán)荷載的上下限對應的瞬時應變；εcr(1)為應力循環(huán)第一次的殘余應變；εunstab為疲勞變形第三階段開始時混凝土的縱向總變形.

參照大量研究結果，認為混凝土第三階段開始時混凝土的縱向總變形εunstab與疲勞荷載應力幅和疲勞次數(shù)無關，只取決于混凝土材料的性質.取混凝土一次加載破壞時峰值應力對應的應變?yōu)棣?[14].

考慮εcr(1)為第一次加載卸載的殘余應變，參考文獻[15]取εcr(1)=0；

將式(14)(15)(16)代入式(12)計算殘余變形影響因子；

參考文獻[16]，考慮混凝土強度等級的影響，按下式確定D(N).

(17)

選用ABAQUS的C3D8R單元，網(wǎng)格為5 mm，采用式(13)定義的混凝土疲勞損傷本構關系，按照式(18)規(guī)定的混凝土累積損傷的破壞準則[17]，進行建模分析．

(18)

2.2.2結果分析

疲勞過程中殘余應變和最大應變計算結果與文獻中試驗結果對比如圖3和圖4所示.

疲勞加載歷程/(n/Nf)圖3　殘余應變隨加載歷程的變化曲線Fig.3　Change curve of residual strain with loading history

疲勞加載歷程/(n/Nf)圖4　縱向最大應變隨加載歷程的變化曲線Fig.4　Change curve of longitudinal maximum strain with loading history

根據(jù)應變計算結果，采用割線形式定義混凝土變形模量，采用式(11)計算混凝土在疲勞過程中的損傷變量的演變規(guī)律，與文獻[3]中考慮殘余應變的損傷演變模型對比如圖5所示.

疲勞加載歷程/(n/Nf)圖5　損傷演變曲線Fig.5　Curves of damage evolution

結果分析：疲勞過程殘余應變的數(shù)值模擬結果與文獻[13]中試驗結果相比略有偏大，但最大誤差沒有超過10%；疲勞過程最大應變在加載初期和臨近破壞階段的數(shù)值模擬結果與試驗結果基本相等，中間穩(wěn)定發(fā)展階段略有偏小，最大誤差在3%左右.總體上看混凝土的殘余應變和最大應變在整個疲勞破壞的過程中都呈現(xiàn)倒S的三階段遞增的發(fā)展規(guī)律，與試驗數(shù)據(jù)吻合較好.

通過本文方法計算的損傷變量演化規(guī)律與文獻[3]的損傷演變模型計算值和文獻中試驗值相差較小，吻合得很好，混凝土疲勞過程損傷演變都呈現(xiàn)倒S的三階段遞增的發(fā)展規(guī)律.

分析表明：采用本文定義的殘余變形影響因子,能很好地反映混凝土的非線性特性，融入混凝土的疲勞損傷本構模型，有助于揭示混凝土疲勞受力行為的演變過程，為混凝土疲勞行為的計算機分析提供了更簡化、更精確的疲勞損傷本構模型.

3　結　論

1) 本文定義的殘余變形影響因子，其物理意義明確，形式簡單，能夠準確地反映混凝土疲勞非線性特性和受力行為的演變過程.

2) 將殘余變形影響因子作為參數(shù)，結合變形模量損傷因子，能夠簡單直接地應用于混凝土損傷本構模型，得到形式簡單、物理意義明確的混凝土疲勞損傷本構模型.

3) 算例表明：考慮殘余變形影響因子和變形模量損傷因子的混凝土疲勞損傷本構模型能夠全面反映混凝土疲勞非線性特性，準確、便捷地用于混凝土疲勞受力行為分析，誤差在3%左右.

本文僅在等幅疲勞應力下研究混凝土疲勞損傷本構模型，考慮加載頻率以及變幅應力的影響將在進一步的研究中展開.

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Fatigue Damage Constitutive Model of Concrete Considering the Effect of Residual Deformation

WEI Jun?，LI Song-lin，DONG Rong-zhen，LIU Xiao-chun, WU Zhi-qiang

(School of Civil Engineering, Central South Univ, Changsha, Hunan410075, China)

On the basis of the fundamental damage mechanism of concrete, damage accumulation and residual deformation of concrete under fatigue loading were considered, and the constitutive equation of concrete expressed by Helmholtz free energy was derived. An energy based fatigue damage constitutive model was then proposed by using the variation principle. Meanwhile, based on the development law of the residual deformation of concrete under fatigue load, the influencing coefficient of the residual deformation with definite physical meaning was defined, which was then included into the plastic damage constitutive model of concrete together with the damage factor of deformation modulus in order to provide a more accurate and convenient fatigue constitutive model. To verify the accuracy and applicability of the proposed model, the results of the numerical examples were compared with the experimental data, where no more than 3% of error was observed.

concrete; impact factor of residual deformation; fatigue behavior; fatigue damage constitutive model; model verification

1674-2974(2016)07-0057-05

2015-09-06

國家自然科學基金資助項目(51378501, 51578547), National Natural Science Foundation of China (51378501, 51578547)

衛(wèi)軍(1957-)，男，河南新鄉(xiāng)人，中南大學教授，博士生導師

?通訊聯(lián)系人，E-mail:juneweii@163.com

TU528.01

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