黃　山　覃　華　蘇一丹　馮志新

(1.廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院　南寧　530004)(2.廣西通信規(guī)劃設(shè)計(jì)咨詢(xún)有限公司　南寧　530022)

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解復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法

黃山1覃華1蘇一丹1馮志新2

(1.廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院南寧530004)(2.廣西通信規(guī)劃設(shè)計(jì)咨詢(xún)有限公司南寧530022)

研究了一種解復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法(DQGA)。設(shè)計(jì)一種動(dòng)態(tài)量子旋轉(zhuǎn)角的更新策略及量子門(mén)調(diào)整策略,以加快算法收斂速度,同時(shí)為淘汰適應(yīng)度差的個(gè)體,量子旋轉(zhuǎn)策略表中動(dòng)態(tài)地嵌入了變異算子。在算法進(jìn)化后期引入災(zāi)變算子使算法及時(shí)跳出局部最優(yōu),避免早熟收斂。五個(gè)復(fù)雜連續(xù)函數(shù)的測(cè)試實(shí)驗(yàn)表明:所提算法對(duì)復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的尋優(yōu)能力較QGA更強(qiáng),算法的穩(wěn)定性更高,算法的迭代次數(shù)亦優(yōu)于傳統(tǒng)量子遺傳算法。

復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化; 量子遺傳算法; 動(dòng)態(tài)調(diào)整旋轉(zhuǎn)角; 災(zāi)變算子

Class NumberTP18

1　引言

量子遺傳算法(Quantum Genetic Algorithm,QGA)將量子計(jì)算原理引入到傳統(tǒng)的遺傳算法中,用量子比特編碼來(lái)表示染色體,用量子門(mén)來(lái)更新染色體,進(jìn)而完成進(jìn)化搜索,提高遺傳算法搜索的性能,使其具有種群規(guī)模小卻不影響算法性能、同時(shí)兼有“探索”(exploration)和“利用”(exploitation)的能力、收斂速度快和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]首次提出了量子遺傳算法的概念;文獻(xiàn)[2～3]分別提出了遺傳量子算法和并行量子遺傳算法,并將兩算法都用來(lái)求解組合優(yōu)化問(wèn)題,結(jié)果表明以量子比特為基礎(chǔ)的量子遺傳算法更適合于解決組合優(yōu)化問(wèn)題,為將量子遺傳算法應(yīng)用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者陸續(xù)提出了一些改進(jìn)的量子算法[4～7]。

量子遺傳算法常用Han等提出的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)在量子態(tài)中搜索獲得問(wèn)題的解,此旋轉(zhuǎn)門(mén)利用旋轉(zhuǎn)角的改變對(duì)種群進(jìn)行更新,但旋轉(zhuǎn)角的選取一般都很小,探索(exploration)解的效率較低,在復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化上容易導(dǎo)致迭代次數(shù)多、收斂速度慢、容易陷入局部極值等問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),文獻(xiàn)[7]采用量子比特相位比較法更新量子門(mén)和自適應(yīng)調(diào)整搜索網(wǎng)格的策略,極大地保持種群的多樣性,提高算法性能。文獻(xiàn)[8]采用動(dòng)態(tài)調(diào)整量子旋轉(zhuǎn)角和優(yōu)體交叉的策略,提高量子遺傳算法的計(jì)算性能。文獻(xiàn)[9]結(jié)合小生境技術(shù)和懲罰函數(shù)淘汰相似性高的個(gè)體,并使用動(dòng)態(tài)調(diào)整旋轉(zhuǎn)角策略,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,算法性能優(yōu)于QGA。以上改進(jìn)的量子遺傳算法雖提高了算法的性能,但改進(jìn)的效果還有進(jìn)一步優(yōu)化的可能。本文正是在以上改進(jìn)算法的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化,提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法(DQGA),采用新的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)調(diào)整策略及動(dòng)態(tài)調(diào)整量子旋轉(zhuǎn)角,以加快收斂速度,同時(shí)將變異算子動(dòng)態(tài)地嵌入到量子旋轉(zhuǎn)策略表中,改變適應(yīng)度差的個(gè)體,此外,在算法進(jìn)化后期引入災(zāi)變算子使算法及時(shí)跳出局部最優(yōu),避免早熟收斂,提高算法性能。在五個(gè)復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題上驗(yàn)證算法,結(jié)果表明:算法的全局尋優(yōu)能力、收斂速度、迭代次數(shù)均較傳統(tǒng)QGA更好,說(shuō)明本文的改進(jìn)是可行的。

2　解復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化的DQGA

2.1改進(jìn)的量子門(mén)

在QGA中,量子位是信息表示的最小單元,量子位又稱(chēng)為量子比特(quantum bit,qubit)。單量子比特的任意狀態(tài)都可以表示為兩個(gè)基本狀態(tài)的線(xiàn)性組合。單量子位的狀態(tài)可表示為

|Ψ〉=α|0〉+β|1〉

(1)

其中α和β稱(chēng)為量子態(tài)的概率幅,|α|2、|β|2分別表示觀(guān)測(cè)到|0〉態(tài)和|1〉態(tài)的概率,且滿(mǎn)足

|α|2+|β|2=1

(2)

在QGA中,第t代的量子種群表示為

(3)

式(3)中,m表示染色體基因數(shù),即染色體長(zhǎng)度。

用量子旋轉(zhuǎn)門(mén)更新量子種群的方法如下:

(4)

(5)

式(5)中,θi為旋轉(zhuǎn)角,θi=s(αi,βi)·Δθi,s(αi,βi)為旋轉(zhuǎn)角的符號(hào),Δθi為旋轉(zhuǎn)角的大小,它們由事先設(shè)計(jì)的調(diào)整策略確定。

本文采用一種新的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)調(diào)整策略(如表1),其核心思想是:在任何狀態(tài)下,個(gè)體的每一位量子位都朝著最優(yōu)個(gè)體的量子位方向旋轉(zhuǎn)變化。例如:如果當(dāng)前染色體的第i位為xi=0,最優(yōu)染色體的第i位bi=1,若f(xi)≥f(bi),θi將根據(jù)(αi,βi)所在象限進(jìn)行逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使幾率幅(αi,βi)向著有利“1”狀態(tài)出現(xiàn)的方向演化。

表1　量子旋轉(zhuǎn)門(mén)調(diào)整策略

表1中的調(diào)整角步長(zhǎng)δ影響著收斂速度,如果過(guò)大,更新幅度過(guò)大,容易導(dǎo)致早熟;如果過(guò)小,會(huì)使收斂速度減慢,甚至處于停滯狀態(tài)。所以,本文提出了一種新的動(dòng)態(tài)調(diào)整旋轉(zhuǎn)角策略,并將變異算子動(dòng)態(tài)地嵌入到量子旋轉(zhuǎn)策略中。該策略下δ的取值公式如下:

(6)

依據(jù)文獻(xiàn)[10]建議的旋轉(zhuǎn)角度取值范圍一般在0.001π～0.05π之間,并結(jié)合多次試驗(yàn)的結(jié)果,令式(6)中θmin=0.01π,θmax=0.05π。fx為當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度值,fb為種群當(dāng)前的進(jìn)化目標(biāo)適應(yīng)度值,favg為每代種群平均適應(yīng)度值。

若fx>favg,采用動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角機(jī)制調(diào)整旋轉(zhuǎn)角度δ:當(dāng)前個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體相差較大時(shí),即(fb-fx)的值較大時(shí),δ就比較大,增大搜索網(wǎng)格,以加快搜索速度;反之,當(dāng)前個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體相差較小時(shí),即(fb-fx)的值較小時(shí),δ就比較小,縮小搜索網(wǎng)格,可以實(shí)現(xiàn)細(xì)搜索。

若fx≤favg,令δ=0.5π,采取量子變異操作,量子旋轉(zhuǎn)門(mén)轉(zhuǎn)換成量子非門(mén)(如式(7)),改變?cè)摿孔游坏寞B加狀態(tài),使原來(lái)傾向于坍縮到“0”狀態(tài)的變?yōu)閮A向于坍縮到“1”狀態(tài),或者使原來(lái)傾向于坍縮到“1”狀態(tài)的變?yōu)閮A向于坍縮到“0”狀態(tài),從而產(chǎn)生新的個(gè)體。

(7)

這種將變異算子動(dòng)態(tài)地嵌入到量子旋轉(zhuǎn)策略中的方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,并且能有效地淘汰適應(yīng)度低的個(gè)體,甚至產(chǎn)生新個(gè)體,從而增加種群的多樣性,同時(shí)也能有效地避免早熟收斂,增強(qiáng)尋優(yōu)能力。

2.2災(zāi)變算子

災(zāi)變算子就是模擬自然界的災(zāi)變現(xiàn)象來(lái)提高算法性能的一種方法。當(dāng)算法連續(xù)數(shù)代的最優(yōu)個(gè)體都無(wú)任何變化時(shí),表明算法已陷入局部極值,需要采取措施使其跳出局部極值的束縛。對(duì)種群實(shí)施災(zāi)變操作,給種群一個(gè)較大的擾動(dòng),宛如自然界中種族瀕臨滅絕后的重生,可以使算法跳離局部最優(yōu)點(diǎn),開(kāi)始新的搜索。

災(zāi)變的方法有很多,可以是突然增大變異概率或者對(duì)不同個(gè)體實(shí)施不同規(guī)模的突變,以產(chǎn)生不同數(shù)目的大量后代等。災(zāi)變方法可以打破原有基因的壟斷,增加基因的多樣性。本文使用的量子災(zāi)變的具體做法是:只保留進(jìn)化目標(biāo)值和最優(yōu)個(gè)體,重新初始化所有新個(gè)體。

2.3DQGA算法流程

改進(jìn)的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法的具體流程步驟如下:

3) 對(duì)所有二進(jìn)制解P(t0)進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估。對(duì)于函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,若函數(shù)為求最大值問(wèn)題,適應(yīng)度函數(shù)可直接取目標(biāo)函數(shù),若函數(shù)為求最小值問(wèn)題,則通過(guò)f(x)=-f(x)變形,調(diào)整為求最大值問(wèn)題。

4) 記錄最優(yōu)個(gè)體和對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值,并作為下一代進(jìn)化目標(biāo)。

5) 判斷是否滿(mǎn)足終止條件,如果滿(mǎn)足則結(jié)束進(jìn)化,輸出最優(yōu)個(gè)體,否則繼續(xù)下面的步驟。

6) 迭代次數(shù)t=t+1。

7) 對(duì)種群Q(t)中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行一次測(cè)量,得到對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制解P(t)。

8) 對(duì)所有二進(jìn)制解P(t)進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估。

9) 利用新量子旋轉(zhuǎn)門(mén)U對(duì)Q(t)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整,得到新的下一代種群Q(t+1)。

10) 記錄最優(yōu)個(gè)體和對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。

11) 判斷是否進(jìn)行災(zāi)變操作。本文根據(jù)算法在進(jìn)化過(guò)程中,如果最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度連續(xù)數(shù)代或數(shù)十代都沒(méi)有變化,則進(jìn)行災(zāi)變操作。返回步驟5)。

3　實(shí)驗(yàn)測(cè)試與分析

3.1實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行環(huán)境為:CPU為Intel Pentium G640,主頻2.8GHz;內(nèi)存2GB;操作系統(tǒng)Windows 7—32位,用Matlab R2014a實(shí)現(xiàn)算法。

選取五個(gè)典型的連續(xù)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)算法的驗(yàn)證,各函數(shù)如下:

1) 簡(jiǎn)單平方和函數(shù)

該函數(shù)只有一個(gè)極小點(diǎn)f(0,0)=0。

2) De Jong函數(shù)

-2.048≤xi≤2.048,i=1,2

這是一個(gè)二維函數(shù),在整個(gè)解域中只有一個(gè)全局最小點(diǎn)f(1,1)=0,該函數(shù)雖然是單峰函數(shù),但卻是病態(tài)的,難以進(jìn)行全局優(yōu)化。

-2≤xi≤2,i=1,2

該函數(shù)在其定義域內(nèi)有四個(gè)極小值點(diǎn),只有一個(gè)全局最小值點(diǎn)f(0,-1)=3。

4) 六峰值駝背函數(shù)

-3≤xi≤3,i=1,2

該函數(shù)共有六個(gè)局部極小值點(diǎn),其中有兩個(gè)全局最小值點(diǎn),即:

f(-0.0898,0.7126)=f(0.0898,-0.7129)

=-1.031628

5) Shaffer’s F1函數(shù)

-5.12≤xi≤5.12,i=1,2

該函數(shù)為典型的多峰函數(shù),在其定義域內(nèi)有很多個(gè)局部極大值點(diǎn),全局極大點(diǎn)f(0,0)=0。

其中,測(cè)試函數(shù)F1～F4是求最小值問(wèn)題,適應(yīng)度函數(shù)Fit(Fi)=-Fi(i=1,2,3,4),而測(cè)試函數(shù)F5是求最大值問(wèn)題,適應(yīng)度函數(shù)Fit(F5)=F5。

本文采用傳統(tǒng)遺傳算法(GA)、傳統(tǒng)量子遺傳算法(QGA)和改進(jìn)的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法(DQGA)對(duì)上述五個(gè)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,從而進(jìn)行比較。

傳統(tǒng)遺傳算法(GA):種群大小n=100,交叉率Pc=0.7,變異概率Pm=0.05,染色體長(zhǎng)度L=40,進(jìn)化代數(shù)g=1000,采用二進(jìn)制編碼。

傳統(tǒng)量子遺傳算法(QGA):種群大小n=40,染色體長(zhǎng)度L=40,進(jìn)化代數(shù)g=1000,量子旋轉(zhuǎn)角調(diào)整策略取自文獻(xiàn)[11]。

本文改進(jìn)的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法(DQGA):種群大小n=40,染色體長(zhǎng)度L=40,進(jìn)化代數(shù)g=1000。

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為說(shuō)明本文DQGA算法具有良好的收斂性和尋優(yōu)能力,DQGA和傳統(tǒng)遺傳算法GA、傳統(tǒng)量子遺傳算法QGA分別對(duì)上述測(cè)試函數(shù)F1～F5進(jìn)行優(yōu)化,從質(zhì)量和效率兩方面來(lái)評(píng)估算法的性能。

表2是本文算法計(jì)算結(jié)果與GA、QGA算法的比較。用最優(yōu)值、最差值、平均值、平均值與理論最優(yōu)值的偏差值、平均精度提高量這五個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量算法的質(zhì)量。其中,平均精度提高量是指DQGA相對(duì)GA、QGA在平均值的精度上所提高的數(shù)量級(jí)。

從表2的最優(yōu)值可以看出,DQGA解的質(zhì)量要明顯優(yōu)于GA,略?xún)?yōu)于QGA,但從平均值來(lái)看,DQGA解的精度遠(yuǎn)優(yōu)于GA和QGA。從平均偏差值來(lái)看,DQGA的值最小,與理論最優(yōu)值相差最小,更接近理論最優(yōu)值,說(shuō)明DQGA比GA和QGA穩(wěn)定性更高。從平均精度提高量來(lái)看,DQGA相對(duì)GA提高的精度最大能達(dá)到1010,最小也能達(dá)到103;DQGA相對(duì)QGA提高的精度最大能達(dá)到108,最小也能達(dá)到101。表明改進(jìn)算法在解的質(zhì)量上有很大的改進(jìn),說(shuō)明本文算法是可行有效的。

表2　測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

表3是本文DQGA與其他改進(jìn)量子遺傳算法對(duì)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果的比較。從表3可以看出,在求解上述復(fù)雜連續(xù)函數(shù)時(shí),本文DQGA的最優(yōu)值和平均值的計(jì)算精度都要高于其他改進(jìn)算法,且本文算法的解更接近理論最優(yōu)值,說(shuō)明本文算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力和全局搜索能力。

表4是五個(gè)測(cè)試函數(shù)的收斂結(jié)果比較。算法的最大進(jìn)化代數(shù)設(shè)置為1000,每個(gè)算法進(jìn)行100次測(cè)試,收斂精度為10-3,即當(dāng)|優(yōu)化值-理論最優(yōu)值|<10-3時(shí),則認(rèn)為算法收斂。

從表4的收斂次數(shù)來(lái)看,DQGA對(duì)五個(gè)測(cè)試函數(shù)優(yōu)化的收斂次數(shù)都是100,說(shuō)明DQGA能夠100%全局收斂,且算法穩(wěn)定性高;QGA對(duì)F1和F3函數(shù)優(yōu)化的收斂次數(shù)也是100,但對(duì)于像F2這樣的病態(tài)函數(shù)的優(yōu)化卻很難全局收斂;GA收斂效果最差,100次實(shí)驗(yàn)測(cè)試只有幾次甚至0次的收斂,極其容易早熟。從平均收斂迭代次數(shù)和平均收斂時(shí)間來(lái)看,DQGA的收斂迭代次數(shù)、收斂時(shí)間都是最少的,而且DQGA相對(duì)GA時(shí)間減少71%以上,相對(duì)QGA時(shí)間減少43%以上,說(shuō)明算法能夠較快的收斂到全局最優(yōu)值。說(shuō)明本文改進(jìn)的量子遺傳算法是可行的。

表3　DQGA與其他改進(jìn)算法的優(yōu)化結(jié)果比較

表4　測(cè)試函數(shù)收斂結(jié)果比較

圖1是DQGA與QGA、GA對(duì)測(cè)試函數(shù)F2、F4的一次優(yōu)化過(guò)程曲線(xiàn),即函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線(xiàn)。從圖1可以看出,GA最快陷入早熟,收斂到局部最優(yōu)值,而DQGA的收斂速度最快,說(shuō)明本文提出的改進(jìn)方法能夠大大地提高量子遺傳算法的效率。

4　結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)QGA算法機(jī)理進(jìn)行了分析,針對(duì)其解復(fù)雜連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)存在的收斂速度慢的不足,提出采用新的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)調(diào)整策略并動(dòng)態(tài)調(diào)整量子旋轉(zhuǎn)角的改進(jìn)方法,加快收斂速度,同時(shí)在量子旋轉(zhuǎn)策略表中動(dòng)態(tài)的嵌入變異算子,改變適應(yīng)度差的個(gè)體,從而產(chǎn)生新的個(gè)體?？紤]QGA的早熟現(xiàn)象,在算法進(jìn)化后期加入災(zāi)變算子使其能及時(shí)跳出局部最優(yōu)點(diǎn),從而最大限度地避免早熟收斂。根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)的測(cè)試實(shí)驗(yàn)證明,改進(jìn)的動(dòng)態(tài)量子遺傳算法在全局搜索能力和收斂速度以及解的質(zhì)量上均優(yōu)于傳統(tǒng)的量子遺傳算法,且算法的平均收斂時(shí)間也要優(yōu)于基本的QGA算法,說(shuō)明本文的改進(jìn)算法是可行的并且是有效的。

圖1　測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化曲線(xiàn)

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LI Shiyong, LI Panchi. Quantum Computation and Quantum Optimization Algorithms[M]. Harbin: Harbin Institute of Technology Press,2009.76.

Complex Continuous Function Optimization Problem of Dynamic Quantum Genetic Algorithm
HUANG Shan1QIN Hua1SU Yidan1FENG Zhixin2
(1. College of Computer and Electronic Information, Guangxi University, Nanning530004)

(2. Guangxi Communications Planning and Design Consulting Limited Company, Nanning530022)

A complex continuous function optimization of dynamic quantum genetic algorithm (DQGA) is studied. A dynamic update strategy of quantum rotation angle and quantum gate adjust strategy is designed to speed up the algorithm convergence speed, at the same time for the elimination of poor fitness individuals, the mutation operator dynamically is embedded in the quantum rotation strategy table. Introducing the cataclysm operator in the late evolution algorithm makes the algorithm timely and jump out of local optimum, premature convergence is avoid. Five complex continuous functions of the test results show that the proposed algorithm’s optimization ability for optimization of complex continuous function is stronger than QGA, the stability of the algorithm is higher, the iteration number of the algorithm is superior to traditional quantum genetic algorithm.

complex continuous function optimization, quantum genetic algorithm, dynamic adjusting rotation angle, the cataclysm operator

2016年2月1日,

2016年3月11日

面向大規(guī)模不完備不一致數(shù)據(jù)的自適應(yīng)粒化分類(lèi)模型及高效分類(lèi)方法研究(編號(hào):61363027);教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(編號(hào):11YJAZH080)資助。

黃山,女,碩士,研究方向:智能優(yōu)化及在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用。覃華,男,博士,教授,研究方向:量子計(jì)算理論與近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化方法、數(shù)據(jù)挖掘。蘇一丹,男,博士,教授,研究方向:自然計(jì)算、電子商務(wù)、信息安全。

TP18

10.3969/j.issn.1672-9722.2016.08.003