鞏子坤 何聲清

【摘 要】以401名9～14歲兒童為被試對象，考察其心目中的雪花分布，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：兒童描述的雪花分布不外乎隨機與不隨機兩類；給出的理由可以分為4類，分別為運用模糊的概率知識、主觀判斷、動手試驗與其他。進一步分析表明，給出“主觀判斷”理由的兒童比給出“運用模糊的概率知識”理由的兒童，描述出的雪花分布更高的比例是隨機的；動手試驗得到的雪花分布均是隨機的。原因在于大部分兒童將“多次試驗結(jié)果的規(guī)律性”與“一次試驗結(jié)果的隨機性”混淆了。動手試驗是認知隨機性的有效方式。

【關(guān)鍵詞】兒童 雪花分布 隨機性 教學建議

一、引言

概率認知的一個重要方面，是對隨機性的認知。按照認知的復雜程度，我們把隨機性分為三類：隨機事件，如拋一枚硬幣，朝上一面的情形，可能正面朝上，也可能反面朝上；獨立序列，如連續(xù)拋一枚硬幣10次，朝上一面的情形，可能是3次正面朝上7次反面朝上，也可能5次正面朝上5次反面朝上；雪花分布，如16片雪花隨機飄落到由16塊方磚構(gòu)成的平坦房頂上，雪花分布的情形，可能16片雪花飄落到7塊方磚上，也可能飄落到12塊方磚上。

嚴加安院士說：“隨機非隨意，概率破玄機。無序隱有序，統(tǒng)計解迷離?！盵1]隨機性中隱藏著規(guī)律性，對隨機性的認知，本質(zhì)上就是對規(guī)律性的認知。然而，要認識到這種規(guī)律性，還是比較困難的。因為，雖然日常生活中隨機事件隨處可見，非正式的概率知識有著較好的現(xiàn)實基礎(chǔ)，但隨機性規(guī)律與我們?nèi)粘Ｋ鶎W習的數(shù)學規(guī)律還是有著較大的區(qū)別的，學習隨機性的思維方式與學習確定性數(shù)學的思維方式也還是有著較大區(qū)別的。比如，Green等人的研究表明，學校確定性數(shù)學——科學演繹推理模式主導的課程扼殺了學生對于隨機性的認知[2]。

義務教育階段數(shù)學課程所涉及的主要是隨機事件，這是對隨機性最初步的認知。相應地，對隨機事件的研究也比較多。有的數(shù)學教材中也出現(xiàn)了獨立序列[3]，雖然這樣的內(nèi)容并不是課程標準所規(guī)定的。義務教育階段數(shù)學教材中沒有出現(xiàn)雪花分布這樣的內(nèi)容，因而很少有人關(guān)注或研究兒童對雪花分布的認知。

我們采用分層取樣的方式，選取浙江省S市城區(qū)、城鄉(xiāng)接合地區(qū)2個類型學校9～14歲的401名兒童作為被試對象（我們的研究表明，城市、城鄉(xiāng)接合部、農(nóng)村兒童之間的概率認知沒有顯著性差異，所以樣本具有代表性），通過以下調(diào)查題目，了解兒童心目中的雪花分布。

題目：如圖所示，花園房頂是平的，由16塊尺寸相等的方磚構(gòu)成。開始下雪了，過了一會，16片雪花飄落到房頂。請標出16片雪花可能落在什么地方（用×表示一片雪花），并寫一寫你的理由。

學生基于已有的生活經(jīng)驗與概率知識，給出了雪花在房頂?shù)姆植肌＿@些雪花分布，哪些是隨機的？哪些是不隨機的？判斷的標準是什么？我們可以從生活經(jīng)驗與概率知識兩個方面來回答這些問題。

生活經(jīng)驗告訴我們（這里的我們是指成年人了），16片雪花都飄落到一塊方磚上的可能性比較小，除非出現(xiàn)了人為的情形，比如，你用掃帚把這些雪花掃到了一起；同樣地，16片雪花均勻地落到每一塊方磚上的可能性也比較小。這是兩種極端的情形。排除掉這兩種極端的情形，生活經(jīng)驗告訴我們，16片雪花所占的方磚數(shù)應該不多也不少，才可能是沒有受到人為干涉，才可能是隨機的。到底什么才是“不多也不少”呢？就是極端的情形不能夠出現(xiàn)，用概率的知識來說，就是“小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的”。比如，某廠家生產(chǎn)的燈泡合格率是90%。今天，我們接到了一批產(chǎn)品，理論上而言，這批產(chǎn)品的合格率應該是90%。這批產(chǎn)品的合格率是否達到了呢？我們從中隨機抽取100只，發(fā)現(xiàn)有30只不合格。我們很容易計算出，30只燈泡不合格的可能性是1.84×10-8——這是小概率事件。所謂小概率事件，是我們根據(jù)實際需要來確定的，有時候規(guī)定，可能性小于等于0.05的事件就是小概率事件；有時候規(guī)定，可能性小于等于0.01的事件才是小概率事件。如果這批產(chǎn)品是合格的，小概率事件是不可能發(fā)生的；既然發(fā)生了（這是事實），我們只好說，這批產(chǎn)品不合格。當然，這樣去做判斷，也可能會犯錯誤，但是，我們可以把出錯的可能性控制在一個可以接受的范圍內(nèi)。什么是雪花分布的“小概率事件”呢？根據(jù)概率的相關(guān)公式，我們可以計算出，雪花所占的方磚數(shù)在7～13范圍內(nèi)的概率為95%，而小于7或大于13的概率只有5%左右。因此，“雪花所占的方磚數(shù)小于7或大于13”就是小概率事件。在學生給出的雪花分布中，如果雪花所占的方磚數(shù)在7～13的范圍內(nèi)，我們初步判定雪花分布是隨機的；否則，判定雪花分布不是隨機的。

進一步對初步判定為隨機的雪花分布進行繼續(xù)考察，如果這些雪花分布具有明顯的規(guī)律性（如嚴格關(guān)于中軸線對稱等），則判定為不具有隨機性。比如，以下回答就不具有隨機性。

如果學生在圖中標出的雪花數(shù)超過或者不足16片，均作為無效數(shù)據(jù)處理。

綜上，如果方磚上的雪花總數(shù)恰好為16片，且雪花所占的方磚數(shù)在7～13之間，且雪花分布沒有明顯的規(guī)律性，我們判定這樣的雪花分布是隨機的，其余情形均判定為不隨機。分布是隨機的記為1分，否則為0分。

二、兒童心目中的雪花分布

學生在描述了心目中的雪花分布后，給出了各種各樣的理由。這些分布不外乎隨機與不隨機兩類；理由可以分為4類，分別如下。

（一）運用模糊的概率知識進行判斷

3836號兒童描述的分布如圖1，理由是“因為每一塊方磚都有的概率得到雪花，而雪花又正好是16片，又有的概率飄到不同的方磚上”。

這是經(jīng)常出現(xiàn)的情形。既然每一塊方磚都有的可能得到雪花，而恰恰是16片雪花，因而，每一塊方磚上正好有一片雪花。描述了同樣分布的兒童，給出了以下類似的理由。有的兒童干脆做起了除法：16÷16=1，所以每塊方磚上一片雪花。3835號、3432號兒童給出的理由分別是“因為機會平等”“因為有16塊方磚，而正好有16片雪花，每一片雪花很少疊在一起，但它們的數(shù)目相等，這樣剛剛好，這樣很公平”。顯然這些分布都是不隨機的。

學生之所以呈現(xiàn)出這種模糊的概率知識，首要原因是他們將“多次試驗結(jié)果的規(guī)律性”和“一次試驗結(jié)果的隨機性”混淆了，沒有意識到每一片雪花的下落過程是獨立的。更具體地說，從長時間結(jié)果來看，如果連續(xù)下了幾小時的雪，每塊方磚上的雪花個數(shù)理論上是差不多的。但是，這是長時間重復試驗才表現(xiàn)出的“規(guī)律”。換言之，用頻率估計概率的過程，是長時間、多次重復試驗之后根據(jù)各個結(jié)果的頻率進行歸納（估計）的過程。兒童持有模糊的概率知識，其認知局限表現(xiàn)在，少數(shù)幾次的試驗結(jié)果不足以概括多次、重復試驗的結(jié)果樣態(tài)。前者具有特殊性（即時性、隨機性），后者具有一般性（規(guī)律性）。其次，學生的這種模糊的概率知識還可能與其逐漸發(fā)展的確定性思維有關(guān)：兒童將“16”片雪花和“16”塊方磚建立聯(lián)系，“等分”思想在其決策過程中發(fā)揮了重要作用。

3526號兒童描述的分布如圖2，理由是“因為雪花不一定飄落在每一塊方磚上，有可能有2片或者3片雪花飄落在同一塊方磚上”。3402號給出了類似的分布，理由是“因為雪花是隨意落下來的，所以落的地方也就不一樣”。2532號給出了類似的分布，理由是“雪花可能會下到任何的地方，有可能會在一起”。

在兒童看來，雪花的飄落是隨機的，因而，不可能每一片雪花飄落在每一塊（不同的）方磚上，所以出現(xiàn)了有的方磚上2片、有的3片的情形。而這樣的情形恰恰是隨機的。

同樣從“每一片雪花飄落到方磚上是隨機的”出發(fā)，一種觀點認為，機會均等，所以，一塊方磚上一片雪花；一種觀點認為，一塊方磚上可能多于一片雪花。這就體現(xiàn)出隨機事件的規(guī)律性與隨機性：大量試驗的規(guī)律性與一次試驗的隨機性。因而，一次試驗是不可能出現(xiàn)規(guī)律性的。事實上，每塊方磚一片雪花的概率只有十萬分之一。

（二）根據(jù)自己的生活經(jīng)驗、喜好進行主觀判斷

3843號兒童描述的分布如圖3，理由是“因為雪花是隨風飄的，沒有固定結(jié)果”。3838號描述了類似的分布，理由是“因為雪花是不規(guī)則的，它可以飄向任意一個方向”。

3509號兒童描述的分布如圖4，理由是“因為角上會難一點落到，所以四個角上都沒有雪花落到”。3501號描述了類似的分布，理由是“它們可能隨處亂飄，可能一塊方磚上一片，也可能幾片落在一塊磚上”。

3428號兒童描述的分布如圖5，理由是“因為中間雪花不太容易掉下來”。3419號給出了類似的分布，理由是“它們在一起”。明顯地，兒童提供的這些理由，無論是“隨風飄”“亂飄” “不規(guī)則”，還是“中間的雪花不容易掉下來”，大都來自自己的生活經(jīng)驗，大都來自自己的主觀意識，而基于生活經(jīng)驗與主觀意識所描述的分布大都是隨機的。這些兒童還沒有被數(shù)學的確定性因果思維“禁錮”“侵蝕”，仍然有著較好的隨機性直覺。

需要指出的是，我們設計的問題具有一定的生活背景，因此兒童的生活經(jīng)驗一定程度上能夠幫助其做出合理的決策。概言之，兒童在決策時所依靠的生活經(jīng)驗主要來源于以下幾個方面：（1）雪花。如“雪花的形狀不規(guī)則，因此……”“雪花是隨意飛的，因此……”（2）方磚。如“方磚的角難以有雪花落到，因此……”（3）外力。如“風吹著雪花跑，因此風向、風力對雪花的飄落位置有影響”；（4）當事人。如“根據(jù)個人自身喜好決策”。隨機事件與現(xiàn)實生活有著千絲萬縷的聯(lián)系，把隨機事件的結(jié)果歸結(jié)為上述因素，避免了“確定性思維”的干擾，生活經(jīng)驗在兒童決策中也產(chǎn)生了正向的影響。然而，如果我們把情境置換成現(xiàn)實性不強的問題，如“摸球”模型：一個不透明的盒子里有1個黑球、1個白球，它們除顏色不同外，其他均相同。搖一搖盒子，閉上眼睛從中摸出1個球，請問摸出哪種球的可能性大？我們的研究發(fā)現(xiàn)，也有兒童在決策中表現(xiàn)出上述的生活經(jīng)驗，把隨機事件的結(jié)果歸結(jié)為：（1）球。如“我們不是球，只有球知道”；（2）外力。如“只有天知道”；（3）當事人。如“我喜歡白球”。如果說“雪花問題”由于其現(xiàn)實背景較強，兒童的解釋存在某種程度的“合理性”，那么兒童在“摸球問題”中的類似經(jīng)驗就顯得蒼白無力。

2402號兒童描述的分布如圖1，理由是“因為風大時，雪花會飄落在上面，而風小時，雪花會落在下面，而當風中等時，雪花會落在中間，所以每排幾乎都一樣”。如前所述，3836號兒童也認為雪花是均勻分布在每一塊方磚上的（即每一塊方磚正好一片雪花），但他是基于“等可能性”（模糊的概率知識）做出判斷的。這里，兒童基于生活經(jīng)驗、基于自己的主觀，給出了同樣的分布。這樣的分布是不隨機的。

3834號兒童給出的分布如圖6 ，理由是“因為下雪要刮西北風，所以雪花被吹到東南方”。3503號兒童描述了類似的分布，理由是“因為冬天的風是往南吹的，所以雪花就在南邊”。2433號兒童描述了類似的分布，理由是“因為可能風大，雪往一個地方飄”。

（三）動手試驗

3517號兒童描述的分布如圖7，理由是“我有一張紙，坐（做）過了”。

學生通過試驗，得到了這樣的分布，這樣的分布是隨機的。我們的研究表明，動手試驗所得到的分布98%以上都是隨機的，因而，動手試驗能夠糾正兒童的錯誤觀念[4]。

（四）其他（雪花數(shù)少于16片）

3426號兒童描述的分布如圖8，理由是“16片雪花不可能全部飄落到房頂，因為地上會飄落上去”。

類似的情況比較多。兒童沒有仔細閱讀題目中的文字“房頂是平的，16片雪花飄落到房頂”，認為房頂是傾斜的，憑借自己的經(jīng)驗，認為有的雪花沒有落到房頂，于是出現(xiàn)了這樣的分布。

兒童給出的理由統(tǒng)計如表1，雪花分布得分如圖9。

從上表（圖）中可以看出，12歲是一個分界點：12歲之前，選擇“運用模糊的概率知識”兒童的百分比是30%左右，選擇“主觀判斷”兒童的百分比是50%左右，選擇前一個理由兒童的百分比明顯低于選擇后一個理由兒童的百分比。12歲之后，隨著年齡的增加，選擇“運用模糊的概率知識”兒童的百分比是45%左右，選擇“主觀判斷”的兒童的百分比是25%左右，選擇前一個理由兒童的百分比明顯高于選擇后一個理由兒童的百分比。對比兒童隨機分布認知得分，我們發(fā)現(xiàn)，9～11歲兒童的得分明顯比13～14歲兒童的高。我們是否可以得出這樣的結(jié)論：選擇“運用模糊的概率知識”的兒童越多，其雪花分布得分就越低；選擇“主觀判斷”的兒童越多，其雪花分布得分就越高。

這樣的結(jié)果也容易理解。兒童的概率知識僅僅局限在“每一片雪花飄落到每一片方磚上的可能性均是”，而對于每一片雪花飄落的獨立性、規(guī)律性是不了解的，兒童的概率知識非常有限。應用有限的概率知識，就會出現(xiàn)3836號兒童所描述的分布，這樣的分布不具有隨機性。相反，如果基于自己的主觀判斷，基于隨機性直覺，再聯(lián)系生活經(jīng)驗，就有可能得到隨機的分布。當然，生活經(jīng)驗是一把雙刃劍，因為經(jīng)驗告訴我們：雪下了很長一段時間后，雪的表面是平滑的——也就是說，雪的分布是均勻的。這事實上表明，一次試驗的隨機性與多次試驗的規(guī)律性。

對兒童給出的理由與正確率進行統(tǒng)計（表2），我們發(fā)現(xiàn)：無論是正確的頻數(shù)占回答頻數(shù)的百分比，還是正確的頻數(shù)占總數(shù)的百分比，選擇“主觀判斷”的兒童比選擇“運用模糊的概率知識”的兒童要高。這進一步說明，基于主觀判斷的，更有可能給出隨機的分布。當然，動手試驗得到的分布均是隨機的，這表明，試驗是獲得雪花分布隨機的有效方式。

三、幾點思考

（一）兒童對雪花分布的認知水平很低

從兒童雪花分布得分圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)，即便是在10歲的最高水平，也僅僅有14%的兒童能夠獲得正確的認知，并且，從10歲開始，兒童的認知水平不斷下降，14歲時才出現(xiàn)了回升。這一結(jié)果表明，隨著年齡的增長，兒童對雪花分布的認知不升反降。因而，這部分內(nèi)容并不適合在義務教育階段出現(xiàn)。

（二）尋求確定性數(shù)學的規(guī)律導致了兒童的認知水平很低

通過對兒童給出的理由進行分析，我們發(fā)現(xiàn)，之所以出現(xiàn)不升反降的現(xiàn)象，是由于隨著年齡的增長，更多的兒童尋求確定性數(shù)學的知識，而對于概率的知識，客觀上他們還不具備，于是出現(xiàn)了這樣的窘境：理論知識尚未建立，良好的隨機性直覺又逐漸喪失。也許，只有學習了概率知識，知道了重復試驗的規(guī)律性（大數(shù)定律）與一次試驗的隨機性后，他們才能夠給出隨機的分布。

（三）動手試驗能夠提升兒童的認知水平

動手試驗的兒童所描述的分布都是隨機的，這再一次告訴我們，動手試驗是學習概率知識的有效方式[5]。

參考文獻：

[1]嚴加安.概率破玄機，統(tǒng)計解迷離 [N]. 中國科學報，2012-03-03.

[2]Green， D. R. A Survey of Probability Concepts in 3000 Students aged 11-16 Years. In D. R. Grey （ed.）， Proceedings of the First International Conference on Teaching Statistics， Teaching Statistics Trust. University of Sheffield， 1982.

[3]張?zhí)煨?數(shù)學（六年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[4]鞏子坤. 6～14歲兒童的概率概念認知發(fā)展研究[D]. 浙江大學，2012.

[5]鞏子坤，宋乃慶. 統(tǒng)計與概率的教與學：反思與建議[J].人民教育，2006（10）：1-6.

（杭州師范大學理學院 310036北京師范大學教育學部 100875）