黃紅成

摘要：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。把握數(shù)學(xué)模型的類型，掌握數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)方法，讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決問題以形成初步的模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然舉措和重要任務(wù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；類型：建構(gòu)；要點

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“課程設(shè)計思路”中明確指出.數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。同時，新課程又大力倡導(dǎo)“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的“問題解決”式學(xué)習(xí)模式。因此，把握數(shù)學(xué)模型的類型，掌握數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)方法.讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決問題以形成初步的模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然舉措和重要任務(wù)。

一、數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)類型

數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義之分。張奠宙認(rèn)為，“廣義上講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。”狹義上理解，只有反映特定問題和特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才能稱之為數(shù)學(xué)模型。在當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（或教材）中，由于受學(xué)生知識視野、認(rèn)知方式等因素的影響，數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)通常表現(xiàn)為這樣三種類型。

1.文字描述。文字描述是數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的重要方式。很多數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)通常都采用語言文字來進(jìn)行描述。例如等式的性質(zhì)呈現(xiàn)為“等式的兩邊同時加上或減去相同的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式”和“等式的兩邊同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），所得結(jié)果仍是等式”。

2.符號表述。符號表述也是數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的常見方式。一些數(shù)學(xué)定律、性質(zhì)也常常借助數(shù)學(xué)符號來揭示個中特定的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。例如加法結(jié)合律呈現(xiàn)為“（a+b）+c=a+（b+c）”，乘法分配律呈現(xiàn)為“a×（b+c）=a×b+a×c”。

3.圖形概述。圖形概述是數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)方式一種必要補(bǔ)充。有些數(shù)學(xué)概念較為抽象，文字描述不便于學(xué)生把握概念的本質(zhì)，可以借助圖形來幫助學(xué)生理解概念的意義。例如小數(shù)的意義.可以借助“把一條線段或一個長方形平均分成10份，表示其中一份或幾份的部分可以寫成一位小數(shù)”的方式來幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。

二、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)方式

數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，包括對實際問題進(jìn)行提煉、抽象、簡化，以及確立、解釋、應(yīng)用和拓展數(shù)學(xué)模型等過程。數(shù)學(xué)教學(xué)，需要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，給學(xué)生創(chuàng)造借助數(shù)字、字母、圖形等媒介來表示各種現(xiàn)象或規(guī)律中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的機(jī)會.給學(xué)生搭建感悟、理解數(shù)學(xué)模型和運用數(shù)學(xué)模型解決問題的舞臺，進(jìn)而讓學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和形成初步的數(shù)學(xué)模型思想。

（一）提煉問題，建構(gòu)模型

從所發(fā)揮的作用角度審視，數(shù)學(xué)模型揭示了數(shù)學(xué)對象或問題的本質(zhì)屬性和共同特征。所以教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象或問題進(jìn)行對比分析，采用合適的方式表現(xiàn)出對象或問題中的共同屬性，利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。例如在教學(xué)小數(shù)的意義時，課始筆者直接出示圖1：

師：把整個正方形看做“1”，涂色部分用哪個分?jǐn)?shù)表示？

生：2/10。

師：為什么可以用2/10表示？

生：因為平均分成了10份，表示其中的2份。

師：其中2份除了可以用2/10表示，也可以用小數(shù)0.2表示（板書：2/10，0.2）。

出示圖2。

師：這樣的7份用哪個分?jǐn)?shù)表示？

生：7/10。

師：也可以用小數(shù)0.7表示（板書：7/10，0.7）。這樣的5份可以用哪個小數(shù)表示呢？

生：0.5。

師：想一想，0.9用圖怎樣表示？

生：把一個正方形看做“1”，平均分成10份，涂其中的9份。

師：這里的9份用分?jǐn)?shù)怎樣表示？

生：9/10。

師：比一比這些分?jǐn)?shù)，有什么相同的地方？

生：都表示十分之幾。

師：分母是10的分?jǐn)?shù)還可以用什么表示？

生：小數(shù)。

分析上面的片斷，結(jié)合兩個圖形，先讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示其中的涂色部分，然后引出小數(shù)的表示方法.再讓學(xué)生思考小數(shù)用圖形怎樣表示等問題。這樣教學(xué)，采用了直觀教學(xué)的方式，避免了學(xué)生對枯燥的小數(shù)意義的掌握和理解。同時在比較表示涂色部分的分?jǐn)?shù)異同的過程中，讓學(xué)生迅速感悟到分母是10的分?jǐn)?shù)也可以用小數(shù)來表示。并且這些圖形也可以看成是這些小數(shù)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生形象地把握小數(shù)的本質(zhì)意義.為后面更復(fù)雜的小數(shù)意義的認(rèn)識和小數(shù)的大小比較做了充分的鋪墊。

（二）抽象對象，建構(gòu)模型

在小學(xué)階段.受小學(xué)生學(xué)習(xí)能力的左右.教學(xué)材料和教學(xué)手段通常都是直觀易感的，也容易使學(xué)生對問題的認(rèn)識滯于淺表，只有適時對直觀的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行抽象.才能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題或概念的認(rèn)識.達(dá)到準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)目的。例如在教學(xué)《認(rèn)識周長》讓學(xué)生理解周長的意義時，筆者首先創(chuàng)設(shè)了灰太狼繞長方形操場一周的情境（紅線是灰太狼行走的路線，如圖3）。

讓學(xué)生回答第一次為什么不是繞操場的一周的原因.繼而初步判斷什么是圖形邊沿的一周.然后再讓學(xué)生用彩筆描下面圖形的一周（如圖4）。

師：第5幅圖形的一周在哪兒？誰來指一指！

學(xué)生上前指示。

師：中間的豎線是整個長方形的一周嗎？

生：不是！

師：比較一下，下面三個圖形一周的長度一樣嗎？哪個最長？哪個最短？

出示圖5。

生：不一樣！圓形一周的長度最長，正方形一周的長度最短。

師：圓形一周的長度最長也就是指它的周長最長，那正方形什么最短呢？

生：周長。

師：誰能用一句話來說一說，什么是圖形的周長？

生：圖形邊沿的長度叫做周長。

生：圖形一周的邊線的長度叫周長。

生：圖形一周的長短叫做它的周長。

周長的概念是抽象的.教材通常采用“（封閉）圖形一周的長短叫做它的周長”的文字來表述周長的數(shù)學(xué)模型，而且學(xué)生也難以從單一的教學(xué)材料中感悟到的周長的意義。審視上面的教學(xué)過程.筆者讓學(xué)生經(jīng)歷了幾個不同層次的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生先初步判斷，然后感受和體驗“什么是圖形的一周？什么不是圖形的一周？圖形的一周有的長有的短”的過程，使得學(xué)生即使脫離具體的圖形和學(xué)習(xí)活動，也能比較準(zhǔn)確地理解抽象的文字所表述的數(shù)學(xué)模型的真正含義。

（三）簡化背景，建構(gòu)模型

數(shù)學(xué)建模的過程是一個逐步抽象、逐漸簡化的“數(shù)學(xué)化”的過程。教學(xué)時，可以采用變式的方式，不斷變化數(shù)學(xué)問題的背景或非本質(zhì)屬性，并在變化中建構(gòu)出數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)意義。例如三年級下冊的《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》，要讓三年級的小學(xué)生準(zhǔn)確而深刻地理解“把一些物體看成一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用幾分之一或幾分之幾來表示”是存在一定認(rèn)知困難的。為了突破這樣的教學(xué)難點.筆者進(jìn)行了如下教學(xué)——

出示主題圖中的問題：把一盤桃平均分給4只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

師：如果盤子里只有1個大桃，要平均分給4只小猴，那就需要平均分成幾份？每只小猴分得幾份？是這盤桃的幾分之幾？

生：4只小猴，平均分成4份，每只小猴分得1份，是這盤桃的1/4。

師：如果這盤桃有4個，每個一樣大小。咱們是把每個桃都平均分成4份然后分給小猴.還是把它們看成一個整體來平均分？

生：看成一個整體。

師：看成一個整體，我們需要用集合圈把它們?nèi)ζ饋怼?/p>

媒體演示。

師：還得平均分成幾份？每只小猴分得幾份？是這盤桃的幾分之幾？

生：平均分成4份，每只小猴分1份，是這盤桃的1/4。

出示圖6。

師：如果這盤桃有8個。把它們看成一個整體怎樣表示？

生：用個圈圈起來。

師：把這個整體平均分成幾份？每只小猴分得幾份？是這盤桃的幾分之幾？

生：平均分成4份，每只小猴分l份，是這盤桃的1/4。

出示圖7。

師：如果這盤桃有12個，你能回答這個問題嗎？

生：把12個桃看成一個整體平均分成4份，每只小猴分得1份，是這盤桃的1/4。

出示圖8。

師：還需要再變一變嗎？為什么？

生：不需要。因為不管盤子里有幾個桃.只要平均分成4份，每份都是這盤桃的1/4。

師：既然跟這盤桃的數(shù)量沒有關(guān)系，咱們就隱去這些桃的個數(shù)。

出示圖9。

師：如果每份中都放4個桃，每份還是這個整體的1/4嗎？5個桃呢？7個蘋果呢？

……

在這個過程中，筆者結(jié)合“想知道這盤桃有幾個嗎”的問題引發(fā)學(xué)生對這盤桃的個數(shù)的思考，然后帶領(lǐng)學(xué)生依次確定和變化桃子的個數(shù)解決“每之小猴分得這盤桃的幾分之幾”.使學(xué)生認(rèn)識到“不管盤子里有多少個桃，只要平均分成4份，每份都是這盤桃的1/4”。如此操作，將具體的教學(xué)實例逐漸簡化、抽象成數(shù)學(xué)模型（見圖10中的圖形），不但減小了學(xué)生的認(rèn)知困難，也實現(xiàn)了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知飛躍，從而深刻地把握了分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)。

（四）探索應(yīng)用，建構(gòu)模型

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是解決問題的需要.它是學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的有效手段，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。有些數(shù)學(xué)知識僅表示一種數(shù)學(xué)模型的一個方面，學(xué)生初步認(rèn)識時不便建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型，而在應(yīng)用過程中逐漸體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的作用，生發(fā)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的需要。例如公倍數(shù)和公因數(shù)，教材呈現(xiàn)了這樣兩個問題：

例1 用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片分別鋪右邊的兩個正方形。

例2 分別用邊長6厘米和4厘米的正方形紙片鋪右邊的長方形。

可以說，兩個例題中的兩個圖形（左圖中邊長6厘米的正方形和右圖中的長方形）就是公倍數(shù)和公因數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)時，為了讓學(xué)生清晰地理解公倍數(shù)的意義，教材通常從文字?jǐn)⑹觥澳硵?shù)既是一個數(shù)的倍數(shù)又是另一個數(shù)的倍數(shù)，那么某數(shù)就是這兩個數(shù)的公倍數(shù)”和“某數(shù)既是一個數(shù)的因數(shù)又是另一個數(shù)的因數(shù)，那么某數(shù)就是這兩個數(shù)的公因數(shù)”出發(fā)，讓學(xué)生弄明白什么是公倍數(shù)，什么是公因數(shù)。然而機(jī)械記憶這樣的敘述，并不利于學(xué)生解決類似“用一張長18厘米、寬12厘米的長方形紙剪同樣大的正方形.正方形的邊長最大是多少？可以剪出幾個”的問題，少數(shù)學(xué)生分辨不清先求公倍數(shù)還是公因數(shù)。對此，每當(dāng)遇到類似的問題，筆者都讓學(xué)生結(jié)合教材中的這兩幅圖形，讓他們自己感悟和確定問題求什么。由于有了這樣的應(yīng)用、對比和強(qiáng)化的過程，這樣兩個圖形就自然成為學(xué)生解決問題的數(shù)學(xué)模型，且在頭腦中建立清晰的數(shù)學(xué)表象，從而能夠借助數(shù)學(xué)模型正確而熟練地解決問題。

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的教學(xué)要點

1.注重數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)方式的豐富

片面的教學(xué)手段、單一的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)方式，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的掌握和理解，所以在教學(xué)中，我們要兼用多種呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的方式.讓學(xué)生采用不同的方式理解數(shù)學(xué)問題或概念的本質(zhì).運用不同的方法掌握數(shù)學(xué)知識。例如分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，教材通常采用文字予以描述其數(shù)學(xué)模型的。如果照本宣科難免顯得枯燥，而且記憶單一的文字也顯得乏味，所以在總結(jié)階段.我們可以在文字表述的基礎(chǔ)上.增加諸如“a/b=（a×k）/（b×k）（k≠0）”的符號表述方式等.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)形式的選擇

數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)方式雖然需要多樣化，但是有的也存有呈現(xiàn)方式的局限性。恰當(dāng)?shù)某尸F(xiàn)方式能夠幫助學(xué)生理解問題，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)形式的選擇。例如一一間隔排列的規(guī)律有“兩端相同和兩端不同”情況.采用“兩端相同，兩端物體的個數(shù)-1=中間物體的個數(shù)，中間物體的個數(shù)+1=兩端物體的個數(shù)：兩端不同，兩端物體和中間物體個數(shù)相同”的呈現(xiàn)方式顯然不盡科學(xué)，因為在兩端不同的情況下不存在“中間物體”。教學(xué)時，可以借助字母和符號來進(jìn)行建模，如“首尾相同：ABAB……ABA，那么A的個數(shù)-1=B的個數(shù)，B的個數(shù)+1=A的個數(shù)：首尾不同：ABAB……AB，那么A和B的個數(shù)相同”，這樣既直觀又科學(xué)。