李華，馬飛遙

（寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江 寧波　315211）

含梯度項(xiàng)的橢圓方程組的邊界爆破解

李華，馬飛遙

（寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江 寧波315211）

研究了含梯度項(xiàng)的橢圓方程組的邊界爆破解的性質(zhì)，其中權(quán)函數(shù)a(x)，b(x)為正并且滿足一定的條件.利用上下解的方法及比較原則證明了正解的存在性與唯一性，并得到了邊界爆破速率的估計(jì).

橢圓方程組；梯度項(xiàng)；邊界爆破

1　引言

主要考慮如下的含有梯度項(xiàng)的橢圓方程組：

其中 λ，t＞0，p，s＞1，q，r＜0，(p-1)(s-1)-qr＞0，?∈RN為一個(gè)有界光滑的C2區(qū)域.a，b∈Cη是非負(fù)權(quán)函數(shù)，η∈(0，1).邊界條件u=+∞，v=+∞，x∈??，表示當(dāng)d(x)→0+時(shí)，u(x)→∞，v(x)→∞，其中d(x)=dist(x，??).

當(dāng)λ=t=0時(shí)，方程組變?yōu)?/p>

此方程組已在文獻(xiàn)［1-3］中被廣泛研究.其中Meli′an在文獻(xiàn)［1］中研究了a(x)=b(x)=1這種特殊情況下，方程組在三種不同的Dirichlet邊界條件：(F)u=λ，v=μ，(I)u=v=+∞與 (SF)u=+∞，v=μ下，在 ??上解的定性性質(zhì).在文獻(xiàn) ［1］中又進(jìn)一步的考慮了帶權(quán)函數(shù)的方程組 (1.2)，給出了當(dāng) d(x)→ 0時(shí)，在條件 a(x)～C1d(x)γ1，b(x)～C2d(x)γ2，C1，C2＞0，γ1，γ2＞-2下解的存在性與不存在性，唯一性及邊界性行為的結(jié)果.文獻(xiàn)［2］Meli′an對(duì)系統(tǒng)(1.2)又進(jìn)行了研究給出了不同于文獻(xiàn)［1］的唯一性的證明.

文獻(xiàn)［4-5］對(duì)擬線性的橢圓系統(tǒng)的邊界爆破解進(jìn)行研究，得到了解的存在性，唯一性及邊界爆破行為.

對(duì)于單個(gè)的含梯度項(xiàng)的橢圓方程 ?u±λ|?u|q=b(x)g(u)，x∈?；u=+∞，x∈??. C.Bandle 1996年在文獻(xiàn) ［6］中對(duì) λ=1的形式進(jìn)行了詳細(xì)研究.文獻(xiàn) ［7］張志軍應(yīng)用了Karamata正規(guī)變換理論，得到了方程解的唯一性與爆破行為.含梯度項(xiàng)的橢圓方程更深入的研究參見(jiàn)文獻(xiàn)［8-10］.

本文考慮的是含梯度項(xiàng)的橢圓方程組，首先定理2.1改變了文獻(xiàn)［7］定理1.1的條件，應(yīng)用文獻(xiàn)［7］中同樣的技巧Karamata正規(guī)變換理論與比較原則，得到了單個(gè)方程爆破解的漸進(jìn)性結(jié)論.其次，在對(duì)單個(gè)方程研究的基礎(chǔ)上，利用上下解的方法證明了當(dāng)(p-1)(s-1)-qr＞0時(shí)方程組(1.1)解的存在性，利用迭代思想得到了解的爆破速率估計(jì)，并給出了在一定的條件下解的唯一性的證明.要求權(quán)函數(shù)滿足以下條件：

假設(shè)a，b∈Cη，η∈(0，1)，存在γ1，γ2＞-2與正常數(shù)C1，C2，C′1，C′2，使得

下邊給出本文的主要結(jié)論：

定理 1.1假設(shè) p，s＞1，q，r＜0，a(x)，b(x)∈Cη，η∈(0，1)且滿足條件 (1.3)，則當(dāng)(p-1)(q-1)＞qr時(shí)，方程組存在正解.方程組的解(u，v)滿足：

其中

D1，D2，D′1，D′2為正常數(shù).

定理 1.2唯一性：令(u1，v1)，(u2，v2)為方程組(1.1)的正解，若

則在?中

2　預(yù)備知識(shí)

考慮下邊問(wèn)題：

其中p＞1，γ＞-2.由于?是C2的，d(x)在??的鄰域上也是C2的，假定d(x)∈C2(ˉ?)，方程組(2.1)的解將會(huì)在第三部分中用到.首先考慮一般形式：

其中q∈［0，2］，g∈C2［0，∞)滿足：

(g1)g(0)=0，g在［0+∞)上為增函數(shù)；

(g2)對(duì)任意的ξ∈(0，1)與所有的s≥0，均有g(shù)(ξs)≤ξg(s)；

其中

s為任意的正數(shù).

定義2.1定義在［a，∞)(a＞0)上的正的可測(cè)函數(shù)g，稱為在無(wú)窮遠(yuǎn)處以指數(shù)ρ的正規(guī)變換，記為g∈Rρ，若對(duì)任意的ε＞0與常數(shù)ρ∈R 成立，

其中ρ為正規(guī)變換指數(shù).當(dāng)ρ=0時(shí)，稱g在無(wú)窮遠(yuǎn)處緩慢變化，所以若g∈Rρ，則可以寫成g(u)=upL(u).

引理2.2[11]表示定理：函數(shù)L在無(wú)窮遠(yuǎn)處緩慢變化的充分必要條件是：對(duì)某些a＞0，存在可測(cè)函數(shù)c(u)，y(s)，滿足當(dāng)u→∞時(shí)，y(u)→0，c(u)→c(c＞0)，使得

引理 2.3[12]假設(shè)g滿足條件(g1)與(g2)，則以下條件是等價(jià)的.

引理 2.4[7]如果g滿足(g1)(g2)(g3)且ρ＞0，則Z(t)在定理2.1中有下邊的性質(zhì)：

對(duì)固定的λ≥0，由??的正則性，選取?δ足夠的小，使得

(ii)

由|?d(x)|=1，得

同理可得

計(jì)算過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)［7］.

即

令l→0，得到

即

令ξ→0，由ξ1與ξ2的定義，得

定理得證.

定義2.2首先給出系統(tǒng)

證明記u1為下列方程的唯一的解，

證明取 δ＞0，令 ?δ={x∈?，d(x)＞δ}且，為定義在 ??δ上的光滑函數(shù)，在??δ上有≤≤，≤≤.由引理2.5則系統(tǒng)有一個(gè)解(uδ，vδ)使得在?δ內(nèi)≤uδ≤，≤vδ≤可知 uδ與 vδ是有界的.存在一個(gè)序列 δn→ 0，使得在 Cl2oc(?)內(nèi) uδn→ u，vδn→ v，其中 (u，v)為方程 (2.3)的解，且在?內(nèi)≤u≤，≥v≥，在??上u=v=∞.

引理2.7令f，g∈C(ˉ?)，u，v∈C2()為方程組?u+λ|?u|=f(x)，?v+t|?v|=g(x) 在 ?上的解，且在 ?中 u≤v，其中等號(hào)在某些點(diǎn)處取到.假設(shè)在 ??上u＜v.則存在x0∈?，使得u(x0)=v(x0)且f(x0)≤g(x0).

證明令ζ={x∈?：u(x)=v(x)}.由假設(shè)可得ζ非空且嚴(yán)格包含于?.應(yīng)用反證法，假設(shè)在ζ中f＞g.選取ζ的一個(gè)開(kāi)鄰域ψ，使得在ψ中f＞g，并且在?ψ上u＜v.則對(duì)于任意小的ε＞0在?ψ上有u+ε≤v，在ψ中?u+λ|?u|=f＞g=?v+t|?v|.由比較原則得，在ψ中u+ε≤v，這與ζ?ψ矛盾.因此，f＞g在ζ中不可能成立.所以，存在x0∈ζ，使得f(x0)≤g(x0).

注2

則(2.7)式有唯一的解若函數(shù)f(x，u)/u對(duì)固定的x關(guān)于u是增函數(shù).

引理 2.8假設(shè)p，s＞1，q，r＜0滿足(p-1)(s-1)＞qr，令(u1，v1)，(u2，v2)為下列方程組的正解：

且在??上f，g＞0.則u1=u2，v1=v2.

因此

由假設(shè) k＞1與 (p-1)(s-1)＞qr得 u2(x?)＞ku1(x?)，推出矛盾.這表明 k≤1，并且在?中u2≤u1，v2≥v1.相似的，由u2，v2＞0在 ˉ?中，可以證明在?中u1≥u2，v1≥v2，引理得證.

所以

又因?yàn)?/p>

所以，由比較原則(見(jiàn)文獻(xiàn)［12］Theorem 10.1)，可得

可以推出

3　定理的證明

定理 1.1的證明(存在性)首先證明(εUp，σ1，ε-δUs，σ2)為方程組(1.1)的一個(gè)下解，其

令

由δ的范圍，有

并且

證明了這一需要.

又因?yàn)閍(x)≥C1d(x)γ1，b(x)≤C′2d(x)γ2，類似的，可證得(MUp，σ1，M-δUs，σ2)為(1.1)式在?上的一個(gè)上解，其中

由引理2.6得到方程(1.1)存在一組解(u，v).

(爆破速率的估計(jì))令a0=inf v＞0，由已知條件v＞0，q＜0，a(x)≥C1d(x)γ1，可得

由引理2.9可知

再次應(yīng)用引理2.9可得

其中

當(dāng)n→+∞，可以直接計(jì)算出

同理，存在D1，D，使得u(x)≥D1d(x)-α，v(x)≥Dd(x)-β.

定理 1.2的證明因?yàn)?u1，v1)，(u2，v2)為方程組的正解，且

所以，對(duì)任意的ε∈(0，1)，存在δ＞0，使得

在??ρ：={x∈?，d(x)≤?ρ}.設(shè)??ρ=?ˉ??ρ，考慮下邊的問(wèn)題

顯然，((1-ε)u1，(1-ε)-δv1)與((1+ε)u1，(1+ε)-δv1)為方程組(3.2)的下解與上解，由引理2.6可得在??ρ中至少存在一個(gè)解(u?ρ，v?ρ)使得

又由引理 2.8可得 (3.2)的解唯一，即 (u2，v2).所以在 ??ρ中 u2=u?ρ，v2=v?ρ.因此，結(jié)合(3.1)，得

令ε→0，可得在?上有u1=u2，v1=v2，則方程組具有唯一解.

[1］Meli′an J G，Rossi J D.Boundary blow-up solutions to elliptic systems of competitive type[J］.J.Diff.Eqns.，2004，206：156-181.

[2］Meli′an J G.A remark on uniqueness of large solutions for elliptic systems of competitive type[J］.J.Math. Anal.Appl.，2007，331：608-616.

[3］Mu C，Huang S.Large solutions for an elliptic system of competitive type：existence，uniqueness and asymptotic behavior[J］.Nonlinear Anal.，2009，71：4544-4552.

[4］Meli′an J G.Large solutions for an elliptic system of quasilinear equations[J］.J.Diff.Eqns.，2008，245：3735-3752.

[5］Wang Y，Wang M.Boundary blow-up solutions for a cooperative system of quasilinear equation[J］.J.Math. Anal.Appl.，2010，368：736-744.

[6］Bandle C，Giarrusso E.Boundary blow-up for semilinear elliptic equations with nonlinear gradient terms[J］. Adv.Diff.Eqns.，1996，1：133-150.

[7］Zhang Z.The asymptotic behaviour of solutions with boundary blow-up for semilinear elliptic equations with nonlinear gradient terms[J］.Nonlinear Anal.，2005，62：1137-1148.

[8］Zhang Z.Boundary blow-up elliptic problems with nonlinear gradient terms[J］.J.Diff.Eqns.，2006，228：661-684.

[9］Zhang Z.Boundary blow-up elliptic problems with nonlinear gradient terms and singular weights[J］.Proc. Roy.Soc.Edinburgh Sect.A，2008，138：1403-1424.

[10］Chen Y J，Pang Y H，Wang M.Blow-up rates and uniqueness of large solutions for elliptic equations with nonlinear gradient term and singular or degenerate weights[J］.manuscripta math.，2013，141：171-193

[11］Seneta E.Regularly Varying Functions[M］.New York：Springer-Verlag，1976.

[12］C?1rstea F，Rˇadulescu V D，Uniqueness of the blow-up boundary solution of logistic equations with absorbtion[J］.C.R.Acad.Sci.Paris，Ser.I.，2002，335：447-452.

[13］Gilbarg D，Trudinger N S.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M］.3rd ed.Berlin：Springer，1998.

2010 MSC:35J57，35B44

Boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term

Li Hua，Ma Feiyao
（Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo315211，China）

The properties of boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term are studied，where the weight functionsa（x），b（x）are positive and satisfy certain conditions.By the methodof suband super-solutions and comparison principle，the existence and uniqueness of positive solutions are proved and the estimates of boundary blow-up rate are obtained.

elliptic systems，gradient term，boundary blow-up

O175.25

A

1008-5513(2016)04-0387-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.007

2016-05-31.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201250).

李華(1989-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.