范磊，喬兵，王富國(guó)

（中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033）

薄鏡面力矩校正在自由諧振模式下的定標(biāo)計(jì)算

范磊，喬兵，王富國(guó)

（中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033）

薄鏡面面形的主動(dòng)校正方式主要分為力校正和力矩校正兩種。在技術(shù)較為成熟的力校正基礎(chǔ)上，為豐富和完善主動(dòng)支撐技術(shù)，提出利用自由諧振模式定標(biāo)法分析薄鏡面的力矩校正能力。首先分析了薄鏡的力矩校正在自由諧振模式下的波前擬合和水平校正力的定標(biāo)計(jì)算方法。然后，以一塊口徑400mm薄鏡作為分析對(duì)象，建立了相應(yīng)的有限元模型，完成了該反射鏡水平校正力的定標(biāo)計(jì)算。最后，針對(duì)某一工況鏡面變形，求解了相應(yīng)的校正系數(shù)，通過(guò)計(jì)算，校正后鏡面面形殘余誤差為5.4nm，校正效果明顯。結(jié)果表明，薄鏡面的力矩主動(dòng)校正是可行的，提出的自由諧振模式定標(biāo)計(jì)算方法也是合理的，為進(jìn)一步開(kāi)展力矩主動(dòng)校正技術(shù)的研究提供了一種參考。

自由諧振；主動(dòng)光學(xué)；薄鏡面；力矩校正；有限元法

薄鏡面主動(dòng)光學(xué)是通過(guò)能動(dòng)地校正鏡面變形來(lái)實(shí)時(shí)補(bǔ)償光學(xué)波面誤差，以期光學(xué)系統(tǒng)達(dá)到最佳的成像質(zhì)量［1］。鏡面的主動(dòng)校正方式一般分為力校正和力矩校正（水平力校正）兩種。圖1所示為兩種鏡面主動(dòng)校正方式示意圖。

圖1　鏡面主動(dòng)校正方式

由圖1可以看出，兩種方式都能到達(dá)校正鏡面面形的目的，只是結(jié)構(gòu)形式上存在差異。設(shè)系統(tǒng)波前誤差為W，為校正該波前誤差，校正力Fa和校正力力矩M都應(yīng)產(chǎn)生-W的波前，即Fa和M應(yīng)分別滿(mǎn)足：

式中：C為校正力剛度矩陣；D為校正力矩剛度矩陣。

根據(jù)圖1（b）可知，式（2）中校正力矩M為：

式中：Fh為水平校正力，L力臂。

目前研究和應(yīng)用較多的是基于力校正的薄鏡面主動(dòng)支撐技術(shù)：國(guó)外，從ESO最先開(kāi)展的1m薄鏡面主動(dòng)光學(xué)實(shí)驗(yàn)到VLT望遠(yuǎn)鏡8m主鏡，采用的都是力主動(dòng)校正方式［3］；國(guó)內(nèi)，南京天文光學(xué)技術(shù)研究所、成都光電技術(shù)研究所、長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所和蘇州大學(xué)現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)研究所都開(kāi)展了1m口徑以下力校正的薄鏡面主動(dòng)光學(xué)的研究［6］。

但是，關(guān)于力矩校正的研究國(guó)內(nèi)外都相對(duì)較少。國(guó)外，主要集中于利用壓電陶瓷片對(duì)新型超薄復(fù)合反射鏡進(jìn)行主動(dòng)校正［7］；國(guó)內(nèi)，長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所范磊等通過(guò)對(duì)水平校正力的優(yōu)化，對(duì)一輕量化反射鏡模型面形進(jìn)行了靜態(tài)優(yōu)化分析，效果明顯［9］；成都光電技術(shù)研究所研究人員對(duì)一塊集成了力矩促動(dòng)器的六邊形輕量化金屬鏡進(jìn)行了分析計(jì)算，結(jié)果顯示能夠很好地校正低階Zernike像差［10］。

為了進(jìn)一步開(kāi)展薄鏡面的力矩主動(dòng)校正研究，分析該方式的主動(dòng)校正性能。本文采用自由諧振模態(tài)定標(biāo)法，對(duì)口徑400mm薄鏡，建立了主動(dòng)校正模型，完成了水平校正力的定標(biāo)計(jì)算，并對(duì)某一工況下的鏡面變形進(jìn)行了校正。

1　自由諧振模式定標(biāo)原理

1.1自由諧振模式下的波前擬合

波前擬合和校正力求解構(gòu)成了主動(dòng)光學(xué)的兩大關(guān)鍵技術(shù)。其中，波前擬合一般采用兩種方式：一是準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式擬合，二是自由諧振多項(xiàng)式擬合［1］。自由諧振模式可以用來(lái)擬合鏡面面形是由于它與準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式接近且各模態(tài)振型相互正交。圖2和圖3所示分別為圓域Zernike多項(xiàng)式和自由諧振模式振型圖。

圖2　Zernike多項(xiàng)式

兩者的區(qū)別在于Zernike多項(xiàng)式擬合側(cè)重于光學(xué)像質(zhì)的表達(dá)，單位圓內(nèi)方差為1，與薄鏡面結(jié)構(gòu)的變形特性無(wú)關(guān)；自由諧振多項(xiàng)式擬合側(cè)重于機(jī)械結(jié)構(gòu)特性的表達(dá)，容易建立擬合面形和校正力的求解關(guān)系，但其局限性在于模態(tài)振型函數(shù)與薄鏡物理幾何參數(shù)相關(guān)，不具有統(tǒng)一的表達(dá)形式，一般需利用有限元法求解。

圖3　自由諧振模態(tài)振型

在薄鏡面上選取m個(gè)節(jié)點(diǎn)，要求滿(mǎn)足m＞n。利用有限元方法計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的n項(xiàng)模態(tài)振型向量值，組成模態(tài)振型矩陣：

通過(guò)有限元分析求取鏡面變形節(jié)點(diǎn)位移值w=（w1，w2，…wm）T，則建立擬合方程如下：

設(shè)薄鏡波前面形誤差為w，取前n階自由諧振振型向量δi（i=1，2，…，n），擬合系數(shù)為ai，則利用自由諧振多項(xiàng)式擬合有：

利用最小二乘法求解擬合系數(shù)為：

1.2水平校正力的模式定標(biāo)計(jì)算

不同的波前擬合方式對(duì)應(yīng)不同的校正力求解法，其中準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式擬合對(duì)應(yīng)的是阻尼最小二乘法；自由諧振模式擬合對(duì)應(yīng)的是模式定標(biāo)法。模式定標(biāo)法的基本原則就是對(duì)于任意一階模態(tài)振型，施加定標(biāo)后的校正力能夠使鏡面恢復(fù)該階模態(tài)振型，且振型對(duì)應(yīng)的面形誤差都為預(yù)先設(shè)定的某歸一化值（如633nm，1000nm等）。

模式定標(biāo)法主要利用有限元方法求解，參考文獻(xiàn)［2］提出基于校正力模型的模式定標(biāo)計(jì)算方法，本文給出了一種針對(duì)校正力矩的模式定標(biāo)計(jì)算方法，計(jì)算流程如圖4所示。

圖4　水平校正力定標(biāo)流程

如圖4所示，設(shè)校正力矩由薄鏡背部離散分布的k個(gè)水平校正力完成，則對(duì)于第i階諧振模態(tài)振型，相應(yīng)地導(dǎo)出這k個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水平位移uxy，將uxy作為邊界約束條件重新施加到這k個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過(guò)有限元靜力學(xué)分析計(jì)算，求取這k個(gè)節(jié)點(diǎn)的約束反力 fxy和對(duì)應(yīng)的鏡面面形wxy，根據(jù)力與位移的線性關(guān)系，當(dāng)鏡面面形歸一化為λ時(shí)（λ=633nm，或其它設(shè)定值），根據(jù)作用力與鏡面變形的線性關(guān)系，可計(jì)算第i階模態(tài)振型歸一化后的水平校正力 fλi為：

則對(duì)于實(shí)際薄鏡的鏡面變形，根據(jù)前n階自由諧振模式波前擬合結(jié)果，利用標(biāo)定后的水平校正力計(jì)算實(shí)際水平校正力 f為：

2　Φ400mm反射鏡力矩校正模式定標(biāo)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述理論分析，本文選用一塊Φ400mm平面反射鏡作為分析對(duì)象。其中，反射鏡厚度為8mm，徑厚比為50。

圖5　反射鏡結(jié)構(gòu)模型

為施加水平校正力，在反射鏡背面粘接36個(gè)殷鋼柱，每個(gè)殷鋼柱高度為42mm。如圖5所示為該反射鏡結(jié)構(gòu)模型，36個(gè)殷鋼柱分布在反射鏡背部的3個(gè)支撐圈上，支撐圈半徑分別為r1=65mm，r2= 130mm，r3=195mm。

2.1反射鏡的主動(dòng)校正建模及模態(tài)分析

反射鏡材料選用微晶玻璃，殷鋼柱選用與其線脹系數(shù)相匹配的殷鋼材料，相關(guān)物理參數(shù)如表1所示。

表1　物理參數(shù)表

在有限元分析軟件MSC.PATRAN中建立有限元模型如圖6所示，借用有限元分析軟件MSC. NASTRAN分析該模型的前10階自由彎曲模態(tài)振型（除去剛體模態(tài)振型），其振型圖如圖7所示。

圖6　反射鏡有限元模型

圖7　反射鏡前10階模態(tài)振型

2.2水平校正力標(biāo)定計(jì)算

依據(jù)圖3的定標(biāo)計(jì)算流程，首先提取上述10階模態(tài)振型中36個(gè)殷鋼柱自由端在各階自由彎曲模態(tài)振型下的水平位移Ux和Uy，并將其重新施加到各點(diǎn)，計(jì)算薄鏡變形，然后從結(jié)果文件中提取36點(diǎn)的約束反力Fx和Fy，并計(jì)算相應(yīng)的鏡面面形Wxy。根據(jù)公式8計(jì)算出標(biāo)定后鏡面面形誤差統(tǒng)一為λ時(shí)的水平標(biāo)定力，該過(guò)程的相關(guān)標(biāo)定計(jì)算結(jié)果如表2所示，前10階標(biāo)定校正后鏡面面形云圖如圖8所示。

表2　水平標(biāo)定力計(jì)算結(jié)果

圖8　校正后前10階鏡面面形云圖

由圖8可以看出，標(biāo)定后的鏡面變形云圖同自由諧振振型很相似；從水平標(biāo)定力的最大值可以看出，隨著校正階數(shù)的增加，最大校正力增大，且所有校正力所做的功符合階數(shù)越大做功越多的原理。

2.3鏡面變形校正計(jì)算模擬

設(shè)該薄鏡在指向天頂狀態(tài)下，由背部均布的3點(diǎn)支撐，其中支撐半徑為130mm，計(jì)算重力作用下的變形，變形云圖如圖9所示，除去剛體位移后的鏡面變形RMS值為545.8nm。

圖9　3點(diǎn)支撐下反射鏡變形云圖

根據(jù)公式（7）計(jì)算自由諧振模式下的波前擬合系數(shù)和校正系數(shù)如表3所示。

表3　波前擬合系數(shù)和校正系數(shù)

利用上述計(jì)算的校正系數(shù)，根據(jù)公式（9）計(jì)算出各點(diǎn)水平校正力的大小，施加到反射鏡模型上，計(jì)算鏡面校正變形，模型施加載荷如圖10所示，反射鏡變形云圖如圖11所示。計(jì)算結(jié)果顯示，除去剛體位移后的鏡面校正變形RMS值為551.2nm。計(jì)算可得校正殘余誤差為5.4nm，約為0.0085λ（λ= 633nm）。結(jié)果顯示校正效果比較理想。

圖10　水平校正力載荷分布圖

圖11　校正力作用下鏡面變形云圖

3　結(jié)論

本文基于自由諧振模式定標(biāo)原理，提出了一種針對(duì)薄鏡面力矩校正模型的模式定標(biāo)計(jì)算方法。以400mm薄鏡作為分析對(duì)象，利用上述定標(biāo)法完成了該薄鏡水平校正力的定標(biāo)計(jì)算，并針對(duì)某一工況下薄鏡的變形，進(jìn)行了相應(yīng)地校正，結(jié)果顯示，校正后鏡面面形的殘余誤差約為5.4nm，校正效果比較明顯。上述結(jié)果表明采用力矩校正方式來(lái)完成薄鏡面的主動(dòng)校正是可行的，在目前較為成熟的力校正的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善了薄鏡面主動(dòng)支撐技術(shù)，對(duì)薄鏡面的支撐技術(shù)具有一定的參考價(jià)值。

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Calibration of Moment Correction for Thin Mirror Surface Based on Free Harmonic Vibration Modal

FAN Lei，QIAO Bing，WANG Fuguo
（Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033）

Active correction means for thin mirror surface could be divided into force correction and moment correction. In order to enrich and improve the active support technology in active optics，calibration in free harmonic vibration modal was provided to evaluate the capacity of moment correction for thin mirror.First，the methods of wave front fitting and horizontal corrective force solving for moment correction model in the free harmonic vibration modal were provided.Then，as an analysis object，F(xiàn)E model of a thin mirror with the aperture of 400mm was built and the horizontal corrective forces were calibrated in detail.Last，the coefficients of corrective forces were solved in a load case，and the residual error of surface was 5.4nm after corrected.In conclusion，such active moment correction for thin mirror was effective，and the calibration in free harmonic vibration modal was reasonable.So the study provided an important value to moment correction for mirror surface.

free harmonic vibration modal；active optics；thin mirror；moment correction；FEM

TH761

A

1672-9870（2016）03-0009-05

2016-02-11

范磊（1986-），男，博士，助理研究員，E-mail：fanlei1995@sina.com