束長明（鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)）

學(xué)數(shù)學(xué)勿忘“記數(shù)學(xué)”

束長明
（鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)）

不少海學(xué)生認(rèn)為，學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)思考，要理解數(shù)學(xué)思想與方法。筆者認(rèn)為，前者固然重要，但要想學(xué)好數(shù)學(xué)還要學(xué)會(huì)記憶數(shù)學(xué)，否則就會(huì)出現(xiàn)“巧婦難為無米之炊”。數(shù)學(xué)思路就會(huì)失去“源頭”。事實(shí)上，記憶是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對(duì)任何一門功課的學(xué)習(xí)都不能輕視記憶。死記硬背招來了不少罵名，但是死記硬背也是一個(gè)必經(jīng)的過程。在理解的基礎(chǔ)上記憶當(dāng)然會(huì)更快速、更牢固，可是有時(shí)候記憶過程本身也是一個(gè)理解的過程，有些知識(shí)點(diǎn)記住了也就理解了，記憶和理解相互促進(jìn)，一個(gè)數(shù)學(xué)公式，加深理解的過程就是在不斷重復(fù)記憶，而記熟了這個(gè)公式也會(huì)幫助學(xué)習(xí)者更好地理解知識(shí)點(diǎn)。

蘇霍姆林斯基在學(xué)困生學(xué)習(xí)應(yīng)用題時(shí)不是采取大量重復(fù)的去做類型題，而是停下來和學(xué)生一起進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的積累。這種積累實(shí)際上就是一種知識(shí)的記憶、儲(chǔ)存。在平常，我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)某道題不會(huì)解，實(shí)際上是某個(gè)公式忘記了，或某個(gè)思想方法頭腦里沒有。陜西師大盧增儒教授在解題策略中提到的“模式識(shí)別”也說明了記憶的重要性。那么，學(xué)數(shù)學(xué)該記憶哪些知識(shí)呢？一般來說，數(shù)學(xué)基本概念、基本定義要記憶，數(shù)學(xué)的基本解題程序、幾何的基本圖形要熟知，數(shù)學(xué)的基本思想、基本方法要記憶。下面筆者就一道幾何題談?wù)勚R(shí)的儲(chǔ)存對(duì)解法自然產(chǎn)生的重要性。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，已知AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：△ABC是等腰三角形。

二、解法展示

解法1：如圖2過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F。

因?yàn)锳D平分∠BAC，所以DE=DF。又因?yàn)锳D是BC邊上中線，所以BD=DC，所以Rt△DBE?Rt△DCF（HL），所以∠B=∠C，所以△ABC是等腰三角形。

解法2：如圖2過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F。

因?yàn)锳D平分∠BAC，所以DE=DF。又因?yàn)锳D是BC邊

上中線，所以S△ABD=S△ACD，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

圖1　

圖2　

圖3　

解法3：如圖3，延長AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，連結(jié)BE。

因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以BD=DC，又因?yàn)椤螦DC= ∠BDE，AD=DE，所以△ADC?△EDB，所以AC=BE，∠DAC= ∠BED。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，所以∠BAD= ∠BED，所以AB=BE，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法4：如圖4取AC中點(diǎn)K，連接DK。

又因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以DK∥AB。由AD平分∠BAC，

易證得∠ADK=∠AKD，于是AK=DK。

解法5：如圖5，延長AB至K，使得BA=AK，連接CK。

（思路也是中點(diǎn)找中點(diǎn)形成中位線，只不過是倍長邊長）。

圖4　

圖5　

圖6　

解法6：如圖6，延長AD交△ABC的外接圓于K，連接BK，CK。

由AD平分∠BAC，可得BK=CK。易證△BDK?△CDK，所以∠BKA=∠CKA。所以易證△BAK?△CAK，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法7：前一部分雷同解法6，由△BDK?△CDK，可證得∠BDA=90°，又BD=CD，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法9：由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD。由于∠BAD=∠CAD，BD=CD。于是，可得到（AC-AB）（AC+AB-2ADcos∠CAD）=0。由D是BC邊上中點(diǎn)以及三角形三邊關(guān)系可得AC+AB＞2AD，所以AC+AB-2ADcos∠CAD不為0。所以AC=AB，所以△ABC是等腰三角形。

三、解題思考

只有我們頭腦中儲(chǔ)存了解題需要的基本知識(shí)、基本圖形、基本方法，甚至一些類型的典型題，然后解題時(shí)按照相應(yīng)的模式識(shí)別、知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，解法就會(huì)自然生成。例如，本題解法1聯(lián)想到全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等而構(gòu)造的輔助線。解法2利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等結(jié)合等積法。解法3聯(lián)想到三角形倍長中線而獲得解法。解法4、5主要由中點(diǎn)聯(lián)想到儲(chǔ)備的中點(diǎn)找中點(diǎn)構(gòu)造中位線的方法，輔助線和解題方法油然而生。解法6、7由角平分線使用方法自然聯(lián)想到在圓中圓周角相等所對(duì)弦相等這一定理，于是輔助線就自然產(chǎn)生。解法8是聯(lián)想到正弦定理處理邊角關(guān)系可把題中的相關(guān)量放入等式中求解。解法9聯(lián)想到余弦定理具有處理邊角關(guān)系的功效。

總之，在平常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生題后歸納反思，建構(gòu)知識(shí)方法體系，并要求學(xué)生記住這些知識(shí)方法，這樣解題時(shí)解法就會(huì)自然產(chǎn)生了。

顧建偉.從知識(shí)的關(guān)聯(lián)遠(yuǎn)近看解法自然生成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016（3）：37-38.

·編輯溫雪蓮