李帥龍　李智華

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院　湖北 武漢　430074)

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平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受力問題剖析

李帥龍李智華

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院湖北 武漢430074)

關(guān)于平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受力問題，普通大學(xué)電磁學(xué)教材大都利用虛功原理求解[1]，但沒有說明該力產(chǎn)生的根源.筆者基于液體表面張力的模型，對(duì)該力的產(chǎn)生做了深入剖析.特別地，本文將虛功原理的結(jié)果、邊緣效應(yīng)(即電容器邊緣處電介質(zhì)的極化不同于中心處電介質(zhì)的極化而產(chǎn)生的效應(yīng))的結(jié)論以及束縛電荷模型進(jìn)行對(duì)比和分析，揭示它們的統(tǒng)一性.

平行板電容器電介質(zhì)邊緣效應(yīng)虛功原理束縛電荷

1　前言

平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受電場(chǎng)的作用產(chǎn)生極化，極化后的電介質(zhì)會(huì)形成極化束縛電荷，與電容器極板上的自由電荷通過庫(kù)侖力相互作用，使得電介質(zhì)有被拉進(jìn)電容器的趨勢(shì).普通電磁學(xué)教材都采用虛功原理，簡(jiǎn)潔地給出了該力的表達(dá)式.它沒有對(duì)這種力的根本來源做出解釋，同時(shí)留下了一系列引人思考的問題: 它到底是只與極板內(nèi)側(cè)電介質(zhì)表面束縛電荷有關(guān)呢，還是與邊緣效應(yīng)有關(guān)? 或者其實(shí)與這些因素均有關(guān)系，只是哪個(gè)因素占主導(dǎo)地位？本文受液體表面張力的模型的啟發(fā)，成功地解釋了電介質(zhì)受力的來源；特別地，本文將虛功原理的結(jié)果、邊緣效應(yīng)結(jié)論以及束縛電荷模型進(jìn)行對(duì)比和深入剖析，揭示它們的統(tǒng)一性.

2　液體表面張力模型

作用于液體表面使液體表面積縮小的力，稱為液體表面張力.它產(chǎn)生的原因是，液體跟空氣接觸的表面存在一個(gè)薄層，即表面層，表面層里的分子比液體內(nèi)部稀疏，分子間的距離比液體內(nèi)部大一些，分子間的作用力表現(xiàn)為相互作用引力.

可以看出，表面層內(nèi)分子之間的引力導(dǎo)致了液體表面張力的產(chǎn)生.聯(lián)系到自由電荷在金屬極板上的分布，電荷分布在極板的表面，相互之間會(huì)有庫(kù)侖斥力的作用，而且良導(dǎo)體表面的自由電荷也具有跟流體一樣的性質(zhì)，且自由電荷面密度越大，這種“庫(kù)侖張力”也就越大，只是這時(shí)的力使電荷的分布范圍有向外延展的趨勢(shì).因此我們推測(cè)自由電荷分布的表面層也存在與液體表面類似的“表面張力”.若進(jìn)一步將這一模型應(yīng)用到有電介質(zhì)存在的極板表面，自由電荷面密度在有電介質(zhì)區(qū)域比沒有電介質(zhì)區(qū)域大，前者的“庫(kù)侖張力”也就比后者大，我們認(rèn)為這時(shí)極板向電容器內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)正是自由電荷“表面張力”的表現(xiàn)，并做了進(jìn)一步的定量分析.

為了量化表面自由電荷間的張力，和分析液體表面張力的方法一樣，在局部自由電荷均勻分布的極板表面劃出一條直線，考察直線兩邊電荷相互作用的總斥力.若選取無限大均布電荷平板的模型計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)，在任意所作的有限長(zhǎng)的直線兩邊，當(dāng)直線兩邊的電荷分開一個(gè)確定的小距離時(shí)，由于電場(chǎng)散布無窮大空間，靜電能將增加無限大.利用虛功原理可以得出單位長(zhǎng)度直線兩側(cè)電荷相互斥力無限大的結(jié)論，這不便于做定量分析.為此，可以選擇電場(chǎng)分布在有限區(qū)域的平行板電容器模型.

如圖1所示，設(shè)平行板電容器兩極板長(zhǎng)度為b，寬度為a，極板間距離為d，且有a?d，b?d，這樣，考慮極板中間電場(chǎng)時(shí)可以將極板做無窮大平板處理.在上極板上取平行于極板邊緣的直線AB，并選取直線上一點(diǎn)P.為了計(jì)算P點(diǎn)左側(cè)電荷受到的來自電容器右側(cè)電荷的斥力，如圖1所示建立坐標(biāo)系，其中直線AB位于x=0處，且和y軸平行，P點(diǎn)為z軸和直線AB的交點(diǎn).為了計(jì)算x>0區(qū)域中所有電荷對(duì)P點(diǎn)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)，這里先計(jì)算下極板x>0部分電荷在P處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E1.

圖1　平行極板上自由電荷相互作用

首先，根據(jù)對(duì)稱性，P處的電場(chǎng)強(qiáng)度沿x方向，因此在計(jì)算電場(chǎng)時(shí)我們只需計(jì)入x方向的即可.進(jìn)一步計(jì)算時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，位于下極板上x=0鄰近處電荷對(duì)P點(diǎn)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)會(huì)引起積分發(fā)散，為了避免這一困難，將電場(chǎng)的積分下限改為x=r，這里r為大于零的任意常量.所以下極板上x>r區(qū)域內(nèi)通過對(duì)任意(x,y,0)處的電荷元對(duì)P點(diǎn)的電場(chǎng)的貢獻(xiàn)積分，可以得到P點(diǎn)電場(chǎng)為

(1)

σ0為極板表面電荷面密度.

再考慮上極板x>0部分電荷在P處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E2，這時(shí)只需在上式中令d=0，因此上極板上x>0區(qū)域內(nèi)電荷對(duì)P點(diǎn)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)為

(2)

將E1，E2相加，即得x>0區(qū)域內(nèi)總電荷對(duì)P點(diǎn)電場(chǎng)的總貢獻(xiàn)為

(3)

這里還不能馬上算出總電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小，因?yàn)楫?dāng)r→0時(shí)該積分依舊發(fā)散.但幸運(yùn)的是，我們可以計(jì)算出上極板x<0部分的電荷受到的來自x>0區(qū)域電荷的總的庫(kù)侖力斥力F1，即

(4)

而且當(dāng)r→0時(shí)，該積分收斂，可得到

(5)

這樣，我們定量地表示了自由電荷薄層上一定長(zhǎng)度直線一側(cè)的電荷受到的來自直線另外一側(cè)的電荷的總斥力.根據(jù)對(duì)稱性，上下兩極板上電荷受合力等大同向，故可計(jì)算出直線x>0和x<0兩區(qū)域間總的相互作用的斥力大小為

(6)

由此推算出的力的大小與直線的長(zhǎng)度a成正比，與電荷密度的平方成正比，這與液體表面張力模型一致.

當(dāng)直線AB所在的區(qū)域有電介質(zhì)存在時(shí)，這時(shí)直線AB兩側(cè)相互作用的對(duì)象不僅只有自由電荷，電介質(zhì)表面的極化電荷也要計(jì)入.但是這里應(yīng)該注意的是，在我們的模型中，極板上自由電荷才是可以自由“流動(dòng)”的，最終極板的運(yùn)動(dòng)是自由電荷這種“流體”的張力的表現(xiàn)，所以此時(shí)的張力應(yīng)該是直線另一側(cè)自由電荷和極化電荷對(duì)本側(cè)自由電荷的斥力.

設(shè)極板上自由電荷的面密度為σ，則凈電荷密度為

電介質(zhì)上極化電荷面密度為

所以在有電介質(zhì)的情況下，直線AB左側(cè)極板上自由電荷受右側(cè)總電荷的庫(kù)侖作用力為

F=Fnet-net-Fp-net=

(7)

這里Fnet-net表示直線兩側(cè)極板上凈電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖張力，F(xiàn)p-net表示直線一側(cè)電介質(zhì)上極化電荷與另一側(cè)總電荷(即凈電荷)的庫(kù)侖作用力，兩者相減則得到直線一側(cè)的自由電荷受到另外一側(cè)總電荷的作用力，即我們需要的“流體張力”，這與式(6)的形式相同.

經(jīng)過上面的推導(dǎo)可知，有電介質(zhì)的部分和沒有電介質(zhì)的部分極板上表層電子的庫(kù)侖張力是不一樣的，那么當(dāng)這兩種表面層接觸時(shí)，斥力大的表面層將擴(kuò)張，斥力小的表面層將縮小.這正是極板間的電介質(zhì)向極板內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的原因.

在部分插入電介質(zhì)的極板電容器中，有電介質(zhì)和沒有電介質(zhì)的部分相當(dāng)于兩種自由電荷薄層，它們有不同的“張力系數(shù)”，分別由式(6)和式(7)表示.在極板間的電勢(shì)差一定時(shí)

所以有電介質(zhì)存在的部分面積將擴(kuò)張，沒有電介質(zhì)存在的地方面積將收縮，這種趨勢(shì)導(dǎo)致電介質(zhì)受到的合力為

(8)

這正是平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受到的指向電容器內(nèi)部的力公式.這種方法將電介質(zhì)受到的力歸結(jié)為電容器極板上自由電荷所受的力，該力只與自由電荷面密度和電解質(zhì)的介電常數(shù)相關(guān)，而與電介質(zhì)邊緣怎樣無關(guān).

3　平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受力問題其他分析方法

方法1： 用虛功原理求解

如圖2所示，教材中根據(jù)虛功原理[1]，假定平行極板間電壓不變時(shí)

(9)

又

(10)

其中σ0為電容器極板上沒有電介質(zhì)區(qū)域的自由電荷面密度，σ為電容器極板上有電介質(zhì)區(qū)域自由電荷面密度，代入即可得到式(8).

圖2　虛功原理求極板內(nèi)電介質(zhì)受力

方法2:從邊緣效應(yīng)的角度求解[2]

該方法將電介質(zhì)受到的合力歸結(jié)為電場(chǎng)對(duì)極化后電介質(zhì)內(nèi)電偶極子的作用力，如圖2所示，電介質(zhì)上單位體積內(nèi)受到的作用力可以表示為

(11)

則體積為V的電介質(zhì)受的總力是

(12)

其中P為介質(zhì)極化強(qiáng)度矢量，P=(ε-ε0)E.利用恒等式E2=2(E·)E，得

(13)

在電容器外部E=0，內(nèi)部為

這里σ為有電介質(zhì)存在部分自由電荷面密度.積分得

(14)

與式(8)結(jié)果相同.

方法3:通過研究束縛電荷受力求解[3]

該方法認(rèn)為電介質(zhì)受到的作用力來源于電介質(zhì)表面束縛電荷受到的橫向電場(chǎng)力作用(垂直于極板方向的力相互抵消)而不需要考慮邊緣效應(yīng).在不考慮邊緣效應(yīng)計(jì)算電介質(zhì)受力時(shí)，只需考慮電介質(zhì)上極化電荷受極板上總自由電荷的作用力.考慮到有極板存在處的自由電荷對(duì)極化電荷的作用力為零，因此只需考慮圖2中沒有電介質(zhì)區(qū)域自由電荷對(duì)電介質(zhì)上極化電荷的作用力.

設(shè)圖2中電介質(zhì)在x軸上的邊界為x=x0，那么根據(jù)式(3)，在x

其中σ0為電容器中沒有電介質(zhì)區(qū)域的自由電荷密度.由于電介質(zhì)上極化電荷的密度為

所以電介質(zhì)受到的總的作用力為

(15)

上式積分時(shí)利用了x0?d的關(guān)系.這里得到的結(jié)果與式(8)相同.

4　不同模型對(duì)比和統(tǒng)一性剖析

本文提出的表面張力模型賦予電介質(zhì)受力完全不同的物理圖像，給出了力的最直觀解釋.它是說自由電荷的“流動(dòng)性”會(huì)帶動(dòng)電介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，與極板上均勻電荷、極板間勻強(qiáng)電場(chǎng)直接相關(guān)，而與邊緣效應(yīng)毫無關(guān)聯(lián).或者說，本文提出的模型認(rèn)為，極板的受力完全是電容器內(nèi)均勻分布的電荷的影響，與邊緣效應(yīng)無關(guān)，或者其影響完全可以忽略，這與方法3的觀點(diǎn)一致.與之相反，方法2則是說電介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)是電介質(zhì)極化的不均勻引起的，或者說就是電容器內(nèi)部和邊緣電介質(zhì)被極化的差異引起的，就是所謂的邊緣效應(yīng).

圖3　束縛電荷在電場(chǎng)中受力的微觀機(jī)制

其實(shí)深入分析會(huì)發(fā)現(xiàn)方法2和方法3是等價(jià)的，圖3展示了它們的統(tǒng)一性.這是一塊電介質(zhì)在電場(chǎng)中極化后的情形，C為電介質(zhì)的邊界.方法2把電偶極子作為研究對(duì)象，即把矩形B內(nèi)的電偶極子作為研究單元，因此單位體積電介質(zhì)受力可以用式(11)來表示，電介質(zhì)所受總電場(chǎng)力為所有電偶極子受力的矢量和.而在均勻電介質(zhì)內(nèi)部，極化強(qiáng)度矢量P滿足P=χeε0E，介質(zhì)內(nèi)無自由電荷時(shí)，·E=0，因此

-ρP=·P=0

(16)

即介質(zhì)內(nèi)部?jī)魳O化電荷為零，如圖3中矩形A區(qū)域所示.所以介質(zhì)內(nèi)部受外場(chǎng)的作用力為零.只有在介質(zhì)的非均勻處，如介質(zhì)表面，才有凈束縛電荷，電介質(zhì)所受電場(chǎng)力作用等效于介質(zhì)表面的束縛電荷受電場(chǎng)力作用，如圖3中矩形C區(qū)域所示.矩形C區(qū)域內(nèi)凈束縛電荷為零，矩形外表面才有束縛電荷分布.因此，方法2和方法3都將電介質(zhì)所受的力歸結(jié)為電介質(zhì)在電容器中極化后與電容器極板上自由電荷的相互作用，只是考察的方式不同.

雖然它們的考察方式不同，但是它們對(duì)電介質(zhì)在電容器中所做的近似卻是相同的.方法2也只用到了電容器內(nèi)部的電介質(zhì)被均勻極化，外面的無極化這一性質(zhì)；方法3只需假定電容器內(nèi)部的電介質(zhì)被均勻極化.

電容器內(nèi)部的電介質(zhì)表面極化出均勻的束縛電荷是這些模型的必然要求，這使得我們?cè)谘芯窟@個(gè)問題時(shí)很容易跨過邊緣效應(yīng)而注意到電容器內(nèi)部物理量的變化，如方法1和方法2.不過虛功原理并沒有否定該力是由邊緣效應(yīng)引起的，因?yàn)樵谶@個(gè)虛過程中系統(tǒng)能量變化并沒有引起邊緣部分能量的變化，只是中間理想部分的區(qū)域發(fā)生了能量變化，那么直接采用理想電容器模型的虛功原理必然是正確的[4].

5　總結(jié)

本文首先采用表面張力模型解釋了平行板電容器內(nèi)電介質(zhì)受力的來源，再給出了針對(duì)該問題從不同角度出發(fā)的3種不同的方法，其中虛功原理最具實(shí)用性和有效性，很簡(jiǎn)單地給出力的表達(dá)式，其余3種方法則是從力的角度對(duì)力的來源做了探索.表面張力模型和方法在觀點(diǎn)上是一致的，但區(qū)別在于表面張力模型完全不考慮邊緣效應(yīng)，直接與電容器內(nèi)均勻面電荷和勻強(qiáng)電場(chǎng)相關(guān)聯(lián)，給出了該力在形式上最直觀的解釋.方法2和3雖然看似毫不相關(guān)，本文證明了它們的等效性，發(fā)現(xiàn)它們對(duì)電介質(zhì)在電容器中所做的近似是相同的.

1胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué).北京:科學(xué)出版社，2010.84

2江濱浩.作用于平行板電容器中電介質(zhì)的力.電工教學(xué),1996,16(2):34

3余耀令.對(duì)平行板電容器內(nèi)介質(zhì)受力計(jì)算的異議.大學(xué)物理，1998(11):25

4荊亞玲.關(guān)于平行板電容器內(nèi)介質(zhì)受力的進(jìn)一步討論.大學(xué)物理，1991(5):17

李帥龍(1993-)，男，在讀本科生.

李智華(1976-)，女，教授，博士生導(dǎo)師，從事激光與物質(zhì)相互作用方面的研究.

2016-04-12)