崔世堂,　劉淑莉，　王　波，　張　科

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥　230026； 2.陸軍軍官學(xué)院 四系,安徽 合肥　230031)

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偽彈性形狀記憶合金梁彎曲特性研究

崔世堂1,2,劉淑莉2，王波1，張科1

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥230026； 2.陸軍軍官學(xué)院 四系,安徽 合肥230031)

基于理想偽彈性形狀記憶合金的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,文章對(duì)形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)梁在純彎曲載荷作用下的力學(xué)行為進(jìn)行了研究；給出了加卸載過(guò)程中應(yīng)力、彎矩和曲率之間的解析表達(dá)式,彎矩曲率關(guān)系呈現(xiàn)明顯的非線性滯回特性；揭示了梁截面上各相的發(fā)展演化以及相邊界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在加載階段相邊界均隨彎矩的增大向中性層移動(dòng),而在卸載階段相邊界的變化規(guī)律不僅與加載結(jié)束時(shí)表層材料所處的狀態(tài)有關(guān),還與卸載的程度有關(guān),表現(xiàn)出與加載階段完全不同的特性。

形狀記憶合金;純彎曲;相變;彎矩曲率關(guān)系

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)是一類特殊的兼有功能性和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的智能材料,近年來(lái)已受到材料科學(xué)和工程界的重視,在機(jī)械、航天及醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域逐步得到應(yīng)用。其最引人注目的2個(gè)特性是偽彈性(pseudo-elastic,PE)和形狀記憶效應(yīng)(shape memory effect,SME),其變形和吸能的物理機(jī)制在于熱彈性?shī)W氏體相和馬氏體相的相互轉(zhuǎn)化[1-2]。當(dāng)材料處于形狀記憶狀態(tài)時(shí),在經(jīng)歷較大變形后會(huì)留下殘余變形,只要適當(dāng)加熱,變形即可恢復(fù);材料處于偽彈性狀態(tài)時(shí),當(dāng)加載應(yīng)力超過(guò)某一臨界值,將產(chǎn)生應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變,相變結(jié)束后,材料由奧氏體相轉(zhuǎn)變成馬氏體相。材料卸載達(dá)到另一臨界值時(shí)將誘發(fā)馬氏體相變,材料重新轉(zhuǎn)變成奧氏體相。加卸載的過(guò)程并不重合,應(yīng)力應(yīng)變曲線具有較大的滯回,但卸載后無(wú)殘余變形,呈現(xiàn)出和普通彈塑性材料截然不同的特性。目前對(duì)于SMA梁的研究主要集中在準(zhǔn)靜態(tài),文獻(xiàn)[3]從理論上研究了偽彈性SMA梁的彎曲問(wèn)題,給出了在單彎矩脈沖作用下矩形截面梁的彎矩曲率表達(dá)式。文獻(xiàn)[4-5]研究了2個(gè)數(shù)值計(jì)算程序來(lái)確定梁截面的響應(yīng),并采用有限元方法模擬了三點(diǎn)彎曲和四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn),數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)非常接近。文獻(xiàn)[5]建立了一維本構(gòu)模型,考慮了熱力耦合作用并借助于有限元方法對(duì)純彎曲問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值方法研究了加載過(guò)程中SMA絲的彎曲問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值方法研究了SMA梁的彎曲問(wèn)題,目的在于驗(yàn)證其提出的相變函數(shù)。在上述研究中,更多關(guān)注的是偽彈性狀態(tài)下SMA梁的變形以及梁截面上應(yīng)力分布等問(wèn)題。而在加卸載過(guò)程中,梁截面上相邊界處的應(yīng)力梯度存在間斷,截面上會(huì)由于材料的相變演化形成運(yùn)動(dòng)的相邊界,對(duì)相邊界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及各相之間的演化等問(wèn)題的研究相對(duì)不多。

本文以理想偽彈性SMA梁為研究對(duì)象,通過(guò)引入平截面假定,研究了純彎曲情況下矩形截面梁的彎曲特性。以曲率為基本未知量,得到了加卸載階段截面上的應(yīng)力和彎矩分布的解析表達(dá)式,并通過(guò)數(shù)值算例揭示了加卸載過(guò)程中梁截面上各相的演化以及相邊界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1　形狀記憶合金的本構(gòu)關(guān)系

理想偽彈性SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖1所示。

圖1　理想偽彈性SMA的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

在加載階段,奧氏體相開(kāi)始向馬氏體相轉(zhuǎn)變的起始應(yīng)力和應(yīng)變分別為σ2=465 MPa和ε2=0.75%(A點(diǎn)),奧氏體相完全轉(zhuǎn)化為馬氏體時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σ2=465 MPa和ε4=4.75%(B點(diǎn));在卸載階段,如果卸載開(kāi)始時(shí)的應(yīng)變?chǔ)?ε4,逆相變開(kāi)始時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σ1=186 MPa和ε3=4.3%(C點(diǎn)),逆相變結(jié)束時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σ1=186 MPa和ε1=0.3%(D點(diǎn))。如果加載結(jié)束時(shí)的應(yīng)變?yōu)棣臖′(B′點(diǎn)),卸載后應(yīng)變沿著B(niǎo)′C′降至εC′(C′點(diǎn))后開(kāi)始發(fā)生逆相變,沿C′D和DO回到原點(diǎn)。為簡(jiǎn)化起見(jiàn),假設(shè)奧氏體相和馬氏體相的彈性模量均為E,彈性卸載段和彈性加載段斜率相同,即圖1中OA∥B′C′。

2　加載階段的應(yīng)力分布和彎矩曲率關(guān)系

假設(shè)矩形截面梁的寬度為B,高度為2H,如圖2所示。

圖2　梁微元段彎曲示意圖

在純彎曲加卸載過(guò)程中始終滿足平截面假定[8],根據(jù)經(jīng)典的梁理論,離開(kāi)中性層的距離為y處的應(yīng)變?nèi)缦?

(1)

其中,κ為截面中性層的曲率。

記λ1=ε4/ε2,λ2=ε3/ε1,當(dāng)截面表層材料的應(yīng)變分別為ε1、ε2、ε3、ε4時(shí),定義其曲率分別為:

(2)

根據(jù)平截面假定,在整個(gè)加卸載過(guò)程中截面表層材料的應(yīng)變始終最大,且在純彎曲的情況下,梁截面上材料處于單向拉伸或者單向壓縮狀態(tài),考慮到截面的幾何形狀、受力狀態(tài)與材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線的對(duì)稱性,僅對(duì)受拉側(cè)進(jìn)行分析。在加載過(guò)程中,總是表層材料率先發(fā)生相變或相變完成,因此表層材料處于奧氏體相(0≤κ<κ2)、混合相(κ2≤κ<κ4)和馬氏體相(κ4<κ)。

2.1奧氏體相階段

梁整個(gè)截面上材料始終為奧氏體相,并沒(méi)有相變發(fā)生,截面上的應(yīng)力分布如圖3a所示。

(3)

隨截面上的彎矩不斷增大,表層材料的應(yīng)變首先達(dá)到ε2,彈性階段結(jié)束。

圖3　加載過(guò)程中的應(yīng)力分布

2.2混合相階段

表層材料開(kāi)始相變,相變區(qū)自表面向中心擴(kuò)展,此時(shí)截面上中心部分材料處于奧氏體相,外層材料處于奧氏體相和馬氏體相的混合狀態(tài),奧氏體相區(qū)和混合相區(qū)之間存在一個(gè)相邊界B1,如圖3b所示。當(dāng)表層材料的應(yīng)變達(dá)到ε4時(shí),表層材料已完全轉(zhuǎn)化為馬氏體相,第2階段結(jié)束。設(shè)相邊界的高度為y1,相邊界處的應(yīng)變?yōu)棣?,可得:

(4)

由(4)式可見(jiàn),隨著截面彎曲變形(κ)的增大,相邊界的高度減小,即相邊界B1向中性軸方向移動(dòng),圖3b中的箭頭代表相邊界移動(dòng)的方向。截面上應(yīng)力的分布為:

(5)

2.3馬氏體相階段

截面表層材料相變完成,完全處于馬氏體相。截面中心向外分別為奧氏體相區(qū)、混合相區(qū)和馬氏體相區(qū)。在奧氏體相區(qū)和混合相區(qū)、混合相區(qū)和馬氏體相區(qū)的界面上存在2個(gè)相邊界B1和B2,如圖3c所示。設(shè)相邊界B1和B2的高度分別為y1和y2,y1處的應(yīng)變?yōu)棣?,y2處的應(yīng)變?yōu)棣?,由應(yīng)變和曲率之間的關(guān)系可得相邊界的高度如下:

(6)

截面上的應(yīng)力沿高度的分布表達(dá)式為:

(7)

截面上的平衡條件為:

(8)

將(3)式、(5)式和(7)式分別代入(8)式,可得加載階段的彎矩曲率關(guān)系為:

(9)

其中,I為梁截面的慣性矩。

3　卸載階段的應(yīng)力分布和彎矩曲率關(guān)系

設(shè)加載結(jié)束時(shí)梁中性軸的曲率為κi,當(dāng)0≤κi<κ2時(shí)，整個(gè)截面處于彈性變形,截面上的應(yīng)力分布如圖3a所示,卸載后的彎矩M為:

(10)

當(dāng)κ>κ2時(shí),表層材料已發(fā)生相變或相變完成,從不同的階段進(jìn)行卸載,卸載的路徑完全不同。以下對(duì)κ2≤κi<κ4和κi>κ42種情況進(jìn)行討論。

3.1κ2≤κi<κ4

加載結(jié)束時(shí),相邊界B1的高度為：

(11)

截面上的應(yīng)力分布如圖3b所示。根據(jù)卸載階段截面上材料的相變特性分為4個(gè)階段。

(1)κi-(δ/H)<κ<κi。卸載開(kāi)始后,截面上的應(yīng)力和應(yīng)變線性減少,并與截面高度呈正比,因此表層材料應(yīng)變降得最快,當(dāng)表層材料的應(yīng)變減小δ時(shí),表層材料最先到達(dá)逆相變的臨界點(diǎn),而其余位置并沒(méi)有逆相變發(fā)生,此時(shí)截面中性軸的曲率減小δ/H,而相邊界B1處的應(yīng)變減小量Δε<δ,逆相變還沒(méi)有開(kāi)始,因此相邊界并沒(méi)有移動(dòng)，此時(shí)的應(yīng)力分布如圖4a所示,截面上的應(yīng)力分布表達(dá)式為:

(12)

圖4　κ2≤κi<κ4時(shí)卸載階段的應(yīng)力分布

(2) (κ1κi/κ2)≤κ<κi-(δ/H)。隨著截面曲率的減小,表層材料開(kāi)始發(fā)生逆相變,在逆相變區(qū)和混合相彈性卸載區(qū)之間出現(xiàn)一個(gè)向中心發(fā)展的卸載相邊界U1,如圖4b所示。B1和U1之間的材料進(jìn)行彈性卸載,并沒(méi)有發(fā)生逆相變,相邊界B1的高度不變。直到相邊界B1處的材料達(dá)到逆相變的臨界點(diǎn),卸載相邊界U1和相邊界B1重合,此時(shí)截面中性軸的曲率降為κ1κi/κ2。設(shè)卸載相邊界U1的高度為y2,此處的應(yīng)變減小了δ,根據(jù)應(yīng)變和曲率的關(guān)系可得:

(13)

截面上的應(yīng)力分布表達(dá)式為:

(14)

(3)κ1≤κ<(κ1κi/κ2)。整個(gè)混合相區(qū)都在發(fā)生逆相變,相邊界B1消失,出現(xiàn)1個(gè)新的向表層移動(dòng)的卸載相邊界Ub1,如圖4c所示。直至移動(dòng)到梁的表層,該階段結(jié)束,結(jié)束時(shí)中性軸的曲率降為κ1。設(shè)卸載過(guò)程中相邊界Ub1的高度為yb,此處的應(yīng)變?yōu)棣?,根據(jù)應(yīng)變和曲率的關(guān)系可得:

(15)

截面上的應(yīng)力分布表達(dá)式為:

(16)

(4) 0≤κ<κ1。截面上材料逆相變完成后,材料處于奧氏體相,相邊界消失,截面上應(yīng)力分布如圖4d所示。截面上的應(yīng)力分布表達(dá)式與 (3) 式相同。

3.2κi>κ4

當(dāng)加載結(jié)束時(shí)中性軸的曲率κi>κ4時(shí),截面表層材料已經(jīng)相變完成,完全處于馬氏體相,截面上的應(yīng)力分布如圖3c所示。根據(jù)卸載截面上材料的相變特性分為5個(gè)階段。

(1) (κ1λ2/κ2λ1)κi<κ≤κi。卸載開(kāi)始后,奧氏體相區(qū)、混合相區(qū)和馬氏體相區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變線性減小,但逆相變沒(méi)有開(kāi)始,相邊界的位置并沒(méi)有發(fā)生變化,截面上應(yīng)力的分布如圖5a所示。

圖5　κi>κ4卸載階段應(yīng)力分布

相邊界B2處的應(yīng)變?yōu)棣?,當(dāng)該處的應(yīng)變減小δ降為ε3時(shí),y1和y2之間的混合相區(qū)的應(yīng)變減小量Δε均小于δ,混合相區(qū)僅發(fā)生彈性卸載,并沒(méi)有發(fā)生逆相變。根據(jù)平截面假定,馬氏體相區(qū)的應(yīng)變?chǔ)?y)均大于ε3,即馬氏體相區(qū)也沒(méi)有發(fā)生逆相變,因此卸載過(guò)程的逆相變首先是從相邊界B2處開(kāi)始。

當(dāng)相邊界B2處開(kāi)始發(fā)生逆相變時(shí),梁截面中性軸的曲率降為(κ1λ2/κ2λ1)κi。截面上應(yīng)力的分布表達(dá)式為:

(17)

(2)λ2κ1<κ≤(κ1λ2/κ2λ1)κi。逆相變?cè)趛2處發(fā)生后,相邊界B2消失,形成兩條向兩側(cè)發(fā)展的卸載相邊界U1和U2,如圖5b所示。此時(shí)截面上自中性軸向外依次為奧氏體相區(qū)、未發(fā)生逆相變的混合相區(qū)、已發(fā)生逆相變的混合相區(qū)和馬氏體相區(qū)。當(dāng)相邊界U2達(dá)到梁表面時(shí),該階段結(jié)束,此時(shí)梁中性軸的曲率降為λ2κ1。設(shè)新的卸載相邊界的高度分別為yb1和yb2,卸載相邊界U1處由于卸載應(yīng)變減小了δ,相邊界U2處的應(yīng)變?yōu)棣?Hκ1。因此卸載相邊界U1和U2的高度分別為:

(18)

截面上的應(yīng)力分布表達(dá)式為:

(19)

繼續(xù)進(jìn)行卸載,截面上應(yīng)力的分布、相邊界的移動(dòng)規(guī)律等均與表層材料為混合相時(shí)的卸載規(guī)律相同。

3.3彎矩曲率關(guān)系

根據(jù)以上各個(gè)階段的應(yīng)力分布,將應(yīng)力的表達(dá)式代入 (8) 式可得不同卸載階段的彎矩曲率關(guān)系。

當(dāng)κ2<κi<κ4時(shí),即加載至表層材料為混合相時(shí)，卸載的彎矩表達(dá)式為:

(20)

當(dāng)κi>κ4時(shí),即加載至表層材料為馬氏體相時(shí)卸載的彎矩表達(dá)式為:

(21)

4　結(jié)果分析

加卸載階段的無(wú)量綱彎矩曲率關(guān)系如圖6所示。

圖6　彎矩-曲率關(guān)系

由圖6可知，兩階段均表現(xiàn)出明顯的非線性偽彈性滯回特性,圖6中的M2=EIκ2,即表層材料開(kāi)始發(fā)生相變時(shí)對(duì)應(yīng)的彎矩,圖6和圖1中的字母一一對(duì)應(yīng)。彈性加載段(OA)的彎矩和曲率呈線性關(guān)系,當(dāng)表層材料發(fā)生相變后,梁的抗彎剛度降低,彎矩曲率曲線(AB)的斜率降低,曲率持續(xù)增加,而彎矩變化并不大。當(dāng)表層材料相變完成后,梁的抗彎剛度進(jìn)一步增大,彎矩曲率曲線(BE)的斜率再次增大。而在卸載階段,無(wú)論加載結(jié)束時(shí)表層材料處于混合相還是馬氏體相,卸載后都會(huì)發(fā)生彈性卸載,如圖中的BC、B′C′等,并沒(méi)有發(fā)生逆相變,該階段的彎矩曲率關(guān)系呈線性;而在逆相變開(kāi)始后,彎矩曲率關(guān)系呈現(xiàn)出明顯的非線性,卸載的曲線和加載曲線并不重合,直至逆相變完全結(jié)束(D),再次進(jìn)入彈性卸載階段。

加載結(jié)束時(shí)表層材料為混合相和馬氏體相后進(jìn)行卸載的相邊界演化圖如圖7所示。

(a)　κ2<κi≤κ4

(b)　κi>κ4

圖7中的數(shù)字代表卸載的階段。加載階段的相邊界B1和B2用虛線表示,卸載階段的相邊界用黑實(shí)線表示,箭頭指向代表運(yùn)動(dòng)的方向。在加載階段,隨彎矩的增大,表層材料率先發(fā)生相變或相變完成,相邊界自表面向梁中心擴(kuò)展,當(dāng)表層材料為混合相時(shí),相邊界B1隨彎矩增大迅速向截面中心移動(dòng),一旦表層材料相變完成,相邊界B1向中心擴(kuò)展的速度明顯趨緩。

5　結(jié)　　論

本文基于平截面假定,對(duì)理想偽彈性SMA梁純彎曲條件下某截面的變形行為進(jìn)行了分析,揭示了梁截面上相變區(qū)的發(fā)展演化過(guò)程以及相邊界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,給出了加卸載過(guò)程中應(yīng)力和曲率、彎矩和曲率之間的解析表達(dá)式,得出以下結(jié)論:

(1) 梁截面上的彎矩曲率關(guān)系表現(xiàn)出明顯非線性的滯回,呈現(xiàn)出材料本身特有的偽彈性特性,卸載結(jié)束后并沒(méi)有殘余變形。

(2) 加載階段,截面上的應(yīng)力幅值隨距中性層距離的增大而單調(diào)增大,相邊界隨彎矩的增大向中性軸方向移動(dòng)。

(3) 卸載階段,截面上的應(yīng)力沿截面高度方向不具有單調(diào)性,卸載相邊界的個(gè)數(shù)、運(yùn)動(dòng)方向與加載結(jié)束時(shí)表層材料所處的狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)加載結(jié)束時(shí)表層材料處于混合相時(shí),逆相變首先從表層開(kāi)始,形成一個(gè)向中心傳播的卸載相邊界,整個(gè)過(guò)程只有一條移動(dòng)的相邊界;而當(dāng)加載結(jié)束時(shí)表層材料處于馬氏體相時(shí),逆相變首先發(fā)生在馬氏體相和混合相的界面上,形成2個(gè)移動(dòng)方向相異的卸載相邊界。無(wú)論加載結(jié)束時(shí)表層材料處于何種狀態(tài),逆相變最終均在表層完成。

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(責(zé)任編輯閆杏麗)

Research on bending properties for ideal pesudo-elastic shape memory alloy beam

CUI Shitang1,2，LIU Shuli2，WANG Bo1，ZHANG Ke1

(1.CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials, University of Science and Technology of China, Hefei 230026，China; 2.No.4 Dept., Army Officer Academy, Hefei 230031, China)

Using an ideal pesudo-elastic constitutive model of shape memory alloy(SMA), the behavior of the SMA beam section under pure bending condition is analyzed. The analytical expressions of stress, moment and curvature are deduced. The moment-curvature relationships show nonlinear hysteretic characteristic. The development and evolution of phase constituents and the moving law of phase boundaries are revealed. The phase boundaries move to the neutral axis with the increase of moment during the loading stage, while during the unloading stage, the change law of phase boundaries is relate to the state of surface material and the degree of unloading and exhibits completely different properties.

shape memory alloy(SMA); pure bending; phase transformation; moment-curvature relationship

2015-04-27；

2015-07-09

安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1408085ME84)

崔世堂(1978-),男,山東臨沂人,博士,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)副研究員.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.008

O347

A

1003-5060(2016)08-1043-06